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Atividade: Encontrando os Pontos Estacionários de Duas Funções Variáveis

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar os máximos e mínimos locais de funções com mais de uma variável, utilizando testes com primeira e segunda derivadas.

Q1:

Determine todos os máximos e mínimos da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 − 3 𝑥 + 𝑦 3 2 .

  • Amáximo local em ( 1 , 0 ) , ponto sela em ( − 1 , 0 )
  • Bmínimo local em ( 0 , 1 ) , ponto sela em ( 0 , − 1 )
  • Cmáximo local em ( 0 , 1 ) , ponto sela em ( 0 , − 1 )
  • Dmínimo local em ( 1 , 0 ) , ponto sela em ( − 1 , 0 )
  • Emínimo local em ( − 1 , 0 ) , ponto sela em ( 1 , 0 )

Q2:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 2 𝑦 , indicando se são máximos, mínimos ou pontos sela.

  • Amínimo local em ( 1 , 2 )
  • Bmáximo local em ( 1 , 2 )
  • Cponto sela em ( 1 , 2 )
  • DA função não tem pontos estacionários.

Q3:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 4 𝑥 − 4 𝑥 𝑦 + 2 𝑦 + 1 0 𝑥 − 6 𝑦 2 2 , indicando se são mínimos, máximos ou pontos sela.

  • A 1 , − 1 2 é um ponto de mínimo local.
  • B − 1 , 1 2 é um ponto de mínimo local.
  • C − 1 , 1 2 é um ponto sela.
  • D − 1 , 1 2 é um ponto de máximo local.
  • E 1 , − 1 2 é um ponto de máximo local.

Q4:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 − 3 𝑥 + 𝑦 − 3 𝑦 3 3 .

  • A ( − 1 , − 1 ) é um ponto de mínimo local, ( 1 , 1 ) é um ponto de máximo local, e ( 1 , − 1 ) e ( − 1 , 1 ) são pontos sela.
  • B ( − 1 , − 1 ) é um ponto de mínimo local, ( 1 , 1 ) é um ponto de máximo local, e ( − 1 , 1 ) e ( 1 , − 1 ) são pontos sela.
  • C ( 1 , 1 ) e ( − 1 , 1 ) são pontos de mínimo local, ( − 1 , − 1 ) são pontos de máximo local, e ( 1 , − 1 ) é um ponto sela.
  • D ( 1 , 1 ) é um ponto de mínimo local, ( − 1 , − 1 ) é um ponto de máximo local, e ( 1 , − 1 ) e ( − 1 , 1 ) são pontos sela.
  • E ( 1 , 1 ) é um ponto de mínimo local, ( − 1 , − 1 ) e ( 1 , − 1 ) são pontos de máximo local, e ( − 1 , 1 ) é um ponto sela.

Q5:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = − 4 𝑥 + 4 𝑥 𝑦 − 2 𝑦 + 1 6 𝑥 − 1 2 𝑦 , indicando se são mínimos, máximos ou pontos sela.

  • A ( 1 , − 2 ) um ponto sela.
  • B ( 1 , − 2 ) é um ponto de mínimo local.
  • C ( − 1 , 2 ) é um ponto de máximo local.
  • D ( 1 , − 2 ) é um ponto de máximo local.
  • E ( − 1 , 2 ) é um ponto de mínimo local.

Q6:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 2 𝑥 − 6 𝑥 𝑦 + 𝑦 3 2 , indicado se são mínimos, máximos ou pontos sela.

  • A ( 0 , 0 ) e ( 3 , 9 ) são pontos de mínimo local.
  • B ( 0 , 0 ) e ( 3 , 9 ) são pontos de máximo local.
  • C ( 0 , 0 ) é um ponto de máximo local e ( 3 , 9 ) é um ponto sela.
  • D ( 3 , 9 ) é um ponto de mínimo local e ( 0 , 0 ) é um ponto sela.
  • E ( 0 , 0 ) e ( 3 , 9 ) são pontos sela.

Q7:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 2 𝑥 + 6 𝑥 𝑦 + 3 𝑦 3 2 , indicando se são mínimos, máximos ou pontos sela.

  • A ( 0 , 0 ) é um pontos de mínimo local e ( 1 , − 1 ) é um ponto sela.
  • B ( 1 , − 1 ) é um ponto de máximo local e ( 0 , 0 ) é um ponto sela.
  • C ( 0 , 0 ) é um ponto de máximo local e ( 1 , − 1 ) é um ponto sela.
  • D ( 1 , − 1 ) é um ponto de mínimo local e ( 0 , 0 ) é um ponto sela.
  • E ( − 1 , 1 ) é um ponto de mínimo local ( 0 , 0 ) é um ponto sela.

Q8:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 − 1 2 𝑥 + 𝑦 + 8 𝑦 3 2 , indicando se são mínimos, máximos ou pontos sela.

  • A ( 2 , − 4 ) é um ponto de mínimo local e ( − 2 , − 4 ) é um ponto sela.
  • B ( − 4 , 2 ) é um ponto de mínimo local e ( − 4 , − 2 ) é um ponto sela.
  • C ( − 4 , 2 ) é um ponto de mínimo local e ( − 4 , − 2 ) é um ponto sela.
  • D ( 2 , − 4 ) é um ponto de mínimo local e ( − 2 , − 4 ) é um ponto sela.
  • E ( − 2 , − 4 ) é um ponto de mínimo local e ( 2 , − 4 ) é um ponto sela.

Q9:

Determine todos os pontos estacionários da função 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 𝑥 + 3 𝑥 + 𝑦 − 3 𝑦 3 2 3 2 , indicando se são mínimos, máximos ou pontos sela.

  • A ( − 2 , 0 ) é um ponto de mínimo local, ( 0 , 2 ) é um ponto de máximo local e ( 0 , 0 ) e ( − 2 , 2 ) são pontos sela.
  • B ( 0 , 2 ) é um ponto de mínimo local, ( 2 , 0 ) é um ponto de máximo local e ( 0 , 0 ) e ( 1 , 1 ) são pontos sela.
  • C ( 0 , 2 ) e ( − 2 , 2 ) são pontos de mínimo local, ( − 2 , 0 ) é um ponto de máximo local e ( 0 , 0 ) é um ponto sela.
  • D ( 0 , 2 ) é um ponto de mínimo local, ( − 2 , 0 ) é um ponto de máximo local e ( 0 , 0 ) e ( − 2 , 2 ) são pontos sela.
  • E ( 0 , 2 ) é um ponto de mínimo local, ( − 2 , 0 ) e ( 0 , 0 ) são pontos de máximo local e ( − 2 , 2 ) é um ponto sela.

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