Atividade: Introdução as Transformações Lineares

Nesta atividade, nós vamos praticar a identificação de matrizes de reflexão, rotação e dilatação e a sua utilização para realizar transformações em pontos num plano.

Q1:

Seja 𝑇 𝐿 ( 𝑉 ) uma transformação linear. Suponha que a matriz para 𝑇 relativa à base 𝐵 em 𝑉 é 𝑀 . Suponha que 𝑃 é a matriz de transição de outra base 𝐶 para 𝐵 . Determine a matriz para 𝑇 em relação a 𝐶 .

  • A 𝑃 𝑀
  • B 𝑃 𝑀 𝑃
  • C 𝑀 𝑃
  • D 𝑃 𝑀 𝑃

Q2:

A Forma A foi deslocada para a Forma B e, em seguida, para a Forma C.

Escreve um vetor que representa a translação da Forma A para a Forma B.

  • A 5 2
  • B 2 5
  • C 2 6
  • D 5 2
  • E 2 6

Escreve um vetor que representa a translação da Forma B para a Forma C.

  • A 3 4
  • B 2 6
  • C 3 4
  • D 4 3
  • E 2 6

Escreve um vetor que representa a translação da Forma C para a Forma A.

  • A 3 4
  • B 6 2
  • C 2 6
  • D 2 6
  • E 3 4

Q3:

Seja 𝐿 a transformação produzida por uma matriz diferente de zero com um determinante zero. Qual é a imagem de um quadrado unitário sob 𝐿 ?

  • Aoutro quadrado
  • Bum único ponto
  • Cum paralelogramo
  • Dum segmento de reta contendo a origem
  • Eum losango

Q4:

Considere a transformação representada pela matriz 3 0 0 3 .

Qual é a imagem do quadrado de vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) e ( 1 , 1 ) sob esta transformação?

  • Auma ponta de seta de vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) e ( 3 , 3 )
  • Bum quadrado de vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) e ( 3 , 3 )
  • Cuma ponta de seta de vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) e ( 3 , 3 )
  • Dum quadrado de vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 3 ) , ( 3 , 0 ) e ( 3 , 3 )
  • Eum papagaio de vértices ( 0 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 0 ) e ( 3 , 3 )

Qual é a transformação geométrica representada por esta matriz?

  • Auma dilatação de fator 3 e centro na origem
  • Bum alongamento na direção O 𝑦
  • Cum alongamento na direção de O 𝑥
  • Duma dilatação de fator 3 e centro na origem
  • Euma rotação em torno da origem com um ângulo de 3

Q5:

Seja 𝐿 uma transformação linear de em si mesmo com a propriedade que 𝐿 6 4 = 2 2 e 𝐿 2 1 1 2 = 3 3 .

Utilizando o fato de que 6 4 = 6 4 , encontre 𝐿 6 4 .

  • A 2 2
  • B 2 2
  • C 6 4
  • D 2 2
  • E 6 4

Utilizando o fato de que 1 2 8 = 2 6 4 , encontre 𝐿 1 2 8 .

  • A 4 4
  • B 2 8 4 4
  • C 2 2
  • D 4 4
  • E 1 2 6

Encontre um vetor 𝑣 de modo que 𝐿 ( 𝑣 ) = 1 1 .

  • A 2 1
  • B 3 2
  • C 3 2
  • D 2 2
  • E 1 2

Quanto é 𝐿 ( 4 𝑣 + 𝑤 ) , onde 𝑣 = 6 4 e 𝑤 = 2 1 1 2 ?

  • A 5 1 1
  • B 1 5 8
  • C 1 1 2 9
  • D 4 2 0
  • E 1 0 1 4

Considerando combinações lineares adequadas de 6 4 e 2 1 1 2 , encontre 𝐿 1 0 e 𝐿 0 1 .

  • A 1 2 , 1 2
  • B 1 2 , 3 5
  • C 3 5 , 1 2
  • D 1 3 , 2 5
  • E 3 5 , 3 5

Encontre a matriz 𝑀 que representa a transformação linear 𝐿 .

  • A 𝑀 = 1 3 2 5
  • B 𝑀 = 3 5 3 5
  • C 𝑀 = 3 5 1 2
  • D 𝑀 = 1 2 3 5
  • E 𝑀 = 1 2 1 2

Q6:

A matriz dos vértices do quadrado de lado 1 apresentado é 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5 2 5 2 3 2 .

Determine a matriz dos vértices da imagem após uma transformação pela matriz 1 2 2 1 e indique a forma geométrica que se obtém.

  • A 7 2 1 1 2 9 2 5 2 5 2 7 2 3 2 1 2 , um quadrado
  • B 5 2 7 2 1 1 2 9 2 3 2 1 2 5 2 1 1 2 , um retângulo
  • C 5 2 7 2 1 1 2 9 2 3 2 1 2 5 2 1 1 2 , um paralelogramo
  • D 7 2 1 1 2 9 2 5 2 5 2 7 2 3 2 1 2 , um losango

Q7:

Considere a matriz 𝑀 = 𝛼 𝛼 𝛼 𝛼 em que 𝛼 = 2 2 .

Determine 𝑀 .

  • A 1 2 1 2 1 2 1 2
  • B 1 1 1 1
  • C 1 0 0 1
  • D 1 0 0 1
  • E 1 0 0 1

Determine d e t ( 𝑀 ) .

  • A 1
  • B2
  • C 1 2
  • D1
  • E0

Esboçando a imagem do quadrado unitário sob a transformação, identifique a transformação geométrica a que esta matriz corresponde.

  • Auma rotação de 4 5 em sentido horário em torno do ponto ( 1 , 0 )
  • Buma rotação de 4 5 em sentido horário em torno da origem
  • Cuma reflexão na reta 𝑦 = ( 2 2 , 5 ) 𝑥 t g
  • Duma projeção na reta 𝑦 = 𝑥
  • Euma reflexão na reta 𝑦 = 𝑥

Q8:

Preencha o espaço em branco. Uma transformação linear 𝑇 𝐿 ( 𝑉 , 𝑊 ) é , se, somente se 𝑇 é injetiva e sobrejetiva.

  • Acontínua
  • Bsingular
  • Cum para um
  • Dinversível

Q9:

Seja 𝑇 𝐿 tais que 𝑇 𝑥 𝑦 = 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 . p a r a t o d o Então, 𝑇 é .

  • Auma transformação identidade
  • Buma transformação nula
  • Cum espaço vetorial
  • Duma transformação linear sobrejetiva

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