Lição de casa da aula: Integração por Frações Parciais com Fatores Lineares Matemática • Ensino Superior

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar frações parciais para calcular integrais de funções racionais com fatores lineares.

Questão 1

Utilize frações parciais para calcular 𝑥+4𝑥+1(𝑥1)(𝑥+1)(𝑥+3)𝑥d.

  • A431|𝑥1|+121|𝑥+1|141|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • B34|𝑥1|+12|𝑥+1|14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • C23|𝑥1|+12|𝑥+1|14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • D43|𝑥1|+12|𝑥+1|+14|𝑥+3|+𝐾lnlnln
  • E43|𝑥1|+14|𝑥+1|14|𝑥+3|+𝐾lnlnln

Questão 2

Utilize frações parciais para calcular 6𝑥+7(𝑥+2)𝑥d.

  • A6|𝑥+2|+5|𝑥+2|+𝐾lnln
  • B6|𝑥+2|5(𝑥+2)+𝐾ln
  • C3|𝑥+2|4(𝑥+2)+𝐾ln
  • D6|𝑥+2|+5(𝑥+2)+𝐾ln
  • E6|𝑥+2|+5(𝑥+2)+𝐾ln

Questão 3

Utilize frações parciais para determinar uma expressão analítica para o integral 3𝑡9𝑡+8𝑡(𝑡2)𝑡.d

  • A2(𝑥)+(2𝑥)1𝑥2lnln
  • B2(𝑥)+(2𝑥)1𝑥21lnln
  • C2(𝑥)+(𝑥2)1𝑥21lnln
  • D2(𝑥)+(2𝑥)+1𝑥21lnln
  • E2(𝑥)+(𝑥2)+1𝑥21lnln

Questão 4

Determine 𝐹 tais que 𝐹(𝑥)=𝑥(𝑥𝑒) e 𝐹(0)=2.

  • A𝐹(𝑥)=|(𝑒𝑥)|+𝑒𝑒𝑥ln
  • B𝐹(𝑥)=|(𝑥𝑒)|𝑥𝑒𝑥ln
  • C𝐹(𝑥)=|(𝑥𝑒)|+𝑒𝑒𝑥ln
  • D𝐹(𝑥)=|(𝑒𝑥)|𝑥𝑒𝑥ln
  • E𝐹(𝑥)=|(𝑒𝑥)|+𝑒𝑥𝑒ln

Questão 5

Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥𝑒) que está definida em {𝑒}.

Determine a primitiva 𝐹 de 𝑓 tal que 𝐹(0)=2. Quanto é 𝐹(2𝑒)?

  • A𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)+𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • B𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)𝑥𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=1.
  • C𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=0.
  • D𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=2.
  • E𝐹(𝑥)=(|𝑥𝑒|)+𝑒𝑒𝑥ln, 𝐹(2𝑒)=2.

Será possível determinar a primitiva de 𝐺 que satisfaça 𝐺(0)=2, em que 𝐺(2𝑒)=1? Se sim, quanto é 𝐺(𝑥)?

  • ASim, 𝐺(𝑥)=(𝑒𝑥)+𝑒𝑒𝑥𝑥<𝑒,(𝑥𝑒)+𝑒𝑒𝑥+1𝑥>𝑒.lnselnse
  • Bnão

O que foi determinado acima parece violar o resultado que diz que quaisquer duas primitivas devem diferir por uma função constante, porque 𝐺𝐹 não é uma função constante. Porque não existe contradição?

  • Aporque aquele resultado assume que o domínio é um intervalo
  • Bporque 𝐺𝐹 é constante; toma o valor 0 em ],𝑒[ e o valor 1 em ]𝑒,[
  • Cporque aquele resultado às vezes é válido; às vezes falha.
  • Dporque nem 𝐹 nem 𝐺 são deriváveis; aquele resultado aplica-se apenas a funções deriváveis
  • Eporque aquele resultado requer condições adicionais para as primitivas

Questão 6

Utilize frações parciais para calcular 1𝑥(𝑥+2)𝑥d.

  • A12|||𝑥𝑥+2|||+𝐶ln
  • Bln𝑥(𝑥+2)+𝐶
  • Cln|𝑥||𝑥+2|
  • Dln||𝑥𝑥+2||+𝐶
  • E12𝑥(𝑥+2)+𝐶ln

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