Atividade: Integrais de Linha no Espaço

Nesta atividade, nós vamos praticar a calcular integrais de linha no espaço.

Q1:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑧  e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 𝑑 : s e n , 𝑦 = 𝑑 𝑑 c o s , 𝑧 = 2 √ 2 3 𝑑   , 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

  • A 6 5
  • B 9 2 0
  • C βˆ’ 2 5
  • D 2 5
  • E0

Q2:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ 𝑦 + 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 :  , 𝑦 = 𝑑 , 𝑧 = 1 , 1 ≀ 𝑑 ≀ 2 .

  • A 5 6 3
  • B 1 4 ο€» 1 7 √ 1 7 βˆ’ 5 √ 5 
  • C14
  • D 1 3 ο€» 1 7 √ 1 7 βˆ’ 5 √ 5 
  • E 1 3 ο€» 1 7 √ 1 7 + 5 √ 5 

Q3:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑧 e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , 𝑧 = 𝑑 , 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

  • A √ 2 πœ‹ 2 
  • B 2 πœ‹ 
  • C √ 2 πœ‹ 
  • D 2 √ 2 πœ‹ 
  • E 2 √ 2 πœ‹

Q4:

Seja 𝑃 o arco de uma circunferΓͺncia unitΓ‘ria no plano π‘₯ 𝑦 atravessado no sentido anti-horΓ‘rio a partir de ( 0 , 1 ) a ( 1 , 0 ) . Determine o valor exato da integral de linha do campo vetorial βƒ— 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 3 π‘₯ 𝑒 βƒ— 𝚀 + 2 𝑦 𝑧 𝑒 βƒ— πš₯ + 𝑦 𝑒 βƒ— π‘˜ 2 π‘₯ + 𝑦 𝑧 π‘₯ + 𝑦 𝑧 2 π‘₯ + 𝑦 𝑧 3 2 3 2 3 2 sobre 𝑃 .

  • A 1 βˆ’ 𝑒
  • B 1 βˆ’ 2 𝑒
  • C 1 + 𝑒
  • D 𝑒 βˆ’ 1
  • E 1 + 2 𝑒

Q5:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ e a curva 𝐢 ∢ π‘₯ = 3 𝑑 , 𝑦 = 2 𝑑 , 𝑧 = 𝑑 , 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

Q6:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetiral βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ βƒ— 𝚀 + 𝑦 βƒ— πš₯ + 𝑧 βƒ— π‘˜ e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , 𝑧 = 2 , 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

Q7:

Use uma integral de linha para encontrar a Γ‘rea da superfΓ­cie lateral da parte do cilindro π‘₯ + 𝑦 = 4   abaixo do plano π‘₯ + 2 𝑦 + 𝑧 = 6 e acima do plano π‘₯ 𝑦 .

  • A 4 ( 6 πœ‹ βˆ’ 3 )
  • B 6 πœ‹
  • C 6 πœ‹ βˆ’ 3
  • D 2 4 πœ‹
  • E 2 4 πœ‹ βˆ’ 3

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