Atividade: O Teorema do Binómio de Newton

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o triângulo de Pascal para determinar os coeficientes da expansão algébrica de qualquer expressão binomial da forma (a+b)^n.

Q1:

Utilize o teorema do binรณmio de Newton para determinar a expansรฃo de (1+๐‘ฅ)๏Šช.

  • A 1 + 3 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 1 0 ๐‘ฅ + 1 5 ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • B 1 + 4 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • C 1 + ๐‘ฅ ๏Šช
  • D ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • E 1 + 4 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + ๐‘ฅ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช

Q2:

Expanda (7+2๐‘ฅ)๏Šฉ.

  • A โˆ’ ๐‘ฅ + 2 1 ๐‘ฅ โˆ’ 1 4 7 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ
  • B โˆ’ 8 ๐‘ฅ + 8 4 ๐‘ฅ โˆ’ 2 9 4 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ
  • C 8 ๐‘ฅ + 8 4 ๐‘ฅ + 2 9 4 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ
  • D ๐‘ฅ + 2 1 ๐‘ฅ + 1 4 7 ๐‘ฅ + 3 4 3 ๏Šฉ ๏Šจ

Q3:

Aplique o binรณmio de Newton para determinar a expansรฃo de (๐‘Ž+2๐‘)๏Šช.

  • A ๐‘Ž + 4 ๐‘Ž ๐‘ + 2 4 ๐‘Ž ๐‘ + 3 2 ๐‘Ž ๐‘ + 1 6 ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • B ๐‘Ž + 8 ๐‘Ž ๐‘ + 2 4 ๐‘Ž ๐‘ + 3 2 ๐‘Ž ๐‘ + 1 6 ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • C ๐‘Ž + 8 ๐‘Ž ๐‘ + 2 4 ๐‘Ž ๐‘ + 3 2 ๐‘Ž ๐‘ + 6 4 ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • D ๐‘Ž + 4 ๐‘Ž ๐‘ + 6 ๐‘Ž ๐‘ + 4 ๐‘Ž ๐‘ + ๐‘ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • E ๐‘Ž + 1 6 ๐‘ ๏Šช ๏Šช

Q4:

Aplique o teorema do binรณmio de Newton para determinar a expansรฃo de (๐‘Žโˆ’๐‘)๏Šซ.

  • A ๐‘Ž + 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ + ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • B 5 ๐‘Ž โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • C ๐‘Ž โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • D ๐‘Ž + 5 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 5 ๐‘Ž ๐‘ + ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ
  • E ๐‘Ž โˆ’ 5 ๐‘Ž ๐‘ + 1 0 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ 1 0 ๐‘Ž ๐‘ + 5 ๐‘Ž ๐‘ โˆ’ ๐‘ ๏Šซ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช ๏Šซ

Q5:

Determine o terceiro termo na expansรฃo de ๏€ผ10๐‘ฅ+23๐‘ฅ๏ˆ๏Šจ๏Šช.

  • A 8 0 0 3 ๐‘ฅ ๏Šช
  • B 8 0 0 3 ๐‘ฅ ๏Šจ
  • C 4 0 0 9 ๐‘ฅ ๏Šจ
  • D 4 0 0 9 ๐‘ฅ ๏Šช

Q6:

Considere a expansรฃo de ๏€ผ๐‘Ž๐‘ฅ+๐‘ฅ๏ˆ.๏Šช๏Šง๏Šฆ Dado que a constante dessa expansรฃo รฉ 720, encontre todos os valores possรญveis de ๐‘Ž.

  • A 2 , โˆ’ 2
  • B 1 6 , โˆ’ 1 6
  • C 4 , โˆ’ 4
  • D 8 , โˆ’ 8

Q7:

Qual das seguintes opรงรตes รฉ igual a ๏Šง๏Šช๏Šง๏Šง๏Šช๏Šจ๏Šง๏Šช๏Šฉ๏Šง๏Šช๏Šง๏Šช๐ถ+2ร—๐ถ+3ร—๐ถ+โ‹ฏ+14ร—๐ถ?

  • A 2 ๏Šง ๏Šช
  • B 2 ๏Šง ๏Šฉ
  • C 1 4 ร— 2 ๏Šง ๏Šฉ
  • D 1 3 ร— 2 ๏Šง ๏Šช
  • E 1 4 ร— 2 ๏Šง ๏Šช

Q8:

Escreva os coeficientes dos termos que resultam da expansรฃo de (๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏Šช.

