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Atividade: Fórmulas Aditivas

Q1:

Simplifique c o s c o s s e n s e n 2 𝑋 2 2 𝑋 βˆ’ 2 𝑋 2 2 𝑋 .

  • A s e n 2 0 𝑋
  • B c o s 2 0 𝑋
  • C s e n 2 4 𝑋
  • D c o s 2 4 𝑋

Q2:

Simplifique c o s c o s s e n s e n 4 1 𝑋 7 𝑋 βˆ’ 4 1 𝑋 7 𝑋 .

  • A s e n 3 4 𝑋
  • B c o s 3 4 𝑋
  • C s e n 4 8 𝑋
  • D c o s 4 8 𝑋

Q3:

Utilizando a relação t g t g t g t g t g ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛽 1 βˆ’ 𝛼 𝛽 , determine uma expressΓ£o para t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) em termos de t g 𝛼 e t g 𝛽 que Γ© verdadeira quando ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) β‰  πœ‹ 2 + πœ‹ 𝑛 .

  • A t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛽 1 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • B t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛽 1 + 𝛼 𝛽
  • C t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛽 1 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛽 1 + 𝛼 𝛽
  • E t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛽 𝛼 + 𝛽

Q4:

Simplifique s e n c o s c o s s e n ( 4 8 𝑋 + 4 2 π‘Œ ) 4 2 π‘Œ βˆ’ ( 4 8 𝑋 + 4 2 π‘Œ ) 4 2 π‘Œ .

  • A c o s 4 8 𝑋
  • B s e n 4 2 𝑋
  • C c o s 4 2 𝑋
  • D s e n 4 8 𝑋
  • E s e n 9 0 π‘Œ

Q5:

Simplifique s e n c o s c o s s e n 1 4 7 1 2 0 βˆ’ 1 4 7 1 2 0 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A c o s 2 7 ∘
  • B s e n 2 6 7 ∘
  • C c o s 2 6 7 ∘
  • D s e n 2 7 ∘

Q6:

Simplifique s e n c o s c o s s e n 1 1 7 1 5 4 βˆ’ 1 1 7 1 5 4 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A c o s ( βˆ’ 3 7 ) ∘
  • B s e n ( 2 7 1 ) ∘
  • C c o s ( 2 7 1 ) ∘
  • D s e n ( βˆ’ 3 7 ) ∘

Q7:

Simplifique s e n c o s c o s s e n 1 1 5 1 6 4 βˆ’ 1 1 5 1 6 4 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A c o s ( βˆ’ 4 9 ) ∘
  • B s e n ( 2 7 9 ) ∘
  • C c o s ( 2 7 9 ) ∘
  • D s e n ( βˆ’ 4 9 ) ∘

Q8:

Simplifique s e n c o s c o s s e n 4 0 1 0 2 βˆ’ 4 0 1 0 2 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A c o s ( βˆ’ 6 2 ) ∘
  • B s e n ( 1 4 2 ) ∘
  • C c o s ( 1 4 2 ) ∘
  • D s e n ( βˆ’ 6 2 ) ∘

Q9:

Simplifique s e n c o s c o s s e n 1 3 2 2 7 βˆ’ 1 3 2 2 7 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A c o s 1 0 5 ∘
  • B s e n 1 5 9 ∘
  • C c o s 1 5 9 ∘
  • D s e n 1 0 5 ∘

Q10:

Simplifique s e n c o s c o s s e n 5 6 1 4 1 βˆ’ 5 6 1 4 1 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A c o s ( βˆ’ 8 5 ) ∘
  • B s e n ( 1 9 7 ) ∘
  • C c o s ( 1 9 7 ) ∘
  • D s e n ( βˆ’ 8 5 ) ∘

Q11:

Simplifique c o s c o s s e n s e n ( 2 3 𝑋 + 2 5 π‘Œ ) 2 5 π‘Œ + ( 2 3 𝑋 + 2 5 π‘Œ ) 2 5 π‘Œ .

  • A s e n 2 3 𝑋
  • B c o s 2 5 𝑋
  • C s e n 2 5 𝑋
  • D c o s 2 3 𝑋
  • E c o s 4 8 π‘Œ

Q12:

Na figura apresentada, 𝑂 𝑀 𝑁 𝑇 Γ© um retΓ’ngulo e o comprimento de 𝑂 𝑆 Γ© 1.

Determine os comprimentos de 𝑆 𝑇 e 𝑂 𝑇 em termos de 𝛼 e 𝛽 .

  • A 𝑆 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , 𝑂 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) c o s s e c s e c
  • B 𝑆 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , 𝑂 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) c o s s e n
  • C 𝑆 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , 𝑂 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) s e c c o s s e c
  • D 𝑆 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , 𝑂 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) s e n c o s
  • E 𝑆 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) , 𝑂 𝑇 = ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) t g c o t g

Determine πœƒ em termos de 𝛼 e 𝛽 . Em seguida, determine os comprimentos de 𝑃 𝑄 e 𝑄 𝑆 .

