Lição de casa da aula: Planos Tangentes e Aproximação Linear Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a equação de um plano tangente a uma superfície em um ponto e como utilizar planos tangentes para aproximação linear de funções de duas variáveis.

Q1:

Pretendemos ver qual Γ© o aspeto de um tΓ­pico plano tangente ao grΓ‘fico de 𝑧=𝑓(π‘₯;𝑦). Fixe o ponto (π‘Ž;𝑏;𝑐) tal que 𝑐=𝑓(π‘Ž;𝑏). Este Γ© um ponto do grΓ‘fico de 𝑧=𝑓(π‘₯;𝑦).

Todos os planos em π‘…οŠ© ao quais (π‘Ž;𝑏;𝑐) pertence tΓͺm de equação 𝑅(π‘₯βˆ’π‘Ž)+𝑆(π‘¦βˆ’π‘)+𝑇(π‘§βˆ’π‘)=0 para nΓΊmeros 𝑅;𝑆;𝑇. Para que (𝑅;𝑆;𝑇) esta equação nΓ£o Γ© de um plano?

  • AQuando um deles, 𝑅;𝑆;𝑇, Γ© zero
  • BQuando 𝑅=0
  • CQuando 𝑅;𝑆;𝑇 sΓ£o zero
  • DQuando 𝑇=0
  • ENunca, esta representarΓ‘ sempre um plano

Sob que condiçáes em 𝑅;𝑆;𝑇 o plano 𝑅(π‘₯βˆ’π‘Ž)+𝑆(π‘¦βˆ’π‘)+𝑇(π‘§βˆ’π‘)=0 Γ© paralelo ao plano π‘₯𝑦?

  • A𝑅≠0 ou 𝑆≠0
  • B𝑅=0
  • C𝑇=0
  • D𝑅=𝑆=0
  • E𝑆=0

Sob que condiçáes em 𝑅;𝑆;𝑇 o plano 𝑅(π‘₯βˆ’π‘Ž)+𝑆(π‘¦βˆ’π‘)+𝑇(π‘§βˆ’π‘)=0 contΓ©m a reta paralela ao eixo O𝑧 que passa em (π‘Ž;𝑏;𝑐)?

  • A𝑅=𝑆=0
  • B𝑅=0
  • C𝑅+𝑆+𝑇=0
  • D𝑆=0
  • E𝑇=0

NΓ£o difΓ­cil ver que se o plano 𝑅(π‘₯βˆ’π‘Ž)+𝑆(π‘¦βˆ’π‘)+𝑇(π‘§βˆ’π‘)=0 contΓ©m qualquer reta paralela ao eixo O𝑧, entΓ£o deve conter a reta paralela que passa por (π‘Ž;𝑏;𝑐). Sabendo que isto nΓ£o pode acontecer para o grΓ‘fico de um função diferenciΓ‘vel da forma 𝑧=𝑓(π‘₯;𝑦), podemos escrever o plano tangente a (π‘Ž;𝑏;𝑐) na forma 𝐴(π‘₯βˆ’π‘Ž)+𝐡(π‘¦βˆ’π‘)+(π‘§βˆ’π‘)=0. Considerando a secção do grΓ‘fico no plano π‘₯𝑧 quando 𝑦=𝑏, determine 𝐴.

  • Aπœ•π‘“πœ•π‘¦(π‘Ž;𝑏)βˆ’πœ•π‘“πœ•π‘₯(π‘Ž;𝑏)
  • Bβˆ’πœ•π‘“πœ•π‘¦(π‘Ž;𝑏)
  • Cπœ•π‘“πœ•π‘¦(π‘Ž;𝑏)
  • Dπœ•π‘“πœ•π‘₯(π‘Ž;𝑏)
  • Eβˆ’πœ•π‘“πœ•π‘₯(π‘Ž;𝑏)

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