Atividade: Forma Trigonométrica de Números Complexos

Nesta atividade, nós vamos praticar a representar um número complexo na forma polar, calcular o módulo e o argumento e utilizar isso para alterar a forma de um número complexo.

Q1:

Determine a forma trigonomΓ©trica do nΓΊmero complexo 𝑧 representado no plano de Argand.

  • A βˆ’ 4 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s e n
  • B 4 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s e n
  • C βˆ’ 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s e n
  • D 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s e n

Q2:

Dado que 𝑧 = 1 1 e 𝑧 = ( 3 πœƒ + 𝑖 3 πœƒ ) 2 2 c o s s e n , encontre a forma trigonomΓ©trica de 𝑧 𝑧 1 2 .

  • A c o s s e n ( 2 πœ‹ βˆ’ 3 πœƒ ) + 𝑖 ( 2 πœ‹ βˆ’ 3 πœƒ )
  • B c o s s e n ( 2 πœ‹ + 6 πœƒ ) + 𝑖 ( 2 πœ‹ + 6 πœƒ )
  • C c o s s e n ( πœ‹ βˆ’ 6 πœƒ ) + 𝑖 ( πœ‹ βˆ’ 6 πœƒ )
  • D c o s s e n ( 2 πœ‹ βˆ’ 6 πœƒ ) + 𝑖 ( 2 πœ‹ βˆ’ 6 πœƒ )

Q3:

Escreve 1 2  ο€Ό 5 πœ‹ 6  + 𝑖 ο€Ό 5 πœ‹ 6   c o s s e n na forma algΓ©brica.

  • A βˆ’ 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • B 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • C 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • D βˆ’ 6 √ 3 + 6 𝑖

Q4:

Determine o mΓ³dulo do nΓΊmero complexo 1 + 𝑖 .

  • A1
  • B2
  • C4
  • D √ 2
  • E √ 3

Determine o argumento do nΓΊmero complexo 1 + 𝑖 .

  • A πœ‹ 4
  • B βˆ’ πœ‹ 4
  • C πœ‹
  • D πœ‹ 2
  • E βˆ’ πœ‹ 2

Em seguida, escreva o nΓΊmero complexo 1 + 𝑖 na forma trigonomΓ©trica.

  • A √ 2 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 2 ο€» πœ‹ 4 + 𝑖 πœ‹ 4  c o s s e n
  • C √ 2 ο€» πœ‹ 4 + 𝑖 πœ‹ 4  c o s s e n
  • D √ 2 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s e n
  • E 2 ο€» πœ‹ 2 + 𝑖 πœ‹ 2  c o s s e n

Q5:

Considere o diagrama.

Qual das seguintes opçáes descreve corretamente a relação entre π‘Ž , π‘Ÿ , e πœƒ ?

  • A π‘Ž = π‘Ÿ πœƒ t g
  • B π‘Ž = π‘Ÿ πœƒ s e n
  • C π‘Ž = πœƒ π‘Ÿ c o s
  • D π‘Ž = π‘Ÿ πœƒ c o s
  • E π‘Ž = πœƒ π‘Ÿ s e n

Qual das opçáes descreve corretamente a relação entre 𝑏 , π‘Ÿ , e πœƒ ?

  • A 𝑏 = π‘Ÿ πœƒ s e n
  • B 𝑏 = πœƒ π‘Ÿ c o s
  • C 𝑏 = π‘Ÿ πœƒ c o s
  • D 𝑏 = πœƒ π‘Ÿ s e n
  • E 𝑏 = π‘Ÿ πœƒ t g

Por fim, escreva 𝑧 em termos de π‘Ÿ e πœƒ .

  • A 𝑧 = π‘Ÿ πœƒ + 𝑖 πœƒ π‘Ÿ c o s s e n
  • B 𝑧 = π‘Ÿ πœƒ + π‘Ÿ 𝑖 πœƒ s e n c o s
  • C 𝑧 = π‘Ÿ πœƒ + π‘Ÿ 𝑖 πœƒ c o s s e n
  • D 𝑧 = πœƒ π‘Ÿ + 𝑖 πœƒ π‘Ÿ c o s s e n
  • E 𝑧 = πœƒ π‘Ÿ + 𝑖 πœƒ π‘Ÿ s e n c o s

Q6:

O diagrama de Argand mostra o nΓΊmero complexo 𝑧 .

Escreva 𝑧 em forma retangular.

  • A 3 βˆ’ 5 𝑖
  • B 5 + 3 𝑖
  • C 5 βˆ’ 3 𝑖
  • D 3 + 5 𝑖
  • E βˆ’ ( 3 + 5 𝑖 )

Converta 𝑧 para a forma polar, arredondando o argumento para duas casas decimais.