  • A πœƒ = 𝛼 , 𝑃 𝑄 = 𝛼 𝛽 , 𝑄 𝑆 = 𝛼 𝛽 c o s s e n s e n s e n
  • B πœƒ = 9 0 βˆ’ 𝛼 , 𝑃 𝑄 = 𝛼 𝛽 , 𝑄 𝑆 = 𝛼 𝛽 ∘ s e n s e n c o s s e n
  • C πœƒ = 𝛼 , 𝑃 𝑄 = 𝛼 , 𝑄 𝑆 = 𝛼 c o s s e n
  • D πœƒ = 𝛽 , 𝑃 𝑄 = 𝛽 𝛽 , 𝑄 𝑆 = 𝛽 c o s s e n s e n 2
  • E πœƒ = 9 0 βˆ’ 𝛼 , 𝑃 𝑄 = 𝛼 𝛽 , 𝑄 𝑆 = 𝛼 𝛽 ∘ c o s s e n s e n s e n

Considerando um Γ’ngulo adequado, determine os comprimentos de 𝑀 𝑃 e 𝑂 𝑀 .

  • A 𝑀 𝑃 = 𝛼 𝛽 , 𝑂 𝑀 = 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n c o s
  • B 𝑀 𝑃 = 𝛽 , 𝑂 𝑀 = 𝛽 𝛽 c o s s e n c o s 2
  • C 𝑀 𝑃 = 𝛼 𝛽 , 𝑂 𝑀 = 𝛼 𝛽 c o s c o s s e n c o s
  • D 𝑀 𝑃 = 𝛼 , 𝑂 𝑀 = 𝛼 c o s s e n
  • E 𝑀 𝑃 = 𝛼 𝛽 , 𝑂 𝑀 = 𝛼 𝛽 s e n c o s c o s c o s

Recorra Γ s respostas das partes anteriores da questΓ£o para determinar uma expressΓ£o para s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) e c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) .

  • A s e n s e n c o s c o s s e n c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • B s e n c o s c o s s e n s e n c o s s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • C s e n s e n s e n c o s c o s c o s c o s s e n s e n c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽 , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D s e n s e n s e n c o s c o s c o s ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛽 , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛽
  • E s e n s e n c o s c o s c o s s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛼 , ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛼

Q13:

Na figura, quais triΓ’ngulos sΓ£o semelhantes?

  • A 𝐡 𝐷 𝐸 , 𝐢 𝐷 𝐹 , e 𝐸 𝐡 𝐹
  • B 𝐷 𝐡 𝐢 , 𝐢 𝐷 𝐹 , 𝐴 𝐡 𝐢 , e 𝐸 𝐡 𝐹
  • C 𝐴 𝐷 𝐸 , 𝐸 𝐷 𝐡 , e 𝐴 𝐡 𝐢
  • D 𝐴 𝐷 𝐸 , 𝐹 𝐷 𝐢 , 𝐴 𝐡 𝐢 , e 𝐹 𝐡 𝐸
  • E 𝐷 𝐡 𝐢 , 𝐸 𝐷 𝐡 , e 𝐴 𝐡 𝐢

Dado que 𝐡 𝐢 = 1 , encontrar expressáes para os comprimentos de 𝐴 𝐢 , 𝐢 𝐷 , 𝐴 𝐷 , e 𝐢 𝐹 .

  • A 𝐴 𝐢 = 𝛼 t g , 𝐢 𝐷 = 𝛽 t g , 𝐴 𝐷 = 𝛼 βˆ’ 𝛽 t g t g , 𝐢 𝐹 = 𝛼 𝛽 t g t g
  • B 𝐴 𝐢 = 𝛼 t g , 𝐢 𝐷 = 𝛽 t g , 𝐴 𝐷 = 𝛼 βˆ’ 𝛽 t g t g , 𝐢 𝐹 = 𝛽 𝛼 t g t g
  • C 𝐴 𝐢 = 1 𝛽 t g , 𝐢 𝐷 = 1 𝛼 t g , 𝐴 𝐷 = 1 𝛽 βˆ’ 1 𝛼 t g t g , 𝐢 𝐹 = 𝛽 𝛼 t g t g
  • D 𝐴 𝐢 = 1 𝛼 t g , 𝐢 𝐷 = 1 𝛽 t g , 𝐴 𝐷 = 1 𝛼 βˆ’ 1 𝛽 t g t g , 𝐢 𝐹 = 𝛽 𝛼 t g t g
  • E 𝐴 𝐢 = 𝛽 t g , 𝐢 𝐷 = 𝛼 t g , 𝐴 𝐷 = 𝛽 βˆ’ 𝛼 t g t g , 𝐢 𝐹 = 𝛼 𝛽 t g t g

Encontre uma expressΓ£o para t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) .

