Atividade: Aplicações da Integral Indefinida

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Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a equação de uma curva dada a função que descreve a inclinação de sua tangente.

Q1:

O declive no ponto (𝑥,𝑦) no gráfico de uma função é 6𝑒+2. Qual a expressão 𝑓(𝑥), sabendo que 𝑓(5)=1ln?

  • A 6 𝑒 + 2 𝑥 − 2 9 − 2 5 l n
  • B 6 𝑒 + 2 𝑥 − 2 5 + 1 l n
  • C 6 𝑒 + 2 𝑥 + 2 5 + 3 1 l n
  • D 6 𝑒 + 2 𝑥 + 1 + 2 5 l n

Q2:

A área 𝐴 de uma lâmina varia a uma taxa de dd𝐴𝑡=𝑒 cm2/s, começando com uma área de 60 cm2. Apresente uma expressão exata para a área da lâmina após 30 segundos.

  • A 1 0 7 𝑒 + 4 1 0 7 cm2
  • B − 1 0 7 𝑒 + 4 3 0 7 cm2
  • C 𝑒 + 5 9 cm2
  • D − 1 0 7 𝑒 + 4 1 0 7 cm2

Q3:

Uma curva passa por (0,1) e a tangente em seu ponto (𝑥,𝑦) tem coeficiente angular 6𝑥√8𝑥+1. Qual é a equação da curva?

  • A 𝑦 = 1 3 2 8 𝑥 + 1 + 3 1 3 2
  • B 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 3 4
  • C 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 5 4
  • D 𝑦 = 3 1 6 8 𝑥 + 1 + 1 3 1 6

Q4:

O gradiente da tangente a uma curva é −6𝑥+6𝑥sencos. Para 𝑥∈0,𝜋3, a curva tem um valor mínimo local de −46√29. Encontre a equação da curva.

  • A 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 − 8 9 √ 2 1 8 s e n c o s
  • B 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 − 9 5 √ 2 1 8 s e n c o s
  • C 𝑦 = − 1 6 6 𝑥 − 1 6 6 𝑥 − 9 5 √ 2 1 8 s e n c o s
  • D 𝑦 = − 1 6 6 𝑥 − 1 6 6 𝑥 − 8 9 √ 2 1 8 s e n c o s

Q5:

Determine a equação da curva que passa pelo ponto (0,0) e, para cada ponto (𝑎,𝑏) na curva, o declive da reta tangente a este ponto é −3𝑥√𝑥.

  • A 𝑦 = − 6 2 𝑥 3
  • B 𝑦 = − 2 7 𝑥 6 2
  • C 𝑦 = 6 2 𝑥 9
  • D 𝑦 = − 8 𝑥 1 9

Q6:

O gradiente da tangente a uma curva passando pelo ponto (9,4) é igual a √𝑥(5𝑥+3). Encontre a equação da tangente no ponto em que 𝑥 é igual a 1.

  • A 𝑦 − 8 𝑥 + 5 4 0 = 0
  • B 𝑥 + 4 2 5 5 + 8 𝑦 = 0
  • C 𝑦 + 8 𝑥 + 5 2 4 = 0
  • D − 𝑥 + 4 2 5 5 − 8 𝑦 = 0

Q7:

O coeficiente angular no ponto (𝑥,𝑦) no gráfico de uma função é 5𝑥−2𝑥. Encontre a equação da curva se ela contém o ponto (𝑒,5𝑒+3).

  • A 5 𝑥 − 2 | 𝑥 | + 5 l n
  • B 1 0 𝑒 + 5 𝑥 − 2 | 𝑥 | + 1 l n
  • C 5 𝑥 + 5 − 2 | 𝑥 | l n
  • D 5 𝑥 − 2 | 𝑥 | + 1 l n

Q8:

A inclinação no ponto (𝑥,𝑦) no gráfico de uma função é ddsencos𝑦𝑥=−4𝜋𝜋𝑥+5𝜋𝜋𝑥. Encontre a equação da curva se ela contém o ponto (1,2).

