Atividade: Integração por Frações Parciais com Fatores Lineares Repetidos

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar frações parciais para funções racionais com fatores lineares repetidos para calcular sua integral.

Q1:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯+4π‘₯+1(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)(π‘₯+3)π‘₯d.

  • A 3 4 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 2 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • B 4 3 1 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 2 1 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 4 1 | π‘₯ + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • C 2 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 2 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • D 4 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 4 | π‘₯ + 1 | βˆ’ 1 4 | π‘₯ + 3 | + 𝐾 l n l n l n
  • E 4 3 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 1 2 | π‘₯ + 1 | + 1 4 | π‘₯ + 3 | + 𝐾 l n l n l n

Q2:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έ6π‘₯+7(π‘₯+2)π‘₯d.

  • A 6 | π‘₯ + 2 | + 5 ( π‘₯ + 2 ) + 𝐾 l n  
  • B 6 | π‘₯ + 2 | + 5 | π‘₯ + 2 | + 𝐾 l n l n
  • C 6 | π‘₯ + 2 | + 5 ( π‘₯ + 2 ) + 𝐾 l n  
  • D 3 | π‘₯ + 2 | βˆ’ 4 ( π‘₯ + 2 ) + 𝐾 l n  
  • E 6 | π‘₯ + 2 | βˆ’ 5 ( π‘₯ + 2 ) + 𝐾 l n  

Q3:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έ1(π‘₯βˆ’1)π‘₯d.

  • A 1 4 | | | π‘₯ + 1 π‘₯ βˆ’ 1 | | | βˆ’ π‘₯ 2 ( π‘₯ βˆ’ 1 ) + 𝐾 l n 
  • B 1 4 | | | π‘₯ + 1 π‘₯ βˆ’ 1 | | | + π‘₯ 2 ( π‘₯ βˆ’ 1 ) + 𝐾 l n 
  • C 1 4 | ( π‘₯ + 1 ) ( π‘₯ βˆ’ 1 ) | βˆ’ π‘₯ 2 ( π‘₯ βˆ’ 1 ) + 𝐾 l n 
  • D 1 4 | | | π‘₯ + 1 π‘₯ βˆ’ 1 | | | βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 1 + 𝐾 l n 
  • E 1 2 | | | π‘₯ + 1 π‘₯ βˆ’ 1 | | | βˆ’ π‘₯ 2 ( π‘₯ βˆ’ 1 ) + 𝐾 l n 

Q4:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+2π‘₯+1)π‘₯d.

  • A 1 2 | | ( π‘₯ βˆ’ 1 ) ( π‘₯ + 1 ) | | + 1 2 π‘₯ + 2 + 𝐾 l n 
  • B 1 4 | | ( π‘₯ βˆ’ 1 ) ( π‘₯ + 1 ) | | βˆ’ 1 2 π‘₯ + 2 + 𝐾 l n 
  • C 1 4 | | ( π‘₯ βˆ’ 1 ) ( π‘₯ + 1 ) | | + 1 2 π‘₯ + 2 + 𝐾 l n 
  • D 1 4 | | ( π‘₯ βˆ’ 1 ) ( π‘₯ + 1 ) | | + 1 π‘₯ + 1 + 𝐾 l n 
  • E 1 4 | | | ( π‘₯ βˆ’ 1 ) ( π‘₯ + 1 ) | | | + 1 2 π‘₯ + 2 + 𝐾 l n 

Q5:

Utilize fraçáes parciais para determinar uma expressΓ£o analΓ­tica para o integral ο„Έ3π‘‘βˆ’9𝑑+8𝑑(π‘‘βˆ’2)𝑑.ο—οŠ§οŠ¨οŠ¨d

  • A 2 ( π‘₯ ) + ( π‘₯ βˆ’ 2 ) + 1 π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 1 l n l n
  • B 2 ( π‘₯ ) + ( 2 βˆ’ π‘₯ ) βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 2 l n l n
  • C 2 ( π‘₯ ) + ( π‘₯ βˆ’ 2 ) βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 1 l n l n
  • D 2 ( π‘₯ ) + ( 2 βˆ’ π‘₯ ) + 1 π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 1 l n l n
  • E 2 ( π‘₯ ) + ( 2 βˆ’ π‘₯ ) βˆ’ 1 π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 1 l n l n

Q6:

Determine 𝐹 tais que 𝐹′(π‘₯)=π‘₯(π‘₯βˆ’π‘’) e 𝐹(0)=2.

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = ( 𝑒 βˆ’ π‘₯ ) βˆ’ π‘₯ 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = ( 𝑒 βˆ’ π‘₯ ) + 𝑒 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = ( 𝑒 βˆ’ π‘₯ ) + 𝑒 π‘₯ βˆ’ 𝑒 l n
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ βˆ’ 𝑒 ) + 𝑒 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ βˆ’ 𝑒 ) βˆ’ π‘₯ 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n

Q7:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=π‘₯(π‘₯βˆ’π‘’) que estΓ‘ definida em β„βˆ’{𝑒}.

Determine a primitiva 𝐹 de 𝑓 tal que 𝐹(0)=2. Quanto Γ© 𝐹(2𝑒)?

