Atividade: A Diferenciabilidade de uma Função

Nesta atividade, nós vamos praticar se uma função é diferenciável e identificar a relação entre diferenciabilidade de função e sua continuidade.

Q1:

Seja 𝑓 ( 𝑥 ) = 5 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑥 < 2 , 5 𝑥 = 2 , 𝑎 𝑥 3 𝑏 𝑥 > 2 . s e s e s e Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 tais que 𝑓 é contínua em 𝑥 = 2 . O que pode ser dito sobre a derivabilidade de 𝑓 nesse ponto?

  • A 𝑎 = 4 , 𝑏 = 1 , é derivável em 𝑥 = 2
  • B 𝑎 = 5 , 𝑏 = 5 , é derivável em 𝑥 = 2
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 1 , não é derivável em 𝑥 = 2
  • D 𝑎 = 5 , 𝑏 = 5 , não é derivável em 𝑥 = 2

Q2:

Discute a continuidade e a derivabilidade da função 𝑓 em 𝑥 = 0 sendo 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 6 𝑥 < 0 , 𝑥 9 𝑥 6 𝑥 0 . s e s e

  • AA função não é contínua, portanto não é derivável em 𝑥 = 0 .
  • BA função não é contínua mas é derivável em 𝑥 = 0 .
  • CA função é contínua mas não é derivável em 𝑥 = 0 .
  • DA função é contínua e derivável em 𝑥 = 0 .

Q3:

Discuta a derivabilidade de uma função 𝑓 em 𝑥 = 4 sendo 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 𝑥 + 7 𝑥 < 4 , 2 𝑥 + 5 𝑥 4 . s e s e

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 ( 4 ) não está definido.
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) é derivável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 é contínua em 𝑥 = 4 .
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) é derivável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 ( 4 ) = 𝑓 ( 4 ) .
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 ( 4 ) 𝑓 ( 4 ) .

Q4:

Discute a derivabilidade da função 𝑓 ( 𝑥 ) em 𝑥 = 1 sendo 𝑓 ( 𝑥 ) = ( 6 𝑥 6 ) | 6 𝑥 6 | .

  • AA função não é derivável em 𝑥 = 1 pois 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua naquele ponto.
  • Ba função não é derivável naquele ponto pois 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • CA função é derivável em 𝑥 = 1 pois 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua naquele ponto.
  • DA função é derivável naquele ponto pois 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .

Q5:

Discuta a derivabilidade da função 𝑓 em 𝑥 = 1 sendo 𝑓 ( 𝑥 ) = 2 𝑥 + 8 𝑥 < 1 , 𝑥 + 9 𝑥 1 . s e s e

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 é descontínua em 𝑥 = 1 .
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua mas não é derivável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) é não definida.
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) é derivável em 𝑥 = 1 .
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua mas derivável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .

Q6:

Suponha 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 7 𝑥 + 5 𝑥 8 , 3 𝑥 + 4 𝑥 4 𝑥 > 8 . s e s e O que pode ser dito sobre a derivabilidade de 𝑓 em 𝑥 = 8 ?

  • AA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 é descontínua em 𝑓 ( 8 ) .
  • BA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é contínua mas é derivável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 8 ) = 𝑓 ( 8 ) .
  • CA função 𝑓 ( 𝑥 ) é derivável em 𝑥 = 8 uma vez que l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) mas não é contínua.
  • DA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 8 ) 𝑓 ( 8 ) .
  • EA função 𝑓 ( 𝑥 ) é derivável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 8 ) não está definido.

Q7:

O que pode ser dito acerca da derivabilidade de 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 em 𝑥 = 2 ?

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) é derivável em 𝑥 = 2 .
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 2 porque 𝑓 é descontínua nesse ponto.
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 2 porque 𝑓 ( 2 ) não está definido.
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua mas não derivável em 𝑥 = 2 porque 𝑓 ( 2 ) 𝑓 ( 2 ) .

Q8:

Discute a derivabilidade da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 + 1 𝑥 em 𝑥 = 7 .

  • AA função não derivável em 𝑥 = 7 porque 𝑓 ( 7 ) não existe.
  • BA função não é derivável em 𝑥 = 7 porque 𝑓 ( 𝑥 ) não é contínua nesse ponto.
  • CA função é derivável em 𝑥 = 7 porque 𝑓 ( 7 ) existe.
  • DA função é derivável em 𝑥 = 7 porque 𝑓 ( 7 ) existe.