  • A 𝑦 = 5 𝜋 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝜋 𝑥 + 6 s e n c o s
  • B 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 − 4 𝜋 𝑥 + 6 s e n c o s
  • C 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝑥 + 6 s e n c o s
  • D 𝑦 = 5 𝜋 𝑥 + 4 𝜋 𝑥 − 2 s e n c o s

Q9:

A segunda derivada de uma curva é −273𝑥+8sen. A curva passa pelo ponto 𝜋6,−4𝜋3+𝜋9+6 e o gradiente da tangente neste ponto é −8+4𝜋3. Encontre a equação da curva.

  • A 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 9 3 𝑥 + 3 s e n
  • B 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 3 3 𝑥 + 3 s e n
  • C 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 3 3 𝑥 − 3 s e n
  • D 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 9 3 𝑥 − 3 s e n

Q10:

Determine a equação da curva dado o gradiente da tangente ser 5𝑥2sen e a curva passar pela origem.

  • A 𝑦 = 5 𝑥 − 5 𝑥 s e n
  • B 𝑦 = 5 𝑥 2 c o s
  • C 𝑦 = − 5 3 𝑥 2 s e n
  • D 𝑦 = 5 2 𝑥 − 5 2 𝑥 s e n

Q11:

Um gráfico passa pelos pontos 𝜋4,8 e 3𝜋4,−6. Determine a expressão algébrica para o gráfico sabendo que o declive da reta que lhe é tangente é igual a −7(𝑥)cossec.

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c o t g
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = − 7 𝑥 + 1 c o t g
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c o s s e c
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = − 7 𝑥 + 1 t g
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = − 7 𝑥 + 1 c o s s e c

Q12:

A inclinação no ponto (𝑥,𝑦) no gráfico de uma função é −3𝑒. Quanto é 𝑓(−3), dado que 𝑓(−5)=9?

  • A 9 − 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒
  • B 9 − 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒
  • C 9 − 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒
  • D 9 − 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒

Q13:

Dado que o coeficiente angular em (𝑥,𝑦) é 3𝑒 e 𝑓(0)=−3, determine 𝑓(−3).

  • A − 4 + 3 𝑒
  • B − 4 + 1 𝑒
  • C − 4 + 9 𝑒
  • D − 4 + 1 𝑒

Q14:

Uma curva passa por (1,8) e a normal no seu ponto (𝑥,𝑦) tem coeficiente angular 8−9𝑥. Qual é a equação da curva?

  • A 𝑦 = − 8 𝑥 + 9 2 𝑥 + 2 3 2
  • B 𝑦 = 1 9 | 8 − 9 𝑥 | + 8 l n
  • C 𝑦 = 8 𝑥 − 9 2 𝑥 + 9 2
  • D 𝑦 = − 1 9 | 8 − 9 𝑥 | + 8 l n

Q15:

A inclinação no ponto (𝑥,𝑓(𝑥)) no gráfico de uma função é 4−5𝑒+4𝑥. Quanto é 𝑓(4𝑒) se sabemos que 𝑓(𝑒)=−9?

  • A − 1 0 + 1 1 1 𝑒 l n
  • B l n 1 1 𝑒 − 1 0
  • C 4 1 6 𝑒 − 6 6 5 l n
  • D − 6 4 𝑒 5 − 1 0 + 4 1 6 𝑒 l n

Q16:

Determine a equação da curva sabendo que o gradiente da normal à curva é √2𝑥−2 e a curva passa pelo ponto (1,6).

  • A 𝑦 = − √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • B 𝑦 = − 1 2 √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • C 𝑦 = − 1 4 √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • D 𝑦 = 2 √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • E 𝑦 = 1 3 √ 2 𝑥 − 2 + 6

Q17:

Encontre a equação da curva que passa pelo ponto (−2,1) dado que o gradiente da tangente à curva é −11𝑥.

