Atividade: Funções Transcendentais como Série de Potência

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar uma representação de série de potência para séries exponenciais, de cossenos e de senos para aproximar valores de funções transcendentais.

Q1:

Considere ๐‘“(๐‘ฅ)=(2โˆ’๐‘ฅ)ln.

Encontre uma representaรงรฃo da sรฉrie de potรชncias para ๐‘“(๐‘ฅ).

  • A๐‘“(๐‘ฅ)=(2)โˆ’๏„š๐‘ฅ2(๐‘›+1)lnโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฐ๏Šง๏Š๏Šฐ๏Šง
  • B๐‘“(๐‘ฅ)=(2)+๏„š๐‘ฅ2(๐‘›+1)lnโˆž๏Š๏Šฒ๏Šง๏Š๏Šฐ๏Šง๏Š๏Šฐ๏Šง
  • C๐‘“(๐‘ฅ)=(2)โˆ’๏„š๏€ผ1๐‘›๏ˆ๏€ป๐‘ฅ2๏‡lnโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š
  • D๐‘“(๐‘ฅ)=(2)โˆ’๏„š๏€ป๐‘ฅ2๏‡lnโˆž๏Š๏Šฒ๏Šง๏Š๏Šฐ๏Šง
  • E๐‘“(๐‘ฅ)=(2)+๏„š๏€ป๐‘ฅ2๏‡lnโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฐ๏Šง

Encontre seu intervalo de convergรชncia.

  • A|๐‘ฅ|<2
  • B|๐‘ฅ|>1
  • C|๐‘ฅ|>2
  • D|๐‘ฅ|>0
  • E|๐‘ฅ|<1

Q2:

Considere ๐‘”(๐‘ฅ)=๐‘’๏—.

Encontre uma representaรงรฃo de sรฉrie de potรชncia para ๐‘”(๐‘ฅ).

  • A๐‘”(๐‘ฅ)=๏„š๐‘ฅ๐‘›!โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฐ๏Šง
  • B๐‘”(๐‘ฅ)=๏„š๐‘ฅ๐‘›!โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š
  • C๐‘”(๐‘ฅ)=๏„š๐‘ฅ๐‘›!โˆž๏Š๏Šฒ๏Šง๏Š๏Šฐ๏Šง
  • D๐‘”(๐‘ฅ)=๏„š๐‘ฅ(๐‘›+1)!โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฐ๏Šง
  • E๐‘”(๐‘ฅ)=๏„š๐‘ฅ๐‘›!โˆž๏Š๏Šฒ๏Šง๏Š

Use os trรชs primeiros termos desta sรฉrie para encontrar um valor aproximado de ๐‘’๏Šฆ๏Ž•๏Šช para 2 casas decimais.

Q3:

A funรงรฃo cos๐‘ฅ pode ser representada por uma sรฉrie de potรชncias โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šจ๏Š๏„š(โˆ’1)(2๐‘›)!๐‘ฅ. Utilize os primeiros dois termos desta sรฉrie para determinar um valor aproximado para cos0,5 com duas casas decimais.

Q4:

A funรงรฃo sen๐‘ฅ pode ser representada pela sรฉrie de potรชncias โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šจ๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š(โˆ’1)(2๐‘›+1)!๐‘ฅ. Use os dois primeiros termos desta sรฉrie para encontrar um valor aproximado de sen0,5 para 2 casas decimais.

Q5:

Considere a expansรฃo binomial de ๏€ผ1+1๐‘›๏ˆ๏Š.

Qual das seguintes expressรตes รฉ o seu quarto termo?

  • A๏€ป1โˆ’๏‡๏€ป1โˆ’๏‡3!(๐‘›โˆ’3)!๏Šง๏Š๏Šจ๏Š
  • B๐‘›!3!
  • C๏€ป1โˆ’๏‡๏€ป1โˆ’๏‡3!๏Šง๏Š๏Šจ๏Š
  • D๏€ป1โˆ’๏‡๏€ป1+๏‡3!๏Šง๏Š๏Šจ๏Š
  • E๏€ผ1โˆ’1๐‘›๏ˆ๏€ผ1โˆ’2๐‘›๏ˆ

Qual รฉ o limite do (๐‘˜+1)-รฉsimo termo ร  medida que ๐‘› tende para infinito?