Q9:

Seja 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑐 + 𝑚 𝑥 𝑥 < 1 , 𝑐 𝑥 4 𝑚 𝑥 1 . s e s e Se 𝑓 ( 1 ) = 1 2 e 𝑓 é contínua em 𝑥 = 1 , determine os valores de 𝑚 e 𝑐 . O que pode ser dito sobre a derivabilidade de 𝑓 neste ponto?

  • A 𝑚 = 1 2 , 𝑐 = 6 , derivável em 𝑥 = 1
  • B 𝑚 = 4 , 𝑐 = 4 , derivável em 𝑥 = 1
  • C 𝑚 = 1 2 , 𝑐 = 6 , não é derivável em 𝑥 = 1
  • D 𝑚 = 4 , 𝑐 = 4 , não é derivável em 𝑥 = 1

Q10:

Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 sendo a função 𝑓 derivável em 𝑥 = 1 e tal que 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 + 5 𝑥 < 1 , 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 4 𝑥 1 . s e s e

  • A 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 8
  • B 𝑎 = 1 8 , 𝑏 = 0
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 1
  • D 𝑎 = 9 , 𝑏 = 9

Q11:

Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 sendo a função 𝑓 derivável em 𝑥 = 1 e tal que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 4 𝑥 1 , 2 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 > 1 . s e s e

  • A 𝑎 = 1 , 𝑏 = 5
  • B 𝑎 = 3 , 𝑏 = 6
  • C 𝑎 = 4 , 𝑏 = 5
  • D 𝑎 = 1 , 𝑏 = 5

Q12:

Seja 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 8 𝑥 4 𝑥 < 1 , 4 𝑥 = 1 , 𝑎 + 𝑏 𝑥 𝑥 > 1 . s e s e s e Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 tal que 𝑓 é contínua em 𝑥 = 1 . O que pode ser dito sobre a derivabilidade de 𝑓 neste ponto?

  • A 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 6 , 𝑓 é derivável em 𝑥 = 1
  • B 𝑎 = 8 , 𝑏 = 4 , 𝑓 é derivável em 𝑥 = 1
  • C 𝑎 = 1 0 , 𝑏 = 6 , 𝑓 não é derivável em 𝑥 = 1
  • D 𝑎 = 8 , 𝑏 = 4 , 𝑓 não é derivável em 𝑥 = 1

Q13:

Estude a derivabilidade da função 𝑓 em 𝑥 = 6 , sendo 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 8 𝑥 2 , 8 𝑥 + 5 𝑥 2 < 𝑥 6 . s e s e

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 6 porque 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua em 𝑥 = 6 .
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua mas não é derivável em 𝑥 = 6 porque 𝑓 ( 6 ) 𝑓 ( 6 ) .
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) não é derivável em 𝑥 = 6 porque 𝑓 ( 6 ) não está definido.
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) é derivável em 𝑥 = 6 .
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua mas derivável em 𝑥 = 6 porque 𝑓 ( 6 ) = 𝑓 ( 6 ) .

Q14:

Sabendo que 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 𝑥 8 𝑥 < 2 , 𝑎 𝑥 𝑥 2 . s e s e é uma função contínua, determine o valor de 𝑎 . O que pode ser dito acerca da derivabilidade de 𝑓 em 𝑥 = 2 ?

  • A 𝑎 = 3 , 𝑓 é derivável em 𝑥 = 2
  • B 𝑎 = 3 , 𝑓 é derivável em 𝑥 = 2
  • C 𝑎 = 3 , 𝑓 não é derivável em 𝑥 = 2
  • D 𝑎 = 3 , 𝑓 não é derivável em 𝑥 = 2

Q15:

Suponha 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 4 𝑥 1 , 3 𝑥 𝑥 > 1 . s e s e O que pode ser dito da diferenciabilidade de 𝑓 em 𝑥 = 1 ?

  • AA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua em 𝑓 ( 1 ) .
  • BA função 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua, mas não diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • CA função 𝑓 ( 𝑥 ) é diferenciável em 𝑥 = 1 como l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑓 ( 𝑥 ) mas não é contínua.
  • DA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 1 .
  • EA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) é indefinida.

Q16:

Discuta a diferenciabilidade da função 𝑓 em 𝑥 = 1 dado 𝑓 ( 𝑥 ) = 8 𝑥 7 𝑥 + 3 2 𝑥 < 1 , 4 𝑥 1 𝑥 3 . s e s e

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua em 𝑥 = 1 .
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua, mas não diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua, mas diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) é diferenciável em 𝑥 = 1 .

