Atividade: Ângulos entre Duas Retas no Espaço

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar o ângulo entre duas retas no espaço.

Q1:

Uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐴 ( 2 , 2 , 3 ) e 𝐵 ( 6 , 4 , 5 ) , e uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐶 ( 1 , 4 , 1 ) e 𝐷 ( 9 , 6 , 9 ) . Encontre a medida do ângulo entre as duas retas, dando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

Q2:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre a reta 𝑥 + 1 2 = 𝑦 2 4 = 𝑧 + 2 5 e o sentido positivo de O 𝑥 .

  • A 7 5 2 1 2
  • B 6 2 2 4 6
  • C 8 3 5 6 5 7
  • D 7 2 3 9 1 4

Q3:

Determine, para o segundo mais próximo, a medida do ângulo entre as duas retas que têm razões de direção de ( 4 , 3 , 4 ) e ( 3 , 3 , 1 ) .

  • A 8 8 9 3 9
  • B 6 3 3 6 3
  • C 8 7 5 6 4 8
  • D 2 6 2 3 5 7

Q4:

Encontre a medida do ângulo entre a reta 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 e a reta 𝑦 = 1 , 𝑧 = 0 .

Q5:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre as duas retas 2 𝑥 = 4 𝑦 = 3 𝑧 e 4 𝑥 = 5 𝑦 = 2 𝑧 .

  • A 6 0 6 5 1
  • B 1 3 4 3 2 1
  • C 2 9 5 3 9
  • D 7 6 1 6 3 9

Q6:

Encontre a medida do ângulo entre as duas linhas retas 𝐿 = 5 8 𝑡 , 𝑦 = 3 4 𝑡 , 𝑧 = 5 + 6 𝑡 e 𝐿 𝑥 5 3 = 𝑦 + 5 6 = 𝑧 2 2 , e arredonde-o ao segundo mais próximo.

  • A 9 9 9 3 0
  • B 4 7 3 1 2 5
  • C 8 1 3 6 3 7
  • D 8 0 5 0 2 9

Q7:

Encontre a medida do ângulo entre as duas linhas retas cujos cossenos de direção são 3 1 3 2 , 9 1 1 2 , 3 7 2 e 1 0 1 3 2 , 8 1 3 2 , 9 8 2 . Dê sua resposta para o segundo mais próximo.

  • A 6 0 2 8 2 6
  • B 1 2 5 3 3 4 1
  • C 7 0 4 4 2 9
  • D 5 4 2 6 1 8

Q8:

Encontre a medida do ângulo entre as duas retas 𝑟 = 2 7 , 2 3 , 1 + 𝑡 2 7 , 4 3 , 9 5 e 6 𝑥 2 7 = 4 𝑦 3 6 = 3 8 𝑧 5 .

  • A 1 3 9 5 7 2 6
  • B 3 1 5 3 4 8
  • C 2 0 1 4
  • D 4 0 2 3 3

Q9:

Se 𝐿 𝑥 = 0 , 𝑦 = 𝑧 e 𝐿 𝑦 = 0 , 𝑥 = 𝑧 , então encontre o valor de 𝜃 .

Q10:

Dado que uma reta passa pela origem e pelo ponto ( 4 , 1 , 2 ) , determine o valor exato de c o s 𝜃 .

Observe que 𝜃 é a medida do ângulo entre a reta e a direção positiva do eixo 𝑧 .

  • A 2 1 2 1
  • B 4 2 1 2 1
  • C 4 2 1 2 1
  • D 2 2 1 2 1

Q11:

Se uma reta faz ângulos de direção de medidas 6 0 com o eixo 𝑦 e 6 0 com o eixo 𝑧 , então encontre o ângulo de direção que ela faz com o eixo 𝑥 .

Q12:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre a reta 𝑥 + 1 2 = 𝑦 1 3 = 𝑧 + 4 4 e o sentido positivo de O 𝑥 .

  • A 7 1 1 4 1 8
  • B 2 3 1 1 5 5
  • C 8 2 2 7 1 8
  • D 6 8 1 1 5 5

Q13:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre a reta 𝑥 + 5 2 = 𝑦 1 4 = 𝑧 2 1 e o sentido positivo de O 𝑥 .

  • A 5 0 5 7 1 5
  • B 7 1 2 4 5 0
  • C 6 2 2 5 3 0
  • D 6 4 7 2 4

Q14:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre as duas retas 5 𝑥 = 𝑦 = 3 𝑧 e 3 𝑥 = 3 𝑦 = 4 𝑧 .

  • A 4 5 5 4 5 4
  • B 1 8 4 0 3 8
  • C 4 4 5 6
  • D 7 1 1 9 2 2

Q15:

Determine, arredondando aos segundos, a medida do ângulo entre as duas retas 𝑥 = 2 𝑦 = 3 𝑧 e 5 𝑥 = 5 𝑦 = 𝑧 .

  • A 4 7 3 9 7
  • B 3 1 2 9 2 8
  • C 4 2 2 0 5 3
  • D 5 8 3 0 3 2

Q16:

Uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐴 ( 6 , 5 , 4 ) e 𝐵 ( 8 , 7 , 8 ) , e uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐶 ( 6 , 1 , 5 ) e 𝐷 ( 8 , 3 , 7 ) . Encontre a medida do ângulo entre as duas retas, dando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

Q17:

Uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐴 ( 5 , 1 , 9 ) e 𝐵 ( 7 , 3 , 1 ) , e uma reta 𝐿 passa pelos dois pontos 𝐶 ( 1 , 7 , 6 ) e 𝐷 ( 3 , 9 , 2 ) . Encontre a medida do ângulo entre as duas retas, dando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

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