Lição de casa da aula: Integração por Frações Parciais com Fatores Lineares Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar frações parciais para calcular integrais de funções racionais com fatores lineares.

Q1:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯+4π‘₯+1(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)(π‘₯+3)π‘₯d.

  • A431|π‘₯βˆ’1|+121|π‘₯+1|βˆ’141|π‘₯+3|+𝐾lnlnln
  • B34|π‘₯βˆ’1|+12|π‘₯+1|βˆ’14|π‘₯+3|+𝐾lnlnln
  • C23|π‘₯βˆ’1|+12|π‘₯+1|βˆ’14|π‘₯+3|+𝐾lnlnln
  • D43|π‘₯βˆ’1|+12|π‘₯+1|+14|π‘₯+3|+𝐾lnlnln
  • E43|π‘₯βˆ’1|+14|π‘₯+1|βˆ’14|π‘₯+3|+𝐾lnlnln

Q2:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έ6π‘₯+7(π‘₯+2)π‘₯d.

  • A6|π‘₯+2|+5|π‘₯+2|+𝐾lnln
  • B6|π‘₯+2|βˆ’5(π‘₯+2)+𝐾ln
  • C3|π‘₯+2|βˆ’4(π‘₯+2)+𝐾ln
  • D6|π‘₯+2|+5(π‘₯+2)+𝐾ln
  • E6|π‘₯+2|+5(π‘₯+2)+𝐾ln

Q3:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έ1(π‘₯βˆ’1)π‘₯d.

  • A14|(π‘₯+1)(π‘₯βˆ’1)|βˆ’π‘₯2(π‘₯βˆ’1)+𝐾ln
  • B14|||π‘₯+1π‘₯βˆ’1|||βˆ’π‘₯2(π‘₯βˆ’1)+𝐾ln
  • C14|||π‘₯+1π‘₯βˆ’1|||βˆ’1π‘₯βˆ’1+𝐾ln
  • D12|||π‘₯+1π‘₯βˆ’1|||βˆ’π‘₯2(π‘₯βˆ’1)+𝐾ln
  • E14|||π‘₯+1π‘₯βˆ’1|||+π‘₯2(π‘₯βˆ’1)+𝐾ln

Q4:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+2π‘₯+1)π‘₯d.

  • A14||(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)||βˆ’12π‘₯+2+𝐾ln
  • B14||(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)||+12π‘₯+2+𝐾ln
  • C12||(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)||+12π‘₯+2+𝐾ln
  • D14|||(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)|||+12π‘₯+2+𝐾ln
  • E14||(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)||+1π‘₯+1+𝐾ln

Q5:

Utilize fraçáes parciais para determinar uma expressΓ£o analΓ­tica para o integral ο„Έ3π‘‘βˆ’9𝑑+8𝑑(π‘‘βˆ’2)𝑑.ο—οŠ§οŠ¨οŠ¨d

  • A2(π‘₯)+(2βˆ’π‘₯)βˆ’1π‘₯βˆ’2lnln
  • B2(π‘₯)+(2βˆ’π‘₯)βˆ’1π‘₯βˆ’2βˆ’1lnln
  • C2(π‘₯)+(π‘₯βˆ’2)βˆ’1π‘₯βˆ’2βˆ’1lnln
  • D2(π‘₯)+(2βˆ’π‘₯)+1π‘₯βˆ’2βˆ’1lnln
  • E2(π‘₯)+(π‘₯βˆ’2)+1π‘₯βˆ’2βˆ’1lnln

Q6:

Determine 𝐹 tais que 𝐹′(π‘₯)=π‘₯(π‘₯βˆ’π‘’) e 𝐹(0)=2.

  • A𝐹(π‘₯)=|(π‘’βˆ’π‘₯)|+π‘’π‘’βˆ’π‘₯ln
  • B𝐹(π‘₯)=|(π‘₯βˆ’π‘’)|βˆ’π‘₯π‘’βˆ’π‘₯ln
  • C𝐹(π‘₯)=|(π‘₯βˆ’π‘’)|+π‘’π‘’βˆ’π‘₯ln
  • D𝐹(π‘₯)=|(π‘’βˆ’π‘₯)|βˆ’π‘₯π‘’βˆ’π‘₯ln
  • E𝐹(π‘₯)=|(π‘’βˆ’π‘₯)|+𝑒π‘₯βˆ’π‘’ln

Q7:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=π‘₯(π‘₯βˆ’π‘’) que estΓ‘ definida em β„βˆ’{𝑒}.

