Atividade: Aplicações da Integral Indefinida

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Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a equação de uma curva dada a função que descreve a inclinação de sua tangente.

Q1:

O declive no ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) no gráfico de uma função é 6 𝑒 + 2 𝑥 . Qual a expressão 𝑓 ( 𝑥 ) , sabendo que 𝑓 ( 5 ) = 1 l n ?

  • A 6 𝑒 + 2 𝑥 − 2 5 + 1 𝑥 l n
  • B 6 𝑒 + 2 𝑥 + 2 5 + 3 1 𝑥 l n
  • C 6 𝑒 + 2 𝑥 + 1 + 2 5 𝑥 l n
  • D 6 𝑒 + 2 𝑥 − 2 9 − 2 5 𝑥 l n

Q2:

A área 𝐴 de uma lâmina varia a uma taxa de d d 𝐴 𝑡 = 𝑒 − 0 , 7 𝑡 cm2/s, começando com uma área de 60 cm2. Apresente uma expressão exata para a área da lâmina após 30 segundos.

  • A 𝑒 + 5 9 − 2 1 cm2
  • B 1 0 7 𝑒 + 4 1 0 7 − 2 1 cm2
  • C − 1 0 7 𝑒 + 4 1 0 7 − 2 1 cm2
  • D − 1 0 7 𝑒 + 4 3 0 7 − 2 1 cm2

Q3:

Uma curva passa por ( 0 , 1 ) e a tangente em seu ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) tem coeficiente angular 6 𝑥 √ 8 𝑥