Atividade: Expansão de Frações Parciais: Fatores Lineares repetidos

Nesta atividade, nós vamos praticar a decompor uma expressão racional cujo denominador tem fatores lineares repetidos em frações parciais.

Q1:

Encontre 𝐴 e 𝐵 tal que 2 𝑥 ( 𝑥 3 ) = 𝐴 𝑥 3 + 𝐵 ( 𝑥 3 ) 2 2 .

  • A 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6
  • B 𝐴 = 6 , 𝐵 = 2
  • C 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6
  • D 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6
  • E 𝐴 = 2 , 𝐵 = 6

Q2:

Expresse 𝑥 2 ( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 + 1 ) 2 2 em frações parciais.

  • A 2 𝑥 + 2 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • B 1 𝑥 + 2 + 2 𝑥 + 1 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • C 2 𝑥 + 2 + 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • D 2 𝑥 + 2 1 𝑥 + 1 1 ( 𝑥 + 1 ) 2
  • E 2 𝑥 + 2 1 𝑥 + 1 1 ( 𝑥 + 1 ) 2

Q3:

Determinar a decomposição parcial da fração 𝑥 + 𝑥 + 1 𝑥 ( 𝑥 3 ) ( 𝑥 + 1 ) 2 2 .

  • A 1 4 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) + 1 3 𝑥 + 1 3 4 8 ( 𝑥 3 ) 2
  • B 3 2 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) + 1 3 𝑥 7 1 2 ( 𝑥 3 ) 2
  • C 1 4 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) 1 3 𝑥 7 1 2 ( 𝑥 3 ) 2
  • D 1 4 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) 1 3 𝑥 + 1 3 4 8 ( 𝑥 3 ) 2
  • E 3 2 ( 𝑥 + 1 ) + 1 1 6 ( 𝑥 + 1 ) 1 3 𝑥 + 1 3 4 8 ( 𝑥 3 ) 2

Q4:

Considere a expressão racional 𝑅 = 5 𝑥 3 1 𝑥 + 3 9 ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 ) . A seguinte estratégia permite escrevê-la como a soma de frações parciais.

Qual é o valor de 𝑅 ( 𝑥 4 ) quando 𝑥 = 4 ? Designemo-lo por 𝑎 .

Então, 𝑅 = 𝑎 ( 𝑥 4 ) + 𝑆 . Quanto é 𝑆 ? Apresente a resposta na forma fatorizada e mais simples.

  • A 𝑆 = 5 ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 )
  • B 𝑆 = ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 )
  • C 𝑆 = ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 )
  • D 𝑆 = 5 ( 𝑥 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 )
  • E 𝑆 = 5 ( 𝑥 + 2 ) ( 𝑥 4 ) ( 𝑥 + 1 )

Repita o primeiro passo com ( 𝑥 4 ) 𝑆 e ( 𝑥 + 1 ) 𝑆 para determinar 𝑏 e 𝑐 tais que 𝑆 = 𝑏 ( 𝑥 4 ) + 𝑐 ( 𝑥 + 1 ) . Por fim, o qual é a decomposição em frações parciais de 𝑅 ?

  • A 3 𝑥 + 1 + 1 𝑥 4 2 ( 𝑥 4 )
  • B 3 𝑥 + 1 2 𝑥 4 1 ( 𝑥 4 )
  • C 3 𝑥 + 1 + 2 𝑥 4 1 ( 𝑥 4 )
  • D 3 𝑥 + 1 + 2 𝑥 4 + 1 ( 𝑥 4 )
  • E 3 𝑥 + 1 1 𝑥 4 + 2 ( 𝑥 4 )

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