Atividade: Espaço Nulo

Nesta atividade, nós vamos praticar a definir o espaço nulo de uma matriz e encontrar sua base e dimensão.

Q1:

Determine uma base para o espaço de soluções do seguinte sistema.012101125𝑥𝑦𝑧=000

  • A512
  • B215
  • C121
  • D121
  • E121

Q2:

Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução.012121145𝑥𝑦𝑧=000,

  • AA solução geral é 4𝑡2𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 421.
  • BA solução geral é 𝑡2𝑡3𝑡. Uma base para o espaço da solução é 123.
  • CA solução geral é 3𝑡2𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 123.
  • DA solução geral é 𝑡2𝑡4𝑡. Uma base para o espaço da solução é 124.
  • EA solução geral é 3𝑡2𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 321.

Q3:

Suponha que 𝐴 e 𝐵 são matrizes 𝑚×𝑚 e 𝑣 é um vetor do kernel de 𝐴. Considere esta proposição: 𝐴𝐵𝑣=0. Qual das seguintes opções é verdadeira?

  • ASe a proposição é verdadeira, então 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade.
  • BSe 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade, então a proposição é verdadeira.
  • CSe 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade, então a proposição é falsa.
  • DA proposição é sempre verdadeira.
  • EA proposição é verdadeira se e só se 𝐵 é um múltiplo da matriz identidade.

Q4:

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares 1101111031123303𝑥𝑦𝑧𝑤=0000, e, portanto, encontre uma base para o seu espaço da solução.

  • AA solução geral é 𝑠𝑡𝑠𝑡𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 1110,1101.
  • BA solução geral é 12𝑠12𝑡12𝑠12𝑡𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 121210,121201.
  • CA solução geral é 𝑡𝑠𝑡𝑠𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 0111,1101.
  • DA solução geral é 𝑡12𝑠12𝑡𝑠12𝑠12𝑡, e uma base para o espaço da solução é 012112,112012.
  • EA solução geral é 𝑠𝑡𝑠+𝑡𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 1110,1101.

Q5:

Encontre a solução geral do sistema de equações lineares 1101211210110000𝑥𝑦𝑧𝑤=0000, e, portanto, encontre uma base para o seu espaço de solução.

  • AA solução geral é 𝑠𝑡𝑠+𝑡𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 1110,1101.
  • BA solução geral é 𝑠𝑡𝑠𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 1110,1001.
  • CA solução geral é 𝑡𝑠+𝑡𝑠𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 0111,1101.
  • DA solução geral é 𝑡𝑠𝑠𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 0111,1001.
  • EA solução geral é 𝑡𝑠𝑠𝑡, e uma base para o espaço da solução é 0110,1001.

Q6:

Encontre a solução geral para o sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução.1101211210110111𝑥𝑦𝑧𝑤=0000

  • AA solução geral é 0𝑡𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 0111.
  • BA solução geral é 𝑡𝑡𝑡0. Uma base para o espaço da solução é 0111.
  • CA solução geral é 𝑡2𝑡𝑡0. Uma base para o espaço da solução é 1210.
  • DA solução geral é 0𝑡2𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 0121.
  • EA solução geral é 𝑡𝑡𝑡0. Uma base para o espaço da solução é 1110.

Q7:

Determine a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, em seguida, determine a base do espaço de soluções.112121345𝑥𝑦𝑧=000

  • AA solução geral é 3𝑡𝑡𝑡. Uma base para o espaço de soluções é 311.
  • BA solução geral é 𝑡𝑡3𝑡. Uma base para o espaço de soluções é 113.
  • CA solução geral é 4𝑡2𝑡3𝑡. Uma base para o espaço de soluções é 423.
  • DA solução geral é 3𝑡2𝑡4𝑡. Uma base para o espaço de soluções é 324.
  • EA solução geral é 3𝑡𝑡𝑡. Uma base para o espaço de soluções é 113.

Q8:

Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução. 1011111031323303𝑥𝑦𝑧𝑤=0000,

  • AA solução geral é 𝑡𝑡𝑡0. Uma base para o espaço da solução é 1110.
  • BA solução geral é 𝑡𝑡3𝑡3𝑡. Uma base para o espaço da solução é 1133.
  • CA solução geral é 𝑡𝑡3𝑡3𝑡. Uma base para o espaço da solução é 1133.
  • DA solução geral é 0𝑡𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 1110.
  • EA solução geral é 0𝑡𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 0111.

Q9:

Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares e, assim, encontre uma base para o seu espaço de solução. 112120344𝑥𝑦𝑧=000,

  • AA solução geral é 4𝑡2𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 124.
  • BA solução geral é 3𝑡𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 311.
  • CA solução geral é 𝑡𝑡3𝑡. Uma base para o espaço da solução é 113.
  • DA solução geral é 𝑡2𝑡4𝑡. Uma base para o espaço da solução é 124.
  • EA solução geral é 4𝑡2𝑡𝑡. Uma base para o espaço da solução é 421.

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