Atividade: Matrizes Ortogonais

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Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar se uma matriz é ortogonal e como determinar elementos desconhecidos de uma matriz para ser ortogonal.

Q1:

A matriz dada Γ© ortogonal?𝐴=131βˆ’222βˆ’1βˆ’2221

  • A nΓ£o
  • B sim

Q2:

A matriz dada Γ© ortogonal?𝐴=ο”πœƒπœƒβˆ’πœƒπœƒο cossensencos

  • A nΓ£o
  • B sim

Q3:

A matriz dada é ortogonal?𝐴=122212221

  • A nΓ£o
  • B sim

Q4:

A matriz dada Γ© ortogonal?𝐴=ο™πœƒπœƒ0βˆ’πœƒπœƒ0001ο₯cossensencos

  • A sim
  • B nΓ£o

Q5:

Dado que a matriz ⎑⎒⎒⎒⎒⎒⎒⎣13βˆ’2√5π‘Ž230𝑏𝑐𝑑4√515⎀βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦ Γ© ortogonal, encontre os valores de π‘Ž, 𝑏, 𝑐, e 𝑑.

  • A π‘Ž = 2 3 √ 5 , 𝑏 = βˆ’ 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = βˆ’ 1 √ 5
  • B π‘Ž = 2 3 √ 5 , 𝑏 = 5 3 √ 5 , 𝑐 = βˆ’ 2 3 , 𝑑 = 1 √ 5
  • C π‘Ž = βˆ’ 2 3 √ 5 , 𝑏 = 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = 1 √ 5
  • D π‘Ž = βˆ’ 2 3 √ 5 , 𝑏 = βˆ’ 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = βˆ’ 1 √ 5
  • E π‘Ž = 2 3 √ 5 , 𝑏 = βˆ’ 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = 1 √ 5

Q6:

Sabendo que a matriz ⎑⎒⎒⎒⎒⎣23√22√2623π‘Žπ‘π‘0π‘‘βŽ€βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦ Γ© ortogonal, determine os valores de π‘Ž, 𝑏, 𝑐 e 𝑑.

  • A π‘Ž = βˆ’ √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = 1 3 , 𝑑 = 4 3 √ 2
  • B π‘Ž = √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = βˆ’ 1 3 , 𝑑 = βˆ’ 4 3 √ 2
  • C π‘Ž = βˆ’ √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = βˆ’ 1 3 , 𝑑 = βˆ’ 4 3 √ 2
  • D π‘Ž = √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = 1 3 , 𝑑 = 4 3 √ 2
  • E π‘Ž = βˆ’ √ 2 2 , 𝑏 = βˆ’ 1 3 √ 2 , 𝑐 = 1 3 , 𝑑 = 4 3 √ 2

Q7:

Sabendo que a matriz βŽ‘βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ£βˆ’1√2βˆ’1√61√31√2π‘Žπ‘π‘βˆš63π‘‘βŽ€βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦ Γ© ortogonal, determine os valores de π‘Ž, 𝑏, 𝑐 e 𝑑.

  • A π‘Ž = βˆ’ 1 √ 6 , 𝑏 = 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 1 √ 3
  • B π‘Ž = βˆ’ 1 √ 6 , 𝑏 = βˆ’ 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 1 √ 3
  • C π‘Ž = 1 √ 6 , 𝑏 = 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 1 √ 3
  • D π‘Ž = βˆ’ 1 √ 6 , 𝑏 = βˆ’ 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = βˆ’ 1 √ 3
  • E π‘Ž = 1 √ 6 , 𝑏 = βˆ’ 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = βˆ’ 1 √ 3

Q8:

Preencha as entradas em falta para tornar a matriz βŽ‘βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ’βŽ£βˆ’1√21√6√1261√2β‹―β‹―β‹―βˆš63β‹―βŽ€βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦ ortogonal.

  • A ⎑ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎣ βˆ’ 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 βˆ’ 1 √ 6 βˆ’ √ 1 2 6 0 √ 6 3 √ 1 2 6 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ ⎦
  • B ⎑ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎣ βˆ’ 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 6 3 βˆ’ √ 1 2 6 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ ⎦
  • C ⎑ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎣ βˆ’ 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 βˆ’ 1 √ 6 βˆ’ √ 1 2 6 1 √ 6 3 √ 1 2 6 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ ⎦
  • D ⎑ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎣ βˆ’ 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 βˆ’ 1 √ 6 √ 1 2 6 0 √ 6 3 βˆ’ √ 1 2 6 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ ⎦
  • E ⎑ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎒ ⎣ βˆ’ 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 0 √ 6 3 βˆ’ √ 1 2 6 ⎀ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ βŽ₯ ⎦

Q9:

Uma matriz diz-se ortogonal se 𝐴𝐴=𝐼. Portanto, a inversa de uma matriz ortogonal é apenas a sua transposta. Quais são os valores possíveis de det(𝐴) se 𝐴 for uma matriz ortogonal?

  • A d e t ( 𝐴 ) = 2
  • B d e t ( 𝐴 ) = 0
  • C d e t ( 𝐴 ) = 1 ou det(𝐴)=βˆ’1
  • D d e t ( 𝐴 ) = √ 2 ou det(𝐴)=βˆ’βˆš2
  • E d e t ( 𝐴 ) = 1 √ 2 ou det(𝐴)=βˆ’1√2

Q10:

Verdadeiro ou falso: a matriz 01βˆ’10 Γ© ortogonal?

  • AVerdadeiro
  • B Falso

Q11:

Se 𝐴 Γ© uma matriz π‘šΓ—π‘š ortogonal, qual das seguintes opçáes pode nΓ£o ser verdadeira para 𝐴?

  • AAs colunas de 𝐴 formam uma base ortonormada de ℝ.
  • BO determinante de 𝐴 Γ© igual a 1.
  • CAs linhas de 𝐴 formam uma base ortonormada de ℝ.
  • DA dimensΓ£o do nΓΊcleo de 𝐴 Γ© 0.
  • E 𝐴 = 𝐴    .

Q12:

Determine se a seguinte matriz Γ© ortogonal: 𝐴=⎑⎒⎒⎒⎣√32βˆ’1212√32⎀βŽ₯βŽ₯βŽ₯⎦.

  • A 𝐴 nΓ£o Γ© uma matriz ortogonal.
  • B 𝐴 Γ© uma matriz ortogonal.

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