  • A √ 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • B 8 ( 1 , 0 3 βˆ’ 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • C √ 3 4 ( 1 , 0 3 βˆ’ 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • D 3 4 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n
  • E √ 8 ( 1 , 0 3 + 𝑖 1 , 0 3 ) c o s s e n

Q7:

Expresse o nΓΊmero complexo 𝑍 = 4 𝑖 na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑍 = 4 ο€» ο€» πœ‹ 2  βˆ’ 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n
  • B 𝑍 = 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n
  • C 𝑍 = 4 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  βˆ’ 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n
  • D 𝑍 = 4 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n

Q8:

Dado 𝑍 = √ 3 + 𝑖 , determine a forma trigonomΓ©trica de 𝑍 .

  • A 2  1 7 πœ‹ 6 + 𝑖 1 7 πœ‹ 6  c o s s e n
  • B 2  7 πœ‹ 3 + 𝑖 7 πœ‹ 3  c o s s e n
  • C 2  1 1 πœ‹ 6 βˆ’ 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s e n
  • D 2  1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s e n
  • E 1 3  1 1 πœ‹ 6 + 𝑖 1 1 πœ‹ 6  c o s s e n

Q9:

Se 𝑍 = π‘Ÿ ( πœƒ + 𝑖 πœƒ ) c o s s e n , qual Γ© 1 𝑍 ?

  • A 1 π‘Ÿ ( πœƒ + 𝑖 πœƒ ) c o s s e n
  • B π‘Ÿ ( ( βˆ’ πœƒ ) + 𝑖 ( βˆ’ πœƒ ) ) c o s s e n
  • C π‘Ÿ ( ( βˆ’ πœƒ ) βˆ’ 𝑖 ( βˆ’ πœƒ ) ) c o s s e n
  • D 1 π‘Ÿ ( ( βˆ’ πœƒ ) + 𝑖 ( βˆ’ πœƒ ) ) c o s s e n

Q10:

Simplifique 6 βˆ’ 6 𝑖 βˆ’ 2 𝑖 , dando sua resposta na forma algΓ©brica e trigonomΓ©trica.

  • A βˆ’ 3 βˆ’ 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€Ό ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4   c o s s e n
  • B βˆ’ 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€Ό ο€Ό 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό 3 πœ‹ 4   c o s s e n
  • C 3 βˆ’ 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n
  • D 3 + 3 𝑖 , 3 √ 2 ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n

Q11:

Simplifique βˆ’ 5 + 5 √ 3 𝑖 βˆ’ √ 3 βˆ’ 𝑖 , dando sua resposta na forma algΓ©brica e trigonomΓ©trica.

  • A βˆ’ 5 𝑖 , 5 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 5 𝑖 , 5 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n
  • C 5 𝑖 , 5 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s e n
  • D βˆ’ 5 𝑖 , 5 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n

Q12:

Sendo 𝑧 βˆ’ 2 = ( 𝑧 + 2 ) 𝑖 , determine a forma trigonomΓ©trica do nΓΊmero complexo 𝑧 .

  • A 2 ( πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 2   c o s s e n
  • C 2 ( 0 + 𝑖 0 ) c o s s e n
  • D 2 ο€» ο€» πœ‹ 2  + 𝑖 ο€» πœ‹ 2   c o s s e n

Q13:

Sendo 𝑍 = ( 6 𝑖 βˆ’ 6 ) ( 4 + 3 𝑖 ) ( 1 + 2 𝑖 ) 2 , escreva o nΓΊmero complexo 𝑍 na forma π‘₯ + 𝑦 𝑖 , e em seguida escreva-o na forma trigonomΓ©trica.

  • A 6 + 6 𝑖 , ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n
  • B 6 βˆ’ 6 𝑖 , 6 √ 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n
  • C 6 βˆ’ 6 𝑖 , ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n
  • D 6 + 6 𝑖 , 6 √ 2 ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n

Q14:

Determine, na forma trigonomΓ©trica, as raΓ­zes quadradas de ο€½ βˆ’ 5 βˆ’ 5 𝑖 βˆ’ 5 + 5 𝑖  9 .

  • A ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n , ο€Ό ο€Ό 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό 3 πœ‹ 4   c o s s e n
  • B ο€Ό ο€Ό 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό 3 πœ‹ 4   c o s s e n , ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n
  • C ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 4   c o s s e n , ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n
  • D ο€» ο€» πœ‹ 4  + 𝑖 ο€» πœ‹ 4   c o s s e n , ο€Ό ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4  + 𝑖 ο€Ό βˆ’ 3 πœ‹ 4   c o s s e n

Q15:

Simplifique βˆ’ 7 + 4 √ 3 + ο€» βˆ’ 7 √ 3 βˆ’ 4  𝑖 7 + 4 𝑖 , apresentando a resposta nas formas algΓ©brica e trigonomΓ©trica.

