Atividade: Ângulos entre Duas Retas no Espaço

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar o ângulo entre duas retas no espaço.

Q1:

Uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐴(2,2,3) e 𝐵(6,4,5), e uma reta 𝐿passa pelos dois pontos 𝐶(1,4,1) e 𝐷(9,6,9). Encontre a medida do ângulo entre as duas retas, dando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

Q2:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre a reta 𝑥+12=𝑦24=𝑧+25 e o sentido positivo de O𝑥.

  • A 6 2 2 4 6
  • B 7 2 3 9 1 4
  • C 8 3 5 6 5 7
  • D 7 5 2 1 2

Q3:

Determine, para o segundo mais próximo, a medida do ângulo entre as duas retas que têm razões de direção de (4,3,4) e (3,3,1).

  • A 6 3 3 6 3
  • B 2 6 2 3 5 7
  • C 8 8 9 3 9
  • D 8 7 5 6 4 8

Q4:

Encontre a medida do ângulo entre a reta 𝑥=1, 𝑦=2 e a reta 𝑦=1, 𝑧=0.

Q5:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre as duas retas 2𝑥=4𝑦=3𝑧 e 4𝑥=5𝑦=2𝑧.

  • A 1 3 4 3 2 1
  • B 7 6 1 6 3 9
  • C 2 9 5 3 9
  • D 6 0 6 5 1

Q6:

Encontre a medida do ângulo entre as duas linhas retas 𝐿=58𝑡, 𝑦=34𝑡, 𝑧=5+6𝑡 e 𝐿𝑥53=𝑦+56=𝑧22, e arredonde-o ao segundo mais próximo.

  • A 8 0 5 0 2 9
  • B 8 1 3 6 3 7
  • C 4 7 3 1 2 5
  • D 9 9 9 3 0

Q7:

Encontre a medida do ângulo entre as duas linhas retas cujos cossenos de direção são 3132,9112,372 e 10132,8132,982. Dê sua resposta para o segundo mais próximo.

  • A 1 2 5 3 3 4 1
  • B 7 0 4 4 2 9
  • C 5 4 2 6 1 8
  • D 6 0 2 8 2 6

Q8:

Encontre a medida do ângulo entre as duas retas 𝑟=27,23,1+𝑡27,43,95 e 6𝑥27=4𝑦36=38𝑧5.

  • A 4 0 2 3 3
  • B 3 1 5 3 4 8
  • C 1 3 9 5 7 2 6
  • D 2 0 1 4

Q9:

Se 𝐿𝑥=0, 𝑦=𝑧 e 𝐿𝑦=0, 𝑥=𝑧, então encontre o valor de 𝜃.

Q10:

Dado que uma reta passa pela origem e pelo ponto (4,1,2), determine o valor exato de cos𝜃.

Observe que 𝜃 é a medida do ângulo entre a reta e a direção positiva do eixo 𝑧.

  • A 4 2 1 2 1
  • B 2 1 2 1
  • C 4 2 1 2 1
  • D 2 2 1 2 1

Q11:

Se uma reta faz ângulos de direção de medidas 60 com o eixo 𝑦 e 60 com o eixo 𝑧, então encontre o ângulo de direção que ela faz com o eixo 𝑥.

Q12:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre a reta 𝑥+12=𝑦13=𝑧+44 e o sentido positivo de O𝑥.

  • A 6 8 1 1 5 5
  • B 7 1 1 4 1 8
  • C 8 2 2 7 1 8
  • D 2 3 1 1 5 5

Q13:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre a reta 𝑥+52=𝑦14=𝑧21 e o sentido positivo de O𝑥.

  • A 7 1 2 4 5 0
  • B 5 0 5 7 1 5
  • C 6 4 7 2 4
  • D 6 2 2 5 3 0

Q14:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre as duas retas 5𝑥=𝑦=3𝑧 e 3𝑥=3𝑦=4𝑧.

  • A 1 8 4 0 3 8
  • B 7 1 1 9 2 2
  • C 4 4 5 6
  • D 4 5 5 4 5 4

Q15:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre as duas retas 𝑥=2𝑦=3𝑧 e 5𝑥=5𝑦=𝑧.

  • A 3 1 2 9 2 8
  • B 5 8 3 0 3 2
  • C 4 7 3 9 7
  • D 4 2 2 0 5 3

Q16:

Uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐴(6,5,4) e 𝐵(8,7,8), e uma reta 𝐿passa pelos dois pontos 𝐶(6,1,5) e 𝐷(8,3,7). Encontre a medida do ângulo entre as duas retas, dando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

Q17:

Uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐴(5,1,9) e 𝐵(7,3,1), e uma reta 𝐿passa pelos dois pontos 𝐶(1,7,6) e 𝐷(3,9,2). Encontre a medida do ângulo entre as duas retas, dando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

Q18:

Qual das seguintes opções fornece os cossenos de direção de uma reta?

  • A 1 3 , 1 3 , 1 3
  • B ( 3 , 3 , 3 )
  • C ( 1 , 5 , 1 , 5 , 1 , 5 )
  • D ( 1 , 1 , 1 )
  • E ( 1 , 1 , 1 )

Q19:

Sabendo que 𝑙, 𝑚 e 𝑛 são os ângulos diretores de uma reta, determine o valor de 𝑙+𝑚+𝑛.

Q20:

Se os ângulos de direção de uma reta são 𝑎, 𝑎, e 𝑎, em seguida, encontre o valor de coscoscos2𝑎+2𝑎+2𝑎.

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