Q17:

Suponha que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 9 𝑥 4 , 𝑥 + 3 𝑥 > 4 . s e s e O que pode ser dito da diferenciabilidade de 𝑓 em 𝑥 = 4 ?

  • AA função não é contínua, mas diferenciável em 𝑥 = 4 porque l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 4 ) .
  • BA função é contínua e diferenciável em 𝑥 = 4 porque l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 4 ) .
  • CA função não é contínua, por isso não é diferenciável em 𝑥 = 4 .
  • DA função é contínua, mas não diferenciável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 ( 4 ) 𝑓 ( 4 ) .

Q18:

O que pode ser dito da diferenciabilidade de 𝑓 ( 𝑥 ) = 9 𝑥 + 8 𝑥 + 7 em 𝑥 = 2 ?

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 2 porque 𝑓 ( 2 ) não existe.
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 2 porque 𝑓 ( 2 ) é indefinido.
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 2 porque 𝑓 ( 𝑥 ) não é contínua.
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) ( 𝑥 ) é diferenciável em 𝑥 = 2 .

Q19:

Discuta a diferenciabilidade da função 𝑓 em 𝑥 = 4 dado 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 + 7 𝑥 4 4 𝑥 < 1 , 2 𝑥 1 𝑥 1 . s e s e

  • AA função 𝑓 ( 𝑥 ) é não diferenciável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua em 𝑥 = 4 .
  • BA função 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua, mas não diferenciável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 ( 4 ) 𝑓 ( 4 ) .
  • CA função 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua, mas diferenciável em 𝑥 = 4 porque 𝑓 ( 4 ) = 𝑓 ( 4 ) .
  • DA função 𝑓 ( 𝑥 ) é diferenciável em 𝑥 = 4 .

Q20:

Suponha que 𝑓 ( 𝑥 ) = 4 𝑥 7 𝑥 < 1 , 2 𝑥 5 𝑥 1 . s e s e O que pode ser dito da diferenciabilidade de 𝑓 em 𝑥 = 1 ?

  • AA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 é descontínua em 𝑥 = 1 .
  • BA função 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua, mas não diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) 𝑓 ( 1 ) .
  • CA função 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) é indefinida.
  • DA função 𝑓 ( 𝑥 ) é diferenciável em 𝑥 = 1 .
  • EA função 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua, mas diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .

Q21:

Seja 𝑓 ( 𝑥 ) = 1 2 𝑥 6 𝑥 < 2 , 𝑎 𝑥 + 6 𝑥 2 . s e s e Determine o valor de 𝑎 para o qual 𝑓 é contínua em 𝑥 = 2 . O que pode ser dito acerca da derivabilidade de 𝑓 neste ponto?

  • A 𝑎 = 1 2 , derivável em 𝑥 = 2
  • B 𝑎 = 3 , não é derivável em 𝑥 = 2
  • C 𝑎 = 1 2 , não é derivável em 𝑥 = 2
  • D 𝑎 = 3 , derivável em 𝑥 = 2

Q22:

Discuta a diferenciabilidade da função 𝑓 em 𝑥 = 8 dado 𝑓 ( 𝑥 ) = 6 𝑥 9 𝑥 8 , 6 𝑥 + 6 𝑥 8 < 𝑥 5 . s e s e

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) é diferenciável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua em 𝑥 = 8 .
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) é contínua mas não diferenciável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 8 ) 𝑓 ( 8 ) .
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 8 ) é indefinida.
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) não é diferenciável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua em 𝑥 = 8 .
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) é descontínua, mas diferenciável em 𝑥 = 8 porque 𝑓 ( 8 ) = 𝑓 ( 8 ) .

Q23:

Suponha que 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 1 5 𝑥 1 , 2 𝑥 1 6 𝑥 > 1 . s e s e O que pode ser dito da diferenciabilidade de 𝑓 em 𝑥 = 1 ?

  • AA função não é contínua, mas diferenciável em 𝑥 = 1 porque l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 1 ) .
  • BA função é contínua, mas não diferenciável em 𝑥 = 1 porque l i m l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑓 ( 1 ) .
  • CA função não é contínua, por isso não é diferenciável em 𝑥 = 1 .
  • DA função é contínua e diferenciável em 𝑥 = 1 porque 𝑓 ( 1 ) = 𝑓 ( 1 ) .

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