Atividade: Forma Trigonométrica de Números Complexos

Nesta atividade, nós vamos praticar a representar um número complexo na forma polar, calcular o módulo e o argumento e utilizar isso para alterar a forma de um número complexo.

Q1:

Determine a forma trigonomΓ©trica do nΓΊmero complexo 𝑧 representado no plano de Argand.

  • A βˆ’ 4 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s e n
  • B 4 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s e n
  • C βˆ’ 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s e n
  • D 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s e n

Q2:

Escreve 1 2  ο€Ό 5 πœ‹ 6  + 𝑖 ο€Ό 5 πœ‹ 6   c o s s e n na forma algΓ©brica.

  • A βˆ’ 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • B 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • C 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • D βˆ’ 6 √ 3 + 6 𝑖

Q3:

Determine o mΓ³dulo do nΓΊmero complexo 1 + 𝑖 .

  • A1
  • B2
  • C4
  • D √ 2
  • E √ 3

Determine o argumento do nΓΊmero complexo 1 + 𝑖 .

  • A πœ‹ 4
  • B βˆ’ πœ‹ 4
  • C πœ‹
  • D πœ‹ 2
  • E βˆ’ πœ‹ 2

Em seguida, escreva o nΓΊmero complexo 1 + 𝑖 na forma trigonomΓ©trica.

  • A √ 2 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 2 ο€» πœ‹ 4 + 𝑖 πœ‹ 4  c o s s e n
  • C √ 2 ο€» πœ‹ 4 + 𝑖 πœ‹ 4  c o s s e n
  • D √ 2 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s e n
  • E 2 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s e n

Q4:

Considere o diagrama.

Qual das seguintes opçáes descreve corretamente a relação entre π‘Ž , π‘Ÿ , e @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž ?

  • A π‘Ž = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž t g
  • B π‘Ž = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž s e n
  • C π‘Ž = @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ c o s
  • D π‘Ž = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž c o s
  • E π‘Ž = @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ s e n

Qual das opçáes descreve corretamente a relação entre 𝑏 , π‘Ÿ , e @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž ?

  • A 𝑏 = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž s e n
  • B 𝑏 = @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ c o s
  • C 𝑏 = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž c o s
  • D 𝑏 = @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ s e n
  • E 𝑏 = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž t g

Por fim, escreva 𝑧 em termos de π‘Ÿ e @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž .

  • A 𝑧 = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž + 𝑖 @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ c o s s e n
  • B 𝑧 = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž + π‘Ÿ 𝑖 @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž s e n c o s
  • C 𝑧 = π‘Ÿ @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž + π‘Ÿ 𝑖 @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž c o s s e n
  • D 𝑧 = @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ + 𝑖 @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ c o s s e n
  • E 𝑧 = @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ + 𝑖 @ 𝑑 β„Ž 𝑒 𝑑 π‘Ž π‘Ÿ s e n c o s

Q5:

O diagrama de Argand mostra o nΓΊmero complexo 𝑧 .

Escreva 𝑧 em forma retangular.

  • A 3 βˆ’ 5 𝑖
  • B 5 + 3 𝑖
  • C 5 βˆ’ 3 𝑖
  • D 3 + 5 𝑖
  • E βˆ’ ( 3 + 5 𝑖 )

Converta 𝑧 para a forma polar, arredondando o argumento para duas casas decimais.

  • A √ 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • B 8 ( 1 , 0 3 βˆ’ 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • C √ 3 4 ( 1 , 0 3 βˆ’ 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • D 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • E √ 8 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n

Q6:

Expresse o nΓΊmero complexo 𝑍 = 4 𝑖 na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑍 = 4 ο€» ο€» πœ‹ 2  βˆ’ 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n
  • B 𝑍 = 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n
  • C 𝑍 = 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  βˆ’ 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n
  • D 𝑍 = 4 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n

Q7:

Dado 𝑍 = √ 3 + 𝑖 , determine a forma trigonomΓ©trica de 𝑍 .

  • A 2  1 7 πœ‹ 6 + 𝑖 1 7 πœ‹ 6  c o s s e n
  • B 2  7 πœ‹ 3 + 𝑖 7 πœ‹ 3  c o s s e n
  • C 2  1 1 πœ‹ 6 βˆ’ 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s e n
  • D 2  1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s e n
  • E 1 3  1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s e n

Q8:

Simplifique 6 βˆ’ 6 𝑖 βˆ’ 2 𝑖 , dando sua resposta na forma algΓ©brica e trigonomΓ©trica.