Determine a primitiva 𝐹 de 𝑓 tal que 𝐹(0)=2. Quanto Γ© 𝐹(2𝑒)?

  • A𝐹(π‘₯)=(|π‘₯βˆ’π‘’|)+π‘’π‘’βˆ’π‘₯ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • B𝐹(π‘₯)=(|π‘₯βˆ’π‘’|)βˆ’π‘₯π‘’βˆ’π‘₯ln, 𝐹(2𝑒)=βˆ’1.
  • C𝐹(π‘₯)=(|π‘₯βˆ’π‘’|)βˆ’π‘’π‘’βˆ’π‘₯ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • D𝐹(π‘₯)=(|π‘₯βˆ’π‘’|)βˆ’π‘’π‘’βˆ’π‘₯ln, 𝐹(2𝑒)=2.
  • E𝐹(π‘₯)=(|π‘₯βˆ’π‘’|)+π‘’π‘’βˆ’π‘₯ln, 𝐹(2𝑒)=2.

SerΓ‘ possΓ­vel determinar a primitiva de 𝐺 que satisfaΓ§a 𝐺(0)=2, em que 𝐺(2𝑒)=1? Se sim, quanto Γ© 𝐺(π‘₯)?

  • ASim, 𝐺(π‘₯)=(π‘’βˆ’π‘₯)+π‘’π‘’βˆ’π‘₯π‘₯<𝑒,(π‘₯βˆ’π‘’)+π‘’π‘’βˆ’π‘₯+1π‘₯>𝑒.lnselnse
  • BnΓ£o

O que foi determinado acima parece violar o resultado que diz que quaisquer duas primitivas devem diferir por uma função constante, porque πΊβˆ’πΉ nΓ£o Γ© uma função constante. Porque nΓ£o existe contradição?

  • Aporque aquele resultado assume que o domΓ­nio Γ© um intervalo
  • Bporque πΊβˆ’πΉ Γ© constante; toma o valor 0 em ]βˆ’βˆž,𝑒[ e o valor 1 em ]𝑒,∞[
  • Cporque aquele resultado Γ s vezes Γ© vΓ‘lido; Γ s vezes falha.
  • Dporque nem 𝐹 nem 𝐺 sΓ£o derivΓ‘veis; aquele resultado aplica-se apenas a funçáes derivΓ‘veis
  • Eporque aquele resultado requer condiçáes adicionais para as primitivas

Q8:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯+4(π‘₯+6)(π‘₯βˆ’1)π‘₯d.

  • A27|π‘₯+6|βˆ’57|π‘₯βˆ’1|+𝐾lnln
  • B271|π‘₯βˆ’6|+571|π‘₯+1|+𝐾lnln
  • C27|π‘₯+6|+57|π‘₯βˆ’1|+𝐾lnln
  • D27|π‘₯βˆ’1|+57|π‘₯+6|+𝐾lnln
  • Eβˆ’27|π‘₯+6|βˆ’57|π‘₯βˆ’1|+𝐾lnln

Q9:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έ1π‘₯(π‘₯+2)π‘₯d.

  • A12|||ο„žπ‘₯π‘₯+2|||+𝐢ln
  • Bln√π‘₯(π‘₯+2)+𝐢
  • Clnο„Ÿ|π‘₯||π‘₯+2|
  • Dln||π‘₯π‘₯+2||+𝐢
  • E12√π‘₯(π‘₯+2)+𝐢ln

Q10:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯+4π‘₯(π‘₯+1)π‘₯d.

  • A32+412+332lnlnln
  • Bβˆ’32+412+332lnlnln
  • Cβˆ’32βˆ’412βˆ’332lnlnln
  • Dβˆ’32βˆ’412+332lnlnln
  • Eβˆ’32βˆ’414+334lnlnln

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