Lição de casa da aula: Jacobianos e Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplos Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a fazer mudanças de variáveis em múltiplas integrais e como determinar o Jacobiano da função de transformação de variáveis.

Q1:

DΓͺ uma expressΓ£o para o Jacobiano πœ•(π‘₯,𝑦)πœ•(π‘Ÿ,πœƒ) para a variação de variΓ‘veis de coordenadas polares para cartesianas em β„οŠ¨.

  • Aπ‘Ÿ
  • Bcossenπœƒβˆ’πœƒ
  • Cπ‘Ÿ(πœƒβˆ’πœƒ)cossen
  • Dπ‘Ÿ(2πœƒ)cos
  • Eπ‘ŸοŠ¨

Q2:

DΓͺ uma expressΓ£o para o Jacobiano πœ•(π‘Ÿ,πœƒ)πœ•(π‘₯,𝑦) para a variação de variΓ‘veis de coordenadas cartesianas para polares em β„οŠ¨.

  • A1√π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • B1π‘₯𝑦
  • C1√π‘₯+𝑦
  • D√π‘₯+𝑦
  • E√π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨

Q3:

Se 𝑅 Γ© a elipse 9π‘₯+4𝑦=7, usando a transformação π‘₯=π‘Ÿ3πœƒcos, 𝑦=π‘Ÿ2πœƒsen permite a integral 𝑓(π‘₯,𝑦)𝑅d ser expressa como uma integral dupla iterada. Escreva essa integral indicando claramente os limites e o integrando.

  • Aο„Έο„Έπ‘“ο€»π‘Ÿ3πœƒ,π‘Ÿ2πœƒο‡π‘Ÿπœƒπ‘ŸβˆšοŠ­οŽοŠ²οŠ¦οŠ¨οŽ„οΌοŠ²οŠ¦cossendd
  • Bο„Έο„Έπ‘“ο€»π‘Ÿ3πœƒ,π‘Ÿ2πœƒο‡16πœƒπ‘ŸβˆšοŠ­οŽοŠ²οŠ¦οŠ¨οŽ„οΌοŠ²οŠ¦cossendd
  • Cο„Έο„Έπ‘“ο€»π‘Ÿ3πœƒ,π‘Ÿ2πœƒο‡πœƒπ‘ŸβˆšοŠ­οŽοŠ²οŠ¦οŠ¨οŽ„οΌοŠ²οŠ¦cossendd
  • Dο„Έο„Έπ‘“ο€»π‘Ÿ3πœƒ,π‘Ÿ2πœƒο‡6π‘Ÿπœƒπ‘ŸβˆšοŠ­οŽοŠ²οŠ¦οŠ¨οŽ„οΌοŠ²οŠ¦cossendd
  • Eο„Έο„Έπ‘“ο€»π‘Ÿ3πœƒ,π‘Ÿ2πœƒο‡π‘Ÿ6πœƒπ‘ŸβˆšοŠ­οŽοŠ²οŠ¦οŠ¨οŽ„οΌοŠ²οŠ¦cossendd

Q4:

Use a transformação π‘₯=βˆ’π‘’+𝑣, 𝑦=βˆ’13𝑒+2𝑣 para calcular ο„½(2π‘₯+𝑦)𝐴d, onde 𝑅 Γ© o triΓ’ngulo com vΓ©rtices (0,0), (1,2), e (3,1). DΓͺ sua resposta para duas casas decimais.

  • A42,44
  • B9,17
  • Cβˆ’7,50
  • D7,50
  • E8,75

Q5:

GostarΓ­amos de usar a mudanΓ§a de variΓ‘vel π‘₯=βˆ’π‘’+𝑣, 𝑦=βˆ’13𝑒+2𝑣 para calcular a integral ο„½(2π‘₯+𝑦)𝐴d, onde 𝑅 Γ© o interior do triΓ’ngulo nos vΓ©rtices (0,0)(1,2), e (3,1).

Qual Γ© a regiΓ£o 𝑆 no plano 𝑒𝑣 sobre a qual a integral transformada Γ© dada? DΓͺ sua resposta em termos de suas bordas delimitadoras.

  • A𝑒=0, 𝑣=0, 𝑣=𝑒+53
  • B𝑒=0, 𝑣=0, 𝑣=𝑒3
  • C𝑒=0, 𝑣=0, 𝑣=π‘’βˆ’53βˆ’5
  • D𝑒=0, 𝑣=0, 𝑣=𝑒3+5
  • E𝑒=0, 𝑣=0, 𝑣=𝑒+33

A integral transformada Γ© 𝐼(𝑒,𝑣)π‘’π‘£οŒ²dd. Qual Γ© o integrando 𝐼(𝑒,𝑣)?