  • A 1 , 4 , 6 , 4 , 1
  • B 1 , 3 , 3 , 1
  • C 1 , 5 , 1 0 , 5 , 1
  • D 1 , 2 , 1
  • E 1 , 4 , 4 , 1

Q9:

Aplique o teorema do binรณmio de Newton para expandir (2๐‘ฅโˆ’3๐‘ฆ)๏Šฉ.

  • A 8 ๐‘ฅ โˆ’ 1 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 1 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • B 8 ๐‘ฅ + 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • C 8 ๐‘ฅ + 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • D 8 ๐‘ฅ โˆ’ 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ
  • E 8 ๐‘ฅ โˆ’ 3 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 5 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ โˆ’ 2 7 ๐‘ฆ ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ

Q10:

Expanda (๐‘ฅ+2๐‘ฆ)๏Šจ๏Šจ.

  • A ๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šจ ๏Šจ
  • B ๐‘ฅ + 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šจ ๏Šจ
  • C ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šจ ๏Šจ
  • D ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 ๐‘ฆ ๏Šจ ๏Šจ

Q11:

Calcule ๏€ปโˆš3+1๏‡+๏€ปโˆš3โˆ’1๏‡๏Šฉ๏Šฉ aplicando a fรณrmula do binรณmio de Newton.

  • A27
  • B36
  • C12
  • D 2 7 โˆš 3
  • E 1 2 โˆš 3

Q12:

Expanda ๏€ผ6๐‘ฅโˆ’13๐‘ฅ๏ˆ๏Šจ๏Šจ.

  • A 3 6 ๐‘ฅ โˆ’ 4 ๐‘ฅ + 1 9 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ
  • B ๐‘ฅ โˆ’ 2 ๐‘ฅ 3 + 1 9 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ
  • C 3 6 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ + 1 9 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ
  • D 3 6 ๐‘ฅ โˆ’ 1 2 ๐‘ฅ + 1 ๐‘ฅ ๏Šช ๏Šจ

Q13:

Expanda ๏€ผ๐‘ฅ4โˆ’1๐‘ฅ๏ˆ๏Šซ.

  • A ๐‘ฅ โˆ’ 2 0 ๐‘ฅ + 1 6 0 ๐‘ฅ โˆ’ 6 4 0 ๐‘ฅ + 1 2 8 0 ๐‘ฅ โˆ’ 1 0 2 4 ๏Šง ๏Šฆ ๏Šฎ ๏Šฌ ๏Šช ๏Šจ
  • B ๐‘ฅ โˆ’ 2 0 ๐‘ฅ + 1 6 0 ๐‘ฅ โˆ’ 6 4 0 ๐‘ฅ + 1 2 8 0 ๐‘ฅ โˆ’ 1 0 2 4 ๐‘ฅ ๏Šง ๏Šฆ ๏Šญ ๏Šช ๏Šจ ๏Šซ
  • C ๐‘ฅ 1 0 2 4 โˆ’ 5 ๐‘ฅ 2 5 6 + 5 ๐‘ฅ 3 2 โˆ’ 5 8 ๐‘ฅ + 5 4 ๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ ๏Šซ ๏Šฉ ๏Šฉ ๏Šซ
  • D ๐‘ฅ โˆ’ 5 ๐‘ฅ + 1 0 ๐‘ฅ โˆ’ 1 0 ๐‘ฅ + 5 ๐‘ฅ โˆ’ 1 ๐‘ฅ ๏Šซ ๏Šฉ ๏Šฉ ๏Šซ

Q14:

Determine o coeficiente do quarto termo na expansรฃo de ๏€ผ๐‘ฅ+1๐‘ฅ๏ˆ๏Šช.

  • A4
  • B8
  • C14
  • D6

Q15:

Responda ร s seguintes questรตes para a expansรฃo de (2+๐‘˜๐‘ฅ)๏Šฌ.

Sabendo que o coeficiente de ๐‘ฅ๏Šจ รฉ 60 e ๐‘˜ รฉ positivo, determine ๐‘˜.

  • A ๐‘˜ = 1
  • B ๐‘˜ = โˆš 1 5 4
  • C ๐‘˜ = 2
  • D ๐‘˜ = 1 2
  • E ๐‘˜ = 1 4

Em seguida, utilizando o valor de ๐‘˜, determine o coeficiente de ๐‘ฅ๏Šซ na expansรฃo.

  • A 3 8
  • B12
  • C 1 5
  • D384
  • E 3 2 5 6

Q16:

Responda as seguintes perguntas para a expansรฃo de (1โˆ’3๐‘ฅ)๏Š.

