Atividade: Comprimento do Arco de uma Curva Paramétrica

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Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar o comprimento do arco de uma curva parametricamente definida.

Q1:

Encontre o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=3𝑡−3𝑡coscos e 𝑦=3𝑡−3𝑡sensen, onde 0≤𝑡≤𝜋.

Q2:

Expresse o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=𝑡−2𝑡sen e 𝑦=1−2𝑡cos, onde 0≤𝑡≤4𝜋, como uma integral.

  • A √ 5 + 4 𝑡 𝑡 c o s d
  • B ( 1 + 2 ( 𝑡 − 𝑡 ) ) 𝑡 s e n c o s d
  • C √ 5 − 4 𝑡 𝑡 c o s d
  • D √ 1 + 2 ( 𝑡 − 𝑡 ) 𝑡 s e n c o s d
  • E √ 5 + 𝑡 − 4 𝑡 − 4 𝑡 𝑡 𝑡 c o s s e n d

Q3:

Encontre o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=2𝑡sen e 𝑦=1−𝑡ln, onde 0≤𝑡≤12.

  • A l n 9 4
  • B √ 5 𝜋 6
  • C l n 3 − 1
  • D 2 2 l n
  • E l n 3

Q4:

Encontre o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=𝑡𝑡sen e 𝑦=𝑡𝑡cos, onde 0≤𝑡≤1.

  • A − 1 2 √ 2 − 1 2 1 + √ 2 l n
  • B 1 2 √ 2 + 1 2 1 + √ 2 l n
  • C 1 2 √ 2 + 1 2 √ 2 − 1 l n
  • D − 1 2 √ 2 − 1 2 √ 2 − 1 l n
  • E 4 3

Q5:

Expresse o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=𝑡+𝑒 e 𝑦=𝑡−𝑒, onde 0≤𝑡≤2, como uma integral.

  • A √ 2 𝑡 d
  • B √ 2 𝑡 + 2 𝑒 𝑡 d
  • C √ 2 + 2 𝑒 𝑡 d
  • D 2 + 2 𝑒 𝑡 d
  • E √ 2 + 2 𝑒 2 𝑡 d

Q6:

Encontre o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=𝑒−𝑡 e 𝑦=4𝑒, onde 0≤𝑡≤2.

  • A 𝑒
  • B 𝑒 2 + 2 𝑒 − 1 2
  • C 𝑒 + 4 𝑒 − 7
  • D 𝑒 + 1
  • E 1 2 𝑒 − 2 𝑒 + 3 2

Q7:

Expresse o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=𝑡+√𝑡 e 𝑦=𝑡−√𝑡, onde 0≤𝑡≤1, como uma integral.

  • A √ 2 𝑡 𝑡 d
  • B 2 + 1 2 𝑡 𝑡 d
  • C √ 2 𝑡 d
  • D 2 + 2 𝑡 𝑡 d
  • E √ 2 𝑡 + 2 𝑡 𝑡 d

Q8:

A posição de uma partícula no tempo 𝑡 é 𝑡,𝑡sencos. Encontre a distância percorrida pela partícula entre 𝑡=0 e 𝑡=3𝜋.

  • A1
  • B √ 2
  • C 6 √ 2
  • D 1 2 √ 2
  • E6

Q9:

Encontre o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=1+3𝑡 e 𝑦=4+2𝑡, onde 0≤𝑡≤1.

  • A 4 √ 2 − 2
  • B 1 2 𝜋
  • C5
  • D 9 6 5
  • E 1 3 √ 1 3 − 2 7 1 2

Q10:

Determine o comprimento da curva com equações paramétricas 𝑥=𝑡 e 𝑦=13𝑡 para as quais 0≤𝑡≤1.

  • A 4 3
  • B 5 √ 5 − 8 3
  • C 1 0 √ 5 − 1 6 3
  • D 1 3
  • E 2 3 1 5

Q11:

Encontre o comprimento do astroide com equações paramétricas 𝑥=𝑎𝜃cos e 𝑦=𝑎𝜃sen, onde 𝑎>0.

  • A 3 𝑎
  • B 3 2 𝑎
  • C 6 𝑎
  • D 9 𝜋 1 6 𝑎
  • E 9 𝜋 4 𝑎

Q12:

Encontre o comprimento de um arco do cicloide com equações paramétricas 𝑥=𝑟(𝑡−𝑡)sen e 𝑦=𝑟(1−𝑡)cos.

  • A 𝑟
  • B 4 𝑟
  • C 4 √ 2 𝑟
  • D 2 𝑟
  • E 8 𝑟

Q13:

Considere as equações paramétricas 𝑥=𝑎𝜃cos e 𝑦=𝑎𝜃sen para 0≤𝜃≤2𝜋.

Escreva o comprimento de arco desta curva na forma de integral.

  • A 𝑎 √ 𝜃 − 𝜃 𝜃 c o s s e n d
  • B 𝑎 𝜃 𝜃 s e n d
  • C 1 2 𝑎 𝜃 d
  • D 𝑎 𝜃 d
  • E 𝑎 𝜃 d

Calcule o integral.

  • A 𝜋 𝑎
  • B 2 𝜋 𝑎
  • C 2 𝜋 𝑎
  • D 2 𝜋
  • E 𝜋 𝑎

Q14:

Escreva o comprimento da curva de equações paramétricas 𝑥=𝑡−𝑡 e 𝑦=𝑡 para os quais 1≤𝑡≤4, na forma de integral.

  • A 4 𝑡 + 2 𝑡 − 1 𝑡 d
  • B √ 𝑡 + 𝑡 − 2 𝑡 + 𝑡 𝑡 d
  • C √ 4 𝑡 + 2 𝑡 − 1 𝑡 d
  • D 1 6 𝑡 + 4 𝑡 − 4 𝑡 + 1 𝑡 d
  • E √ 1 6 𝑡 + 4 𝑡 − 4 𝑡 + 1 𝑡 d

Q15:

Encontre o comprimento do arco da curva definida pelas equações paramétricas 𝑥=𝑡cos e 𝑦=𝑡sen.

  • A 𝜋 2
  • B 𝜋
  • C 4 𝜋
  • D 2 𝜋
  • E 𝜋 4

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