  • A βˆ’ 3 βˆ’ 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€Ό ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4   c o s s e n
  • B βˆ’ 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€Ό ο€Ό 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό 3 πœ‹ 4   c o s s e n
  • C 3 βˆ’ 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n
  • D 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n

Q9:

Simplifique βˆ’ 5 + 5 √ 3 𝑖 βˆ’ √ 3 βˆ’ 𝑖 , dando sua resposta na forma algΓ©brica e trigonomΓ©trica.

  • A βˆ’ 5 𝑖 , 5 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 5 𝑖 , 5 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n
  • C 5 𝑖 , 5 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s e n
  • D βˆ’ 5 𝑖 , 5 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n

Q10:

Sendo 𝑧 βˆ’ 2 = ( 𝑧 + 2 ) 𝑖 , determine a forma trigonomΓ©trica do nΓΊmero complexo 𝑧 .

  • A 2 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n
  • C 2 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s e n
  • D 2 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n

Q11:

Sendo 𝑍 = ( 6 𝑖 βˆ’ 6 ) ( 4 + 3 𝑖 ) ( 1 + 2 𝑖 )  , escreva o nΓΊmero complexo 𝑍 na forma π‘₯ + 𝑦 𝑖 , e em seguida escreva-o na forma trigonomΓ©trica.

  • A 6 + 6 𝑖 , ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n
  • B 6 βˆ’ 6 𝑖 , 6 √ 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n
  • C 6 βˆ’ 6 𝑖 , ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n
  • D 6 + 6 𝑖 , 6 √ 2 ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n

Q12:

Simplifique βˆ’ 7 + 4 √ 3 + ο€» βˆ’ 7 √ 3 βˆ’ 4  𝑖 7 + 4 𝑖 , apresentando a resposta nas formas algΓ©brica e trigonomΓ©trica.

  • A βˆ’ 1 + √ 3 𝑖 , 2 ο€Ό ο€Ό 2 πœ‹ 3  + 𝑖 ο€Ό 2 πœ‹ 3   c o s s e n
  • B 1 βˆ’ √ 3 𝑖 , 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s e n
  • C 1 + √ 3 𝑖 , 2 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s e n
  • D βˆ’ 1 βˆ’ √ 3 𝑖 , 2 ο€Ό ο€Ό βˆ’ 2 πœ‹ 3  + 𝑖 ο€Ό βˆ’ 2 πœ‹ 3   c o s s e n

Q13:

Dado que | 𝑧 | = 9 e o argumento de 𝑧 Γ© πœƒ = πœ‹ 6 , determine 𝑧 , apresentando a resposta na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑧 = 9 ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6  c o s s e n
  • B 𝑧 = 9  ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6   s e n c o s
  • C 𝑧 = 9 ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6  s e n c o s
  • D 𝑧 = 9  ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6   c o s s e n
  • E 𝑧 = 9  ο€» πœ‹ 6  βˆ’ 𝑖 ο€» πœ‹ 6   c o s s e n

Q14:

Dado que | 𝑍 | = 8 e o argumento de 𝑍 Γ© πœƒ = 3 6 0 ∘ , encontre 𝑍 , dando sua resposta na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑍 = 8 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ c o s s e n
  • B 𝑍 = 8 [ 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ] s e n c o s
  • C 𝑍 = 8 πœ‹ + 𝑖 πœ‹ c o s s e n
  • D 𝑍 = 8 [ 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ] c o s s e n
  • E 𝑍 = 8 [ πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ] c o s s e n

Q15:

Dado que | 𝑧 | = 5 e o argumento de 𝑧 Γ© πœƒ = 2 πœ‹ + 2 𝑛 πœ‹ , tal que 𝑛 ∈ β„€ , determine 𝑧 , apresentando a resposta na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑧 = 1 0 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 𝑧 = 5 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) s e n c o s
  • C 𝑧 = 1 0 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) s e n c o s
  • D 𝑧 = 5 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) c o s s e n
  • E 𝑧 = 5 ( 4 πœ‹ + 𝑖 4 πœ‹ ) c o s s e n

Q16:

Dado que | 𝑍 | = 3 e o argumento de 𝑍 Γ© πœƒ = πœ‹ 3 , encontre 𝑍 , dando sua resposta em forma algΓ©brica.

  • A 𝑍 = βˆ’ 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖
  • B 𝑍 = 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖
  • C 𝑍 = βˆ’ 3 2 βˆ’ 3 √ 3 2 𝑖
  • D 𝑍 = 3 2 + 3 √ 3 2 𝑖
  • E 𝑍 = 3 2 βˆ’ 3 √ 3 2 𝑖

Q17:

Dado que | 𝑍 | = 1 2 e o argumento de 𝑍 Γ© πœƒ = 1 2 0 ∘ , encontre 𝑍 , dando sua resposta em forma algΓ©brica.