  • A1๐‘˜!(๐‘˜โˆ’1)!
  • B1๐‘˜!
  • Cโˆž
  • D1(๐‘˜+1)!
  • E1

Por fim, escreva na forma de somatรณrio (ou com notaรงรฃo sigma) uma sรฉrie que รฉ igual ao limite de ๏€ผ1+1๐‘›๏ˆ๏Š ร  medida que ๐‘› tende para infinito.

  • Aโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏„š1๐‘›!(๐‘›โˆ’1)!
  • Bโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏„š(๐‘›โˆ’2)!(๐‘›โˆ’1)!
  • Cโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏„š1๐‘›!

Qual รฉ o valor desta sรฉrie?

  • A๐‘’
  • B๐‘–
  • C๐œ‘
  • D๐œ‹

Q6:

Encontre a sรฉrie Maclaurin de senh3๐‘ฅ=๐‘’โˆ’๐‘’2๏Šฉ๏—๏Šฑ๏Šฉ๏—.

  • Aโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š(๐‘ฅ)(2๐‘›+1)!
  • Bโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šจ๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š(โˆ’1)(๐‘ฅ)(2๐‘›+1)!
  • Cโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šจ๏Š๏„š(โˆ’1)(3๐‘ฅ)(2๐‘›)!
  • Dโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏„š(3๐‘ฅ)(2๐‘›)!
  • Eโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š(3๐‘ฅ)(2๐‘›+1)!

Q7:

Use a sรฉrie Maclaurin de sen๐‘ฅ para expressar ๏„ธ๏€น๐‘ฅ๏…๐‘ฅsend๏Šฉ como uma sรฉrie infinita.

  • Aโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฌ๏Š๏Šฐ๏Šช๏„š(โˆ’1)๐‘ฅ(2๐‘›+1)!(6๐‘›+4)+๐‘
  • Bโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฌ๏Š๏Šฐ๏Šช๏„š(โˆ’1)๐‘ฅ(6๐‘›+4)!+๐‘
  • Cโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šฌ๏Š๏Šฐ๏Šช๏„š๐‘ฅ(2๐‘›+1)!(6๐‘›+4)+๐‘
  • Dโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šฌ๏Š๏Šฐ๏Šช๏„š๐‘ฅ(6๐‘›+4)!+๐‘
  • Eโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฌ๏Š๏Šฐ๏Šฉ๏„š(โˆ’1)๐‘ฅ(2๐‘›+1)!+๐‘

Q8:

Use a sรฉrie de Maclaurin de ๐‘’๏— para expressar ๏„ธ๐‘’๐‘ฅ๏—๏Žกd como uma sรฉrie infinita.

  • Aโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏„š๐‘ฅ(2๐‘›)!+๐‘
  • Bโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š๐‘ฅ๐‘›!+๐‘
  • Cโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š๐‘ฅ๐‘›!(2๐‘›+1)+๐‘
  • Dโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏„š๐‘ฅ๐‘›!+๐‘
  • Eโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Šจ๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š๐‘ฅ(2๐‘›+1)!+๐‘

Q9:

Encontre a sรฉrie Maclaurin de ln๏€ป1โˆ’๐‘ฅ2๏‡.

  • Aโˆ’๏„š1(๐‘›+1)๏€ป๐‘ฅ2๏‡โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฐ๏Šง
  • Bโˆ’๏„š1(๐‘›+1)!๏€ป๐‘ฅ2๏‡โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฐ๏Šง
  • Cโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š(โˆ’1)1(๐‘›+1)๏€ป๐‘ฅ2๏‡
  • Dโˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Š๏Šฐ๏Šง๏„š(โˆ’1)1(๐‘›+1)(๐‘ฅ)
  • Eโˆ’๏„š1(๐‘›+1)!(๐‘ฅ)โˆž๏Š๏Šฒ๏Šฆ๏Š๏Šฐ๏Šง

Q10:

Escreva os trรชs primeiros termos da expansรฃo de Taylor para ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘’๏—๏Žก sobre 1 em potรชncias ascendentes de (๐‘ฅโˆ’1).