  • A 𝑦 = − 1 1 𝑥 + 9
  • B 𝑦 = − 1 1 3 𝑥 + C
  • C 𝑦 = − 1 1 3 𝑥 − 8 5 3
  • D 𝑦 = − 1 1 3 𝑥 + 4 7 3

Q18:

Determine o valor do mínimo local de uma curva sabendo que o seu gradiente é dd𝑦𝑥=𝑥+3𝑥−18 e o valor do máximo local é 21.

Q19:

O gradiente da tangente a uma curva é dd𝑦𝑥=𝑥−14𝑥+45 onde o valor do máximo local é 9. Encontre a equação da curva e o valor do mínimo local, se existir.

  • A 𝑦 = 𝑥 3 − 7 𝑥 + 4 5 𝑥 , 9
  • B 𝑦 = 𝑥 − 5 𝑥 + 9 , − 5 4 5 3
  • C 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 + 4 5 , 5
  • D 𝑦 = 𝑥 3 − 7 𝑥 + 4 5 𝑥 − 2 4 8 3 , − 5 3

Q20:

Se a taxa de variação das vendas em uma fábrica for inversamente proporcional ao tempo em semanas, e as vendas da fábrica depois de 2 semanas e 4 semanas são 118 unidades e 343 unidades, respectivamente, determine as vendas da fábrica após 8 semanas.

Q21:

A inclinação no ponto (𝑥,𝑦) no gráfico de uma função é ddsencos𝑦𝑥=𝑥𝑥. Encontre a equação da curva se ela contém o ponto 𝜋3,7.

  • A 𝑦 = 1 4 2 𝑥 + 5 5 8 c o s
  • B 𝑦 = − 1 2 2 𝑥 + 2 9 4 c o s
  • C 𝑦 = − 1 4 2 𝑥 + 5 5 8 c o s
  • D 𝑦 = − 1 4 2 𝑥 + 5 7 8 c o s
  • E 𝑦 = − 1 2 2 𝑥 + 2 7 4 c o s

Q22:

Encontre a equação da curva dada a inclinação da tangente à curva em seu ponto (𝑥,𝑦) é cossec𝑥−9𝑥 e passa pelo ponto 𝜋4,√22.

  • A 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 − 9 s e n t g
  • B 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 − 1 − √ 2 2 s e n t g
  • C 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 + 9 s e n t g
  • D 𝑦 = − 𝑥 − 9 𝑥 + √ 2 2 + 1 7 s e n t g

Q23:

Encontre a equação da curva dados 𝑦′′=65𝑥cos e a equação da tangente à curva em (0,5) é 𝑦=𝑥+5.

  • A 𝑦 = 𝑥 − 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • B 𝑦 = 𝑥 + 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • C 𝑦 = 5 𝑥 − 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • D 𝑦 = 𝑥 + 6 5 5 𝑥 + 1 9 5 c o s

Q24:

Uma curva passa por (0,1) e a tangente em seu ponto (𝑥,𝑦) tem coeficiente angular 𝑥√3𝑥+4. Qual é a equação da curva?

  • A 𝑦 = 2 9 3 𝑥 + 4 − 7 9
  • B 𝑦 = 1 9 3 𝑥 + 4 + 1 7 9
  • C 𝑦 = 1 9 3 𝑥 + 4 + 1 9
  • D 𝑦 = 1 2 7 3 𝑥 + 4 + 1 9 2 7

Q25:

Se a taxa de variação da área 𝐴 de uma placa metálica, em ordem ao tempo, devido ao aquecimento é dada pela expressão dd𝐴𝑡=0,036𝑡+0,038𝑡, em que a área 𝐴 é em metros quadrados e o tempo 𝑡 é em minutos, sabendo que 𝐴=67m quando 𝑡=8minutos, determine, arredondado a duas casas decimais, a área da placa um pouco antes do aquecimento.

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