  • A t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝐸 𝐷 𝐸 𝐡 = 𝐴 𝐷 𝐡 𝐹 = βˆ’ 1 𝛼 + 𝛽 t g t g 𝛼 𝛽
  • B t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝐸 𝐷 𝐸 𝐡 = 𝐴 𝐷 𝐡 𝐹 = 𝛼 βˆ’ 𝛽 𝛼 𝛽
  • C t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝐸 𝐷 𝐸 𝐡 = 𝐴 𝐷 𝐡 𝐹 = 𝛼 βˆ’ 𝛽 1 + 𝛼 𝛽
  • D t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝐸 𝐷 𝐸 𝐡 = 𝐴 𝐷 𝐡 𝐹 = 1 βˆ’ 𝛼 + 𝛽 t g t g 𝛼 𝛽
  • E t g t g t g t g t g ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝐸 𝐷 𝐸 𝐡 = 𝐴 𝐷 𝐡 𝐹 = 𝛽 βˆ’ 𝛼 1 + 𝛼 𝛽

Q14:

Considere a figura dada.

Encontre os comprimentos 𝐴 e 𝐡 em termos de 𝛼 e 𝛽 .

  • A 𝐴 = ( 𝛼 + 𝛽 ) c o s s e c , 𝐡 = ( 𝛼 + 𝛽 ) s e c
  • B 𝐴 = ( 𝛼 + 𝛽 ) c o s , 𝐡 = ( 𝛼 + 𝛽 ) s e n
  • C 𝐴 = ( 𝛼 + 𝛽 ) s e c , 𝐡 = ( 𝛼 + 𝛽 ) c o s s e c
  • D 𝐴 = ( 𝛼 + 𝛽 ) s e n , 𝐡 = ( 𝛼 + 𝛽 ) c o s
  • E 𝐴 = ( 𝛼 + 𝛽 ) t g , 𝐡 = ( 𝛼 + 𝛽 ) c o t g

Encontre os comprimentos 𝐢 , 𝐷 , 𝐸 , e 𝐹 em termos de 𝛼 e 𝛽 .

  • A 𝐢 = 𝛼 𝛽 s e n s e n , 𝐷 = 𝛼 𝛽 c o s s e n , 𝐸 = 𝛼 𝛽 s e n c o s , 𝐹 = 𝛼 𝛽 c o s c o s
  • B 𝐢 = 𝛼 𝛽 c o s s e n , 𝐷 = 𝛼 𝛽 s e n s e n , 𝐸 = 𝛽 𝛼 s e n s e n , 𝐹 = 𝛽 𝛼 s e n c o s
  • C 𝐢 = 𝛼 s e n , 𝐷 = 𝛼 c o s , 𝐸 = 𝛼 s e n , 𝐹 = 𝛼 c o s
  • D 𝐢 = 𝛼 𝛽 s e n s e n , 𝐷 = 𝛼 𝛽 c o s s e n , 𝐸 = 𝛽 𝛼 c o s s e n , 𝐹 = 𝛽 𝛼 c o s c o s

Escrevendo 𝐴 e 𝐡 em termos de 𝐢 , 𝐷 , 𝐸 , e 𝐹 , encontre expressΓ΅es para c o s ( 𝛼 + 𝛽 ) e s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) em termos de c o s 𝛼 , c o s 𝛽 , s e n 𝛼 , e s e n 𝛽 .

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , s e n c o s s e n s e n c o s ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • B c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛼 , s e n c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛼
  • C c o s c o s s e n c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , s e n s e n s e n s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • D c o s c o s c o s s e n s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , s e n c o s s e n s e n c o s ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽

Q15:

Utilizando a relação t g s e n c o s πœƒ = πœƒ πœƒ , encontre uma expressΓ£o para t g ( 𝛼 + 𝛽 ) em termos de t g 𝛼 e t g 𝛽 que se verifica quando ( 𝛼 + 𝛽 ) β‰  πœ‹ 2 + πœ‹ 𝑛 .

  • A t g t g t g t g t g ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛽 1 + 𝛼 𝛽
  • B t g t g t g t g t g ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 βˆ’ 𝛽 1 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • C t g t g t g t g t g ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛽 1 + 𝛼 𝛽
  • D t g t g t g t g t g ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛽 1 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • E t g t g t g t g t g ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 + 𝛽 𝛼 βˆ’ 𝛽

Q16:

Simplifique t g t g t g t g 1 5 9 βˆ’ 1 1 4 1 + 1 5 9 1 1 4 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A s e n 2 ∘ 4 5
  • B t g 2 7 3 ∘
  • C t g 2 ∘ 2 7 3
  • D t g 4 5 ∘

Q17:

Simplifique t g t g t g t g 1 5 6 βˆ’ 4 3 1 + 1 5 6 4 3 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A s e n 2 ∘ 1 1 3
  • B t g 1 9 9 ∘
  • C t g 2 ∘ 1 9 9
  • D t g 1 1 3 ∘

Q18:

Simplifique t g t g t g t g 1 6 7 βˆ’ 1 0 2 1 + 1 6 7 1 0 2 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A s e n 2 ∘ 6 5
  • B t g 2 6 9 ∘
  • C t g 2 ∘ 2 6 9
  • D t g 6 5 ∘

Q19:

Simplifique t g t g t g t g 2 2 βˆ’ 1 6 1 + 2 2 1 6 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A s e n 2 ∘ 6
  • B t g 3 8 ∘
  • C t g 2 ∘ 3 8
  • D t g 6 ∘