  • A 𝐹 ( π‘₯ ) = ( | π‘₯ βˆ’ 𝑒 | ) βˆ’ 𝑒 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 2 .
  • B 𝐹 ( π‘₯ ) = ( | π‘₯ βˆ’ 𝑒 | ) βˆ’ 𝑒 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 0 .
  • C 𝐹 ( π‘₯ ) = ( | π‘₯ βˆ’ 𝑒 | ) βˆ’ π‘₯ 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = βˆ’ 1 .
  • D 𝐹 ( π‘₯ ) = ( | π‘₯ βˆ’ 𝑒 | ) + 𝑒 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 0 .
  • E 𝐹 ( π‘₯ ) = ( | π‘₯ βˆ’ 𝑒 | ) + 𝑒 𝑒 βˆ’ π‘₯ l n , 𝐹 ( 2 𝑒 ) = 2 .

SerΓ‘ possΓ­vel determinar a primitiva de 𝐺 que satisfaΓ§a 𝐺(0)=2, em que 𝐺(2𝑒)=1? Se sim, quanto Γ© 𝐺(π‘₯)?

  • ASim, 𝐺(π‘₯)=(π‘’βˆ’π‘₯)+π‘’π‘’βˆ’π‘₯π‘₯<𝑒,(π‘₯βˆ’π‘’)+π‘’π‘’βˆ’π‘₯+1π‘₯>𝑒.lnselnse
  • BnΓ£o

O que determinou em cima parece violar o resultado que diz que quaisquer duas primitivas devem diferir por uma função constante, porque πΊβˆ’πΉ nΓ£o Γ© uma função constante. Porque nΓ£o existe contradição?

  • Aporque πΊβˆ’πΉ Γ© constante; toma o valor 0 em ]βˆ’βˆž,𝑒[ e o valor 1 em ]𝑒,∞[
  • Bporque aquele resultado assume que o domΓ­nio Γ© um intervalo
  • Cporque aquele resultado sΓ³ vΓ‘lido Γ s vezes; Γ s vezes falha.
  • Dporque aquele resultado requer condiçáes adicionais para as primitivas
  • Eporque nem 𝐹 nem 𝐺 sΓ£o derivΓ‘veis; aquele resultado aplica-se apenas a funçáes derivΓ‘veis

Q8:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯+4(π‘₯+6)(π‘₯βˆ’1)π‘₯d.

  • A 2 7 1 | π‘₯ βˆ’ 6 | + 5 7 1 | π‘₯ + 1 | + 𝐾 l n l n
  • B 2 7 | π‘₯ + 6 | + 5 7 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 𝐾 l n l n
  • C 2 7 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 5 7 | π‘₯ + 6 | + 𝐾 l n l n
  • D 2 7 | π‘₯ + 6 | βˆ’ 5 7 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 𝐾 l n l n
  • E βˆ’ 2 7 | π‘₯ + 6 | βˆ’ 5 7 | π‘₯ βˆ’ 1 | + 𝐾 l n l n

Q9:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έ1π‘₯(π‘₯+2)π‘₯d.

  • A 1 2 | | | ο„ž π‘₯ π‘₯ + 2 | | | + 𝐢 l n
  • B l n | | π‘₯ π‘₯ + 2 | | + 𝐢
  • C l n √ π‘₯ ( π‘₯ + 2 ) + 𝐢
  • D l n ο„Ÿ | π‘₯ | | π‘₯ + 2 |
  • E 1 2 √ π‘₯ ( π‘₯ + 2 ) + 𝐢 l n

Q10:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έπ‘₯+4π‘₯(π‘₯+1)π‘₯d.

  • A βˆ’ 3 2 βˆ’ 4 1 2 βˆ’ 3 3 2 l n l n l n
  • B βˆ’ 3 2 βˆ’ 4 1 2 + 3 3 2 l n l n l n
  • C βˆ’ 3 2 + 4 1 2 + 3 3 2 l n l n l n
  • D 3 2 + 4 1 2 + 3 3 2 l n l n l n
  • E βˆ’ 3 2 βˆ’ 4 1 4 + 3 3 4 l n l n l n

Q11:

Utilize fraçáes parciais para calcular ο„Έ1𝑑+π‘‘βˆ’2π‘‘π‘‘οŠ©οŠ¨d.

  • A βˆ’ 1 2 | 𝑑 | + 1 6 | 𝑑 + 2 | + 1 3 | 𝑑 βˆ’ 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • B βˆ’ 1 2 | 𝑑 | + 1 6 | 𝑑 βˆ’ 2 | + 1 6 | 𝑑 + 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • C βˆ’ 1 2 | 𝑑 | + 1 6 | 𝑑 + 2 | βˆ’ 1 3 | 𝑑 βˆ’ 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • D βˆ’ 1 2 | 𝑑 | βˆ’ 1 6 | 𝑑 + 2 | + 1 3 | 𝑑 βˆ’ 1 | + 𝐾 l n l n l n
  • E 1 2 | 𝑑 | + 1 6 | 𝑑 + 2 | + 1 3 | 𝑑 βˆ’ 1 | + 𝐾 l n l n l n

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