  • A๐‘’+2๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)+3๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)๏Šจ๏Šช
  • B๐‘’+2๐‘’(๐‘ฅ+1)+3๐‘’(๐‘ฅ+1)๏Šจ
  • Cโˆ’๐‘’โˆ’2๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)โˆ’3๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)๏Šจ
  • D๐‘’+2๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)+2๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)๏Šจ
  • E๐‘’+2๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)+3๐‘’(๐‘ฅโˆ’1)๏Šจ

Q11:

Escreva os trรชs primeiros termos da expansรฃo de Taylor para ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘ฅcos sobre ๐œ‹ em potรชncias ascendentes de (๐‘ฅโˆ’๐œ‹).

  • A12โˆ’14(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)+148(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Šจ๏Šช
  • Bโˆ’1+12(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’124(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Šช๏Šฎ
  • Cโˆ’1+12(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’124(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Šจ๏Šช
  • Dโˆ’12+14(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’148(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Šจ๏Šช
  • E1โˆ’12(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)+124(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Šจ๏Šช

Q12:

Ao escrever os trรชs primeiros termos diferentes de zero da expansรฃo de Taylor ๐‘“(๐‘ฅ)=2๐‘ฅsen sobre ๐œ‹2 em potรชncias crescentes de ๏€ป๐‘ฅโˆ’๐œ‹2๏‡, estime o valor de sen1,6. Dรช sua resposta precisa a trรชs nรบmeros significativos.

Q13:

Ao escrever os trรชs primeiros termos diferentes de zero da expansรฃo Maclaurin de ๐‘“(๐‘ฅ)=๐‘ฅtan em potรชncias crescentes de ๐‘ฅ, estime o valor de tan๐œ‹4. Dรช sua resposta precisa a trรชs nรบmeros significativos.

Q14:

Encontre os trรชs primeiros termos diferentes de zero da expansรฃo de Taylor para ๐‘“(๐‘ฅ)=2๐‘’๐‘ฅ๏—sen sobre ๐œ‹, em potรชncias crescentes de (๐‘ฅโˆ’๐œ‹).

  • Aโˆ’2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’13๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Ž„๏Ž„๏Šจ๏Ž„๏Šฉ
  • Bโˆ’2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’23๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Ž„๏Ž„๏Šจ๏Ž„๏Šฉ
  • C2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)+2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)+23๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Ž„๏Ž„๏Šจ๏Ž„๏Šฉ
  • Dโˆ’2๐‘’(๐‘ฅ+๐œ‹)โˆ’2๐‘’(๐‘ฅ+๐œ‹)โˆ’23๐‘’(๐‘ฅ+๐œ‹)๏Ž„๏Ž„๏Šจ๏Ž„๏Šฉ
  • Eโˆ’2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’2๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)โˆ’23๐‘’(๐‘ฅโˆ’๐œ‹)๏Ž„๏Šจ๏Ž„๏Šช๏Ž„๏Šฌ

Q15:

Aproxime ๏„ธ(๐‘ฅ)๐‘ฅ๏Šง๏Šฆ๏Šจsend usando os dois primeiros termos de uma sรฉrie apropriada.

  • A27
  • B518
  • C29
  • D514
  • E1342

Q16:

Escreva os trรชs primeiros termos da expansรฃo de Taylor para ๐‘“(๐‘ฅ)=(๐‘ฅ+1)ln sobre ๐‘ฅ=๐‘Ž em potรชncias crescentes de (๐‘ฅโˆ’๐‘Ž).

  • A๐‘“(๐‘ฅ)=(๐‘Ž+1)โˆ’1๐‘Ž+1(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)+12(๐‘Ž+1)(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)ln๏Šจ๏Šจ
  • B๐‘“(๐‘ฅ)=(๐‘Ž+1)โˆ’(๐‘Ž+1)(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)+(๐‘Ž+1)(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)ln๏Šจ๏Šจ
  • C๐‘“(๐‘ฅ)=(๐‘Ž+1)+(๐‘Ž+1)(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)โˆ’(๐‘Ž+1)(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)ln๏Šจ๏Šจ
  • D๐‘“(๐‘ฅ)=(๐‘Ž+1)+2๐‘Ž+1(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)โˆ’13(๐‘Ž+1)(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)ln๏Šจ๏Šจ
  • E๐‘“(๐‘ฅ)=(๐‘Ž+1)+1๐‘Ž+1(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)โˆ’12(๐‘Ž+1)(๐‘ฅโˆ’๐‘Ž)ln๏Šจ๏Šจ

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