  • Aβˆ’359𝑒+203𝑣
  • Bβˆ’73𝑒+4𝑣
  • C359𝑒+203𝑣
  • D359π‘’βˆ’203𝑣
  • E353π‘’βˆ’203𝑣

Determine ο„½(2π‘₯+𝑦)𝐴d. DΓͺ a sua resposta aproximada a 2 casas decimais.

  • Aβˆ’8,75
  • B7,50
  • C9,17
  • D42,44
  • E8,75

Q6:

Calcular o Jacobiano da transformação de β„οŠ¨ dado por π‘₯=2𝑒+𝑣 e 𝑦=𝑒+2𝑣.

Q7:

Se 𝑇=𝑇(π‘Ÿ,πœƒ) Γ© a mudanΓ§a de coordenadas de coordenadas polares para cartesianas para que 𝑇(π‘Ÿ,πœƒ)=(π‘Ÿπœƒ,π‘Ÿπœƒ)cossen, entΓ£o o Jacobiano dessa transformação Γ© o determinante πœ•(π‘₯,𝑦)πœ•(π‘Ÿ,πœƒ). Se 𝑆=𝑆(π‘₯,𝑦) Γ© uma segunda transformação de cartesiano em outro sistema de coordenadas, digamos (𝑠,𝑑), entΓ£o o produto dos Jacobianos Γ© o Jacobiano da composição. Assim, πœ•(𝑠,𝑑)πœ•(π‘Ÿ,πœƒ)=πœ•(𝑠,𝑑)πœ•(π‘₯,𝑦)πœ•(π‘₯,𝑦)πœ•(π‘Ÿ,πœƒ).

O que isso nos diz sobre a relação entre os Jacobianos πœ•(π‘₯,𝑦)πœ•(π‘Ÿ,πœƒ) e πœ•(π‘Ÿ,πœƒ)πœ•(π‘₯,𝑦)?

  • AEles sΓ£o os mesmos.
  • BEles sΓ£o recΓ­procos um do outro.
  • CO produto deles Γ© zero.
  • DEles sΓ£o negativos um do outro.
  • EO produto deles Γ© βˆ’1.

Deduza πœ•(π‘Ÿ,πœƒ)πœ•(π‘₯,𝑦) de πœ•(π‘₯,𝑦)πœ•(π‘Ÿ,πœƒ).

  • A1√π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • B√π‘₯+π‘¦οŠ¨οŠ¨
  • C1βˆšπ‘Ÿ+πœƒοŠ¨οŠ¨
  • D1√π‘₯+𝑦
  • Eπ‘Ÿ

Q8:

Seja 𝑅 a regiΓ£o delimitada pela elipse 9π‘₯+4𝑦=10. Qual Γ© a imagem de 𝑅 sob a transformação π‘₯=π‘Ÿ3πœƒcos, 𝑦=π‘Ÿ2πœƒsen?

  • AO retΓ’ngulo '0β‰€π‘Ÿβ‰€βˆš5 e 0β‰€πœƒβ‰€πœ‹
  • BO circulo 0β‰€π‘Ÿβ‰€βˆš5
  • CO circulo 0β‰€π‘Ÿβ‰€βˆš10
  • DO retΓ’ngulo 0β‰€π‘Ÿβ‰€βˆš10 e 0β‰€πœƒβ‰€2πœ‹
  • EO retΓ’ngulo 0β‰€π‘Ÿβ‰€βˆš5 e 0β‰€πœƒβ‰€2πœ‹

Q9:

Use a mudanΓ§a de variΓ‘veis π‘₯=π‘Ÿ3πœƒcos, 𝑦=π‘Ÿ2πœƒsen para calcular a integral ο„½π‘₯+π‘¦π‘…οŠ¨οŠ¨d, onde 𝑅 Γ© a regiΓ£o delimitada pela elipse 9π‘₯+4𝑦=25. DΓͺ uma resposta exata envolvendo πœ‹.

  • A8125πœ‹864
  • B8125πœ‹144
  • C1625πœ‹648
  • D8125πœ‹1296
  • E1625πœ‹108

Q10:

Qual das seguintes transformaçáes converteria 𝑓(π‘₯,𝑦)𝑅d, com a regiΓ£o mostrada, em uma integral iterada sobre um triΓ’ngulo retΓ’ngulo?

  • Aπ‘₯=π‘’βˆ’π‘£, 𝑦=16π‘’βˆ’π‘£
  • Bπ‘₯=π‘’βˆ’π‘£, 𝑦=βˆ’13𝑒+2𝑣
  • Cπ‘₯=βˆ’3𝑒+35𝑣, 𝑦=βˆ’15𝑒+65𝑣
  • Dπ‘₯=2π‘’βˆ’π‘£, 𝑦=13π‘’βˆ’π‘£
  • Eπ‘₯=35π‘’βˆ’35𝑣, 𝑦=15π‘’βˆ’65𝑣

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