  • A βˆ’ 1 + √ 3 𝑖 , 2 ο€Ό ο€Ό 2 πœ‹ 3  + 𝑖 ο€Ό 2 πœ‹ 3   c o s s e n
  • B 1 βˆ’ √ 3 𝑖 , 2 ο€» ο€» βˆ’ πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» βˆ’ πœ‹ 3   c o s s e n
  • C 1 + √ 3 𝑖 , 2 ο€» ο€» πœ‹ 3  + 𝑖 ο€» πœ‹ 3   c o s s e n
  • D βˆ’ 1 βˆ’ √ 3 𝑖 , 2 ο€Ό ο€Ό βˆ’ 2 πœ‹ 3  + 𝑖 ο€Ό βˆ’ 2 πœ‹ 3   c o s s e n

Q16:

Dado que | 𝑧 | = 9 e o argumento de 𝑧 Γ© πœƒ = πœ‹ 6 , determine 𝑧 , apresentando a resposta na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑧 = 9 ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6  c o s s e n
  • B 𝑧 = 9  ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6   s e n c o s
  • C 𝑧 = 9 ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6  s e n c o s
  • D 𝑧 = 9  ο€» πœ‹ 6  + 𝑖 ο€» πœ‹ 6   c o s s e n
  • E 𝑧 = 9  ο€» πœ‹ 6  βˆ’ 𝑖 ο€» πœ‹ 6   c o s s e n

Q17:

Dado que | 𝑍 | = 8 e o argumento de 𝑍 Γ© πœƒ = 3 6 0 ∘ , encontre 𝑍 , dando sua resposta na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑍 = 8 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ c o s s e n
  • B 𝑍 = 8 [ 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ] s e n c o s
  • C 𝑍 = 8 πœ‹ + 𝑖 πœ‹ c o s s e n
  • D 𝑍 = 8 [ 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ] c o s s e n
  • E 𝑍 = 8 [ πœ‹ + 𝑖 πœ‹ ] c o s s e n

Q18:

Dado que | 𝑧 | = 5 e o argumento de 𝑧 Γ© πœƒ = 2 πœ‹ + 2 𝑛 πœ‹ , tal que 𝑛 ∈ β„€ , determine 𝑧 , apresentando a resposta na forma trigonomΓ©trica.

  • A 𝑧 = 1 0 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) c o s s e n
  • B 𝑧 = 5 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) s e n c o s
  • C 𝑧 = 1 0 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) s e n c o s
  • D 𝑧 = 5 ( 2 πœ‹ + 𝑖 2 πœ‹ ) c o s s e n
  • E 𝑧 = 5 ( 4 πœ‹ + 𝑖 4 πœ‹ ) c o s s e n

Q19:

Dado que | 𝑍 | = 3 e o argumento de 𝑍 Γ© πœƒ = πœ‹ 3 , encontre 𝑍 , dando sua resposta em forma algΓ©brica.

  • A 𝑍 = βˆ’ 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖
  • B 𝑍 = 3 √ 3 2 + 3 2 𝑖
  • C 𝑍 = βˆ’ 3 2 βˆ’ 3 √ 3 2 𝑖
  • D 𝑍 = 3 2 + 3 √ 3 2 𝑖
  • E 𝑍 = 3 2 βˆ’ 3 √ 3 2 𝑖

Q20:

Dado que | 𝑍 | = 1 2 e o argumento de 𝑍 Γ© πœƒ = 1 2 0 ∘ , encontre 𝑍 , dando sua resposta em forma algΓ©brica.

  • A 𝑍 = βˆ’ 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • B 𝑍 = 6 √ 3 βˆ’ 6 𝑖
  • C 𝑍 = 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖
  • D 𝑍 = βˆ’ 6 + 6 √ 3 𝑖
  • E 𝑍 = βˆ’ 6 βˆ’ 6 √ 3 𝑖

Q21:

Dado que | 𝑧 | = 5 e o argumento de 𝑧 Γ© πœƒ = 2 7 0 ∘ , encontre 𝑧 , dando sua resposta em forma algΓ©brica.

  • A 𝑧 = 5 𝑖
  • B 𝑧 = 5
  • C 𝑧 = βˆ’ 5
  • D 𝑧 = βˆ’ 5 𝑖
  • E 𝑧 = 5 + 5 𝑖

Q22:

Dado que 𝑍 = 7 [ ( βˆ’ 5 8 ) + 𝑖 ( βˆ’ 5 8 ) ] c o s s e n ∘ ∘ , determine a forma algΓ©brica de 𝑍 , arredondando as partes real e imaginΓ‘ria para as duas casas decimais mais prΓ³ximas.

  • A 𝑍 = βˆ’ 3 , 7 1 + 5 , 9 4 𝑖
  • B 𝑍 = 5 , 9 4 + 3 , 7 1 𝑖
  • C 𝑍 = βˆ’ 5 , 9 4 + 5 , 9 4 𝑖
  • D 𝑍 = 3 , 7 1 βˆ’ 5 , 9 4 𝑖

Q23:

Dado que 𝑧 = 1 3 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘ , encontre 1 𝑧 .

  • A 1 3 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • B 3 ( 3 0 + 𝑖 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • C 3 ( 2 1 0 + 𝑖 2 1 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • D 3 ( 3 3 0 + 𝑖 3 3 0 ) c o s s e n ∘ ∘
  • E 1 3 ( 2 1 0 + 𝑖 2 1 0 ) c o s s e n ∘ ∘

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