Atividade: O Teorema do Valor Médio

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o teorema do valor médio.

Q1:

Leandro não está convencido de que o teorema do valor médio é verdadeiro porque, diz ele, a função 𝑓(𝑥)=|𝑥| tem a propriedade que se tomarmos 𝑎=2 e 𝑏=2, nós temos 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎=0, e ainda não há nenhum ponto 𝑥 onde 𝑓(𝑥)=0. Qual é o erro dele?

  • AO teorema requer que o domínio seja um intervalo, que não é.
  • BA função deve ser estritamente crescente no intervalo.
  • CA função não é contínua. O teorema requer continuidade em um intervalo.
  • DA função não é diferenciável em 𝑥=0. O teorema requer diferenciabilidade em um intervalo.
  • EA função deve ser estritamente decrescente no intervalo.

Q2:

A Margarida não está convencida de que o teorema do valor médio seja verdadeiro porque, diz ela, a função 𝑓(𝑥)=|𝑥| é sem dúvida derivável em {0}. Mas se considerarmos 𝑎=1 e 𝑏=1, temos 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎=0 e, no entanto, não existe um ponto 𝑥 em que 𝑓(𝑥)=0. Qual é o erro dela?

  • AA função não é contínua e o teorema requer continuidade num intervalo.
  • BO teorema requer que o domínio seja um intervalo, e {0} não é.
  • CA função deve ser estritamente crescente no intervalo.
  • DO teorema requer que a função seja derivável sempre, e |𝑥| não é.
  • EA função deve ser estritamente decrescente no intervalo.

Q3:

O teorema do valor médio é aplicável na função 𝑦=2𝑥4 no intervalo [2,2]?

  • ASim
  • BNão

Q4:

O teorema do valor médio se aplica à função 𝑦=2|𝑥+2| sobre o intervalo [0,6]?

  • ANão
  • BSim

Q5:

O teorema do valor médio se aplica para a função 𝑦=2𝑥4𝑥+7 sobre o intervalo [0,5]?

  • ASim
  • BNão

Q6:

O teorema do valor médio se aplica para a função 𝑦=3+|2𝑥| sobre o intervalo [2,2]?

  • ASim
  • BNão

Q7:

Considerando a função 𝑓(𝑥)=𝑥, determine todos os valores possíveis de 𝑐 que satisfazem o teorema do valor médio no intervalo [4,9].

  • A 1 5
  • B0
  • C 5 2
  • D 5 2
  • E 2 5 4

Q8:

Para a função 𝑓(𝑥)=𝑥+2𝑥, encontre todos os valores de 𝑐 que satisfazem o teorema do valor médio sobre o intervalo [4,4].

Q9:

O teorema do valor médio se aplica para a função 𝑦=3𝑥2𝜋𝑥sen sobre o intervalo [0,2]?

  • ANão
  • BSim

Q10:

Para a função 𝑓(𝑥)=3𝑥, encontre todos os valores possíveis de 𝑐 que satisfazem o teorema do valor médio sobre o intervalo [1,3].

  • A 3 9 3
  • B12
  • C 3 3 9
  • D0
  • E2

Q11:

Considerando a função𝑓(𝑥)=𝑥4𝑥, determine todos os valores possíveis de 𝑐 que satisfazem o teorema do valor médio no intervalo [2,2].

  • A 𝑥 = 0 , 𝑥 = 2
  • B 𝑥 = 2 , 𝑥 = 2
  • C 𝑥 = 2 3
  • D 𝑥 = 2 3
  • E 𝑥 = 2 3 , 𝑥 = 2 3

Q12:

Considerando a função 𝑓(𝑥)=(𝑥1), determine todos os valores possíveis de 𝑐 que satisfazem o teorema do valor médio no intervalo [0,2].

Q13:

Uma pedra cai de uma altura de 81 pés. Sua posição 𝑡 segundos depois de cair até atingir o solo é dado pela função 𝑠(𝑡)=16𝑡+81.

Determine quanto tempo levará para a rocha atingir o solo.

  • A 3 2 s
  • B 9 2 2 s
  • C 9 4 s
  • D 8 1 1 6 s
  • E 0 s

Encontre a velocidade média, 𝑣m, da rocha do ponto de liberação até atingir o chão.

Encontre o tempo 𝑡 de acordo com o teorema do valor médio quando a velocidade instantânea da rocha é 𝑣m.

