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Atividade: Matrizes Ortogonais

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar se uma matriz é ortogonal e como determinar elementos desconhecidos de uma matriz para ser ortogonal.

Q1:

A matriz dada é ortogonal?

  • A sim
  • B não

Q2:

Preencha as entradas em falta para tornar a matriz ortogonal.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 − 1 √ 6 − √ 1 2 6 0 √ 6 3 √ 1 2 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 6 3 − √ 1 2 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 − 1 √ 6 − √ 1 2 6 1 √ 6 3 √ 1 2 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 0 √ 6 3 − √ 1 2 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 1 √ 6 √ 1 2 6 1 √ 2 − 1 √ 6 √ 1 2 6 0 √ 6 3 − √ 1 2 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q3:

Sabendo que a matriz é ortogonal, determine os valores de 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 e 𝑑 .

  • A 𝑎 = − 1 √ 6 , 𝑏 = − 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = − 1 √ 3
  • B 𝑎 = 1 √ 6 , 𝑏 = 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 1 √ 3
  • C 𝑎 = 1 √ 6 , 𝑏 = − 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = − 1 √ 3
  • D 𝑎 = − 1 √ 6 , 𝑏 = 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 1 √ 3
  • E 𝑎 = − 1 √ 6 , 𝑏 = − 1 √ 3 , 𝑐 = 0 , 𝑑 = 1 √ 3

Q4:

A matriz dada é ortogonal?

  • A sim
  • B não

Q5:

A matriz dada é ortogonal?

  • A sim
  • B não

Q6:

Sabendo que a matriz é ortogonal, determine os valores de 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 e 𝑑 .

  • A 𝑎 = − √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = 1 3 , 𝑑 = 4 3 √ 2
  • B 𝑎 = √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = − 1 3 , 𝑑 = − 4 3 √ 2
  • C 𝑎 = √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = 1 3 , 𝑑 = 4 3 √ 2
  • D 𝑎 = − √ 2 2 , 𝑏 = 1 3 √ 2 , 𝑐 = − 1 3 , 𝑑 = − 4 3 √ 2
  • E 𝑎 = − √ 2 2 , 𝑏 = − 1 3 √ 2 , 𝑐 = 1 3 , 𝑑 = 4 3 √ 2

Q7:

Dado que a matriz é ortogonal, encontre os valores de 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , e 𝑑 .

  • A 𝑎 = 2 3 √ 5 , 𝑏 = 5 3 √ 5 , 𝑐 = − 2 3 , 𝑑 = 1 √ 5
  • B 𝑎 = − 2 3 √ 5 , 𝑏 = 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = 1 √ 5
  • C 𝑎 = 2 3 √ 5 , 𝑏 = − 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = − 1 √ 5
  • D 𝑎 = 2 3 √ 5 , 𝑏 = − 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = 1 √ 5
  • E 𝑎 = − 2 3 √ 5 , 𝑏 = − 5 3 √ 5 , 𝑐 = 2 3 , 𝑑 = − 1 √ 5

Q8:

A matriz dada é ortogonal?

  • A não
  • B sim

Q9:

Uma matriz diz-se ortogonal se 𝐴 𝐴 = 𝐼 𝑇 . Portanto, a inversa de uma matriz ortogonal é apenas a sua transposta. Quais são os valores possíveis de d e t ( 𝐴 ) se 𝐴 for uma matriz ortogonal?

  • A d e t ( 𝐴 ) = 1 √ 2 ou d e t ( 𝐴 ) = − 1 √ 2
  • B d e t ( 𝐴 ) = 0
  • C d e t ( 𝐴 ) = 2
  • D d e t ( 𝐴 ) = 1 ou d e t ( 𝐴 ) = − 1
  • E d e t ( 𝐴 ) = √ 2 ou d e t ( 𝐴 ) = − √ 2

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