  • A 𝑍 = βˆ’ 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • B 𝑍 = 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • C 𝑍 = 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • D 𝑍 = βˆ’ 6 + 6 √ 3 𝑖
  • E 𝑍 = βˆ’ 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖

Q18:

Dado que | 𝑧 | = 5 e o argumento de 𝑧 Γ© πœƒ = 2 7 0 ∘ , encontre 𝑧 , dando sua resposta em forma algΓ©brica.

  • A 𝑧 = 5 𝑖
  • B 𝑧 = 5
  • C 𝑧 = βˆ’ 5
  • D 𝑧 = βˆ’ 5 𝑖
  • E 𝑧 = 5 + 5 𝑖

Q19:

Dado que 𝑍 = 7 [ ( βˆ’ 5 8 ) + 𝑖 ( βˆ’ 5 8 ) ] c o s s e n ∘ ∘ , determine a forma algΓ©brica de 𝑍 , arredondando as partes real e imaginΓ‘ria para as duas casas decimais mais prΓ³ximas.

  • A 𝑍 = βˆ’ 3 , 7 1 + 5 , 9 4 𝑖
  • B 𝑍 = 5 , 9 4 + 3 , 7 1 𝑖
  • C 𝑍 = βˆ’ 5 , 9 4 + 5 , 9 4 𝑖
  • D 𝑍 = 3 , 7 1 βˆ’ 5 , 9 4 𝑖

Q20:

Dado que 𝑍 = πœƒ βˆ’ 𝑖 πœƒ s e n c o s , encontre o argumento principal de 𝑍 , onde πœƒ ∈  0 , πœ‹ 2  .

  • A 2 πœ‹ βˆ’ πœƒ
  • B πœƒ
  • C πœ‹ βˆ’ πœƒ
  • D πœƒ βˆ’ πœ‹ 2
  • E πœ‹ + πœƒ

Q21:

Encontre c o s πœ‹ 6 .

  • A √ 3 3
  • B 1 2
  • C 2 √ 3 2
  • D √ 3 2
  • E 3 √ 3 3

Encontre s e n πœ‹ 6 .

  • A 1 2
  • B 2 √ 3 2
  • C √ 3 3
  • D √ 3 2
  • E 3 √ 3 3

EntΓ£o, expresse o nΓΊmero complexo 1 0 ο€» πœ‹ 6 + 𝑖 πœ‹ 6  c o s s e n na forma retangular.

  • A 5 + 5 𝑖
  • B 5 + 5 √ 3 𝑖
  • C 5 √ 3 + 5 𝑖
  • D 1 0 √ 3 3 + 5 𝑖
  • E 5 + 1 0 √ 3 3 𝑖

Q22:

Sendo 𝑧 = 6 ο€Ό ο€Ό 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό 3 πœ‹ 4   c o s s e n , determine | 𝑧 | .

Q23:

Encontre o mΓ³dulo e a amplitude principal do nΓΊmero 𝑍 = βˆ’ 4 1 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘ .

  • A | 𝑍 | = √ 4 1 , amplitude principal βˆ’ 1 5 0 ∘
  • B | 𝑍 | = 4 1 , amplitude principal 1 5 0 ∘
  • C | 𝑍 | = √ 4 1 , amplitude principal 1 5 0 ∘
  • D | 𝑍 | = 4 1 , amplitude principal βˆ’ 1 5 0 ∘

Q24:

Determine o mΓ³dulo e o menor argumento positivo do nΓΊmero 𝑍 = βˆ’ 3 7 ο€Ό ο€Ό 5 πœ‹ 3  βˆ’ 𝑖 ο€Ό 5 πœ‹ 3   s e n c o s .

  • A | 𝑍 | = √ 3 7 , argumento πœƒ = πœ‹ 6
  • B | 𝑍 | = 3 7 , argumento πœƒ = βˆ’ πœ‹ 6
  • C | 𝑍 | = √ 3 7 , argumento πœƒ = βˆ’ πœ‹ 6
  • D | 𝑍 | = 3 7 , argumento πœƒ = πœ‹ 6

Q25:

Determine o mΓ³dulo e o argumento principal do nΓΊmero 𝑍 = 1 6 + 1 6 𝑖 3 0 5 t g ∘ .

  • A | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 s e c ∘ , argumento principal πœƒ = 2 3 5 ∘
  • B | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 c o s ∘ , argumento principal πœƒ = βˆ’ 5 5 ∘
  • C | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 c o s s e c ∘ , argumento principal πœƒ = 2 3 5 ∘
  • D | 𝑍 | = 1 6 3 0 5 s e c ∘ , argumento principal πœƒ = βˆ’ 5 5 ∘

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