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Atividade: Dilatações como Transformações Lineares Geométricas

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a matriz que representa dilatações como transformações lineares geométricas.

Q1:

Considere a transformação representada pela matriz 3 0 0 3 .

Qual é a imagem do quadrado com vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , e ( 1 , 1 ) sob esta transformação?

  • Auma pipa com vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , e ( 3 , 3 )
  • Buma pipa com vértices ( 0 , 0 ) , ( 1 , 3 ) , ( 3 , 1 ) , e ( 3 , 3 )
  • Cum quadrado com vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , e ( 1 , 1 )
  • Dum quadrado com vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) , e ( 3 , 3 )
  • Eum quadrado com vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) , e ( 3 , 3 )

Qual transformação geométrica essa matriz representa?

  • Auma ampliação com fator de escala 3 e centro na origem
  • Buma rotação sobre a origem por um ângulo de 3 ∘
  • Cum trecho na direção 𝑦
  • Dum trecho na direção 𝑥
  • Euma ampliação por um fator de 3 com o seu centro no ponto ( 1 , 1 )

Q2:

Descreva o efeito geométrico da transformação produzida pela matriz 0 − 3 3 0 .

  • Auma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de − 9 0 ∘ em torno da origem
  • Buma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma reflexão na reta 𝑦 = 𝑥
  • Cuma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma reflexão na reta 𝑦 = − 𝑥
  • Duma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 9 0 ∘ em torno da origem
  • Euma dilatação com centro na origem e um fator de 3 seguida por uma rotação de 1 8 0 ∘ em torno da origem

Q3:

Uma dilatação de centro na origem é composta com uma rotação em torno da origem para formar uma nova transformação linear. A transformação formada manda o vetor 3 4 para − 3 3 5 6 .

Determine a matriz que representa a transformação formada.

  • A − 1 1 0 0 1 4
  • B 5 − 1 2 1 2 5
  • C − 1 2 , 9 2 1 , 4 4 1 , 4 4 1 2 , 9 2
  • D 5 − 1 2 1 2 5
  • E 5 1 2 1 2 5

Determine o fator da dilatação original.

  • Afator = 13
  • Bfator = √ 1 1 9
  • Cfator = 154
  • Dfator = 169
  • Efator = 13

Q4:

O quadrado unitário de vértices 𝑂 ( 0 , 0 ) , 𝐴 ( 1 , 0 ) , 𝐵 ( 1 , 1 ) e 𝐶 ( 0 , 1 ) , é transformado por uma rotação e depois uma dilatação. A sua imagem sob esta transformação combinada é 𝑂 𝐴 𝐵 𝐶 ′ ′ ′ , como se mostra no diagrama.

Quais são as coordenadas de 𝐴 ′ ?

  • A 3 2 , − 3 2
  • B 2 3 , − 2 3
  • C 2 3 , 2 3
  • D 3 2 , 3 2
  • E 3 2 , 3 2

Qual é a matriz da transformação combinada?

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 2 − 3 2 3 2 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 3 − 2 3 2 3 2 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 2 − 3 2 − 3 2 3 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 3 − 2 3 − 2 3 2 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 2 3 2 − 3 2 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q5:

Qual das seguintes composições de transformações é representada pela matriz 0 − 2 − 2 0 ?

  • A uma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦 = 𝑥
  • B uma dilatação de centro na origem e fator − 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦 = − 𝑥
  • C uma dilatação de centro na origem e fator 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦 = − 𝑥
  • D uma dilatação de centro na origem e fator − 2 seguida por uma reflexão na reta 𝑦 = 𝑥
  • Euma rotação de 1 8 0 ∘ em torno da origem seguida por uma reflexão na reta 𝑦 = 𝑥

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