  • A 9 4 s
  • B 8 9 s
  • C 9 8 s
  • D 0 s
  • E 4 9 s

Q14:

O teorema do valor médio se aplica para a função 𝑦=𝑥𝑥+1cos sobre o intervalo [0,1]?

  • ANão
  • BSim

Q15:

O teorema do valor médio é aplicável à função 𝑦=23𝜋𝑥tg no intervalo [1,3]?

  • ASim
  • BNão

Q16:

Considere a afirmação de que se 𝑓 é uma função diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓(𝑥)>0 nesse intervalo, então 𝑓 é estritamente crescente em 𝐼.

Qual das seguintes afirmações é equivalente a acima?

  • ASe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓(𝑎)>0 em algum ponto 𝑎𝐼.
  • BSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓(𝑥)0 nesse intervalo, então 𝑓 não é estritamente crescente em 𝐼.
  • CSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓(𝑥)>0 em todos os pontos 𝑥𝐼.
  • DSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓(𝑥)0 em todos os pontos 𝑥𝐼.
  • ESe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não estritamente crescente nesse intervalo, então 𝑓(𝑎)0 em algum ponto 𝑎𝐼.

O que significa para uma função 𝑓 não ser estritamente crescente no intervalo 𝐼?

  • AHá pontos 𝑎,𝑏𝐼 com 𝑎<𝑏 mas 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎).
  • BHá pontos 𝑎,𝑏𝐼 com 𝑎<𝑏 mas 𝑓(𝑏)<𝑓(𝑎).
  • CSempre que 𝑎,𝑏𝐼 satisfaz 𝑎<𝑏, então 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎).
  • DExiste um ponto 𝑎𝐼 onde 𝑓(𝑎)0.
  • EHá pontos 𝑎,𝑏𝐼 com 𝑎<𝑏 mas 𝑓(𝑏)=𝑓(𝑎).

Utilizando a afirmação equivalente para o resultado principal, como você pode utilizar o teorema do valor médio para provar a afirmação equivalente?

  • ASe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎<𝑏 com 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 onde 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, então 𝑓(𝑐)0>.
  • BNão é possível provar a afirmação utilizando o teorema do valor médio.
  • CSe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎<𝑏 com 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 onde 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, então 𝑓(𝑐)0.
  • DSe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎<𝑏 com 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 onde 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, então 𝑓(𝑐)=0.
  • ESe 𝑓 é diferenciável em 𝐼 e não estritamente crescente, então tome 𝑎<𝑏 com 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Pelo teorema do valor médio, obtemos 𝑐 entre 𝑎 e 𝑏 e onde 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎, então 𝑓(𝑐)0.

Q17:

Considere o resultado: se 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓(𝑥)=0, então 𝑓(𝑥)=𝑐, uma constante, para todos 𝑥𝐼.

Qual das seguintes afirmações diz exatamente a mesma coisa que o resultado da função constante?

  • ASe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓(𝑥)0 em cada 𝑥𝐼, então 𝑓(𝑥) não é uma função constante.
  • BSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não uma função constante, então 𝑓(𝑥)0 em todos 𝑥𝐼.
  • CSe 𝑓 é uma função constante em um intervalo 𝐼, então 𝑓 é diferenciável e 𝑓(𝑥)=0 em todos 𝑥𝐼.
  • DSe 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e 𝑓(𝑎)0 em algum 𝑎𝐼, então 𝑓(𝑥) não é uma função constante.
  • Ese 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não uma função constante, então 𝑓(𝑎)0 em algum 𝑎𝐼.

Se 𝑓 é diferenciável em um intervalo 𝐼 e não constante, nós temos pontos 𝑎,𝑏𝐼 com 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏). Como isso mostra que 𝑓(𝑐)0 em algum ponto 𝑐𝐼?

  • A porque se 𝑓(𝑥)=0 em 𝐼, então 𝑓 seria uma função constante
  • Bporque 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎) significa que um dos 𝑓(𝑎) ou 𝑓(𝑏) não é zero; nós podemos pegar 𝑐 como neste ponto
  • Cporque então 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎0 e pelo teorema do valor médio, há um ponto 𝑐 com 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎
  • D porque apenas funções constantes tem 𝑓(𝑥)=0 em toda parte
  • E porque então 𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)𝑏𝑎0 e pelo teorema do valor médio, há um ponto 𝑐 com 𝑓(𝑐)=𝑓(𝑏)𝑓(𝑎)

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