Dado que o coeficiente de ๐‘ฅ๏Šจ รฉ 189, encontre ๐‘›.

  • A ๐‘› = 1 0
  • B ๐‘› = 7
  • C ๐‘› = 8
  • D ๐‘› = 9
  • E ๐‘› = 6

Portanto, calcule o valor do coeficiente de ๐‘ฅ๏Šซ.

Q17:

Considere a expansรฃo de ๏€น๐‘ฅ+๐‘ฅ๏…๏Šฌ๏Šฑ๏Šฌ๏Šซ por ordem decrescente de potรชncias de ๐‘ฅ. Quais sรฃo os seus valores possรญveis, se o terceiro termo na expansรฃo รฉ igual a 640?

  • A 4 , โˆ’ 4
  • B12
  • C10
  • D 2 , โˆ’ 2

Q18:

Encontre os dois termos do meio na expansรฃo de (14๐‘ฅ+๐‘ฆ)๏Šฉ.

  • A 2 7 4 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 1 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ
  • B 1 9 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 1 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ
  • C 1 9 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 4 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ
  • D 5 8 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ , 4 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๏Šจ

Q19:

Dado (1+๐‘๐‘ฅ)=1+6๐‘ฅ+๐‘Ž๐‘ฅ+๐‘Ž๐‘ฅ+โ‹ฏ+๐‘Ž๐‘ฅ๏Š๏Šง๏Šจ๏Šจ๏Šฉ๏Š๏Šฑ๏Šง๏Š e 2๐‘Ž=3๐‘Ž๏Šง๏Šจ, determine os valores de ๐‘› e ๐‘ onde ๐‘โ‰ 0.

  • A ๐‘› = 4 , ๐‘ = 2
  • B ๐‘› = 4 , ๐‘ = 3
  • C ๐‘› = 3 , ๐‘ = 3
  • D ๐‘› = 3 , ๐‘ = 2

Q20:

Desenvolva (5๐‘ฅ+4๐‘ฆ)๏Šช.

  • A ๐‘ฅ + 1 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 9 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 5 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 5 6 ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • B 6 2 5 ๐‘ฅ + 5 0 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 1 5 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • C 6 2 5 ๐‘ฅ + 2 0 0 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 4 0 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 1 2 8 0 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 2 5 6 ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช
  • D ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 6 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ ๏Šจ ๏Šฉ ๏Šช

Q21:

Desenvolva ๏€ผ8๐‘ฅโˆ’74๐‘ฆ๏ˆ๏Šจ.

  • A 6 4 ๐‘ฅ โˆ’ 2 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 9 ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ
  • B 6 4 ๐‘ฅ + 2 8 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 9 ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ
  • C 6 4 ๐‘ฅ โˆ’ 1 1 2 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + 4 9 ๐‘ฆ ๏Šจ ๏Šจ
  • D 6 4 ๐‘ฅ + 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ
  • E 6 4 ๐‘ฅ โˆ’ 4 ๐‘ฅ ๐‘ฆ + ๐‘ฆ 1 6 ๏Šจ ๏Šจ

Q22:

Expanda ๏€ป๐‘ฅโˆ’โˆš2๏‡๏Šฉ.

  • A ๐‘ฅ + 3 โˆš 2 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ + 2 โˆš 2 ๏Šฉ ๏Šจ
  • B โˆ’ ๐‘ฅ + 3 โˆš 2 ๐‘ฅ โˆ’ 6 ๐‘ฅ + 2 โˆš 2 ๏Šฉ ๏Šจ
  • C ๐‘ฅ โˆ’ 3 โˆš 2 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ โˆ’ 2 โˆš 2 ๏Šฉ ๏Šจ
  • D ๐‘ฅ โˆ’ 3 โˆš 2 ๐‘ฅ + 6 ๐‘ฅ โˆ’ 2 โˆš 2 ๏Šฌ ๏Šช ๏Šจ

Q23:

Determine o terceiro termo da expansรฃo de (4๐‘ฅ+3)๏Šฉ.

  • A 1 0 8 ๐‘ฅ ๏Šจ
  • B 1 0 8 ๐‘ฅ
  • C 2 7 ๐‘ฅ
  • D 2 7 ๐‘ฅ ๏Šจ

Q24:

Encontre o valor de ๐‘ฅ que satisfaz 1+9๐‘ฅ+9ร—82ร—1๐‘ฅ+9ร—8ร—73ร—2ร—1๐‘ฅ+โ‹ฏ+๐‘ฅ=512.๏Šจ๏Šฉ๏Šฏ

  • A1
  • B2
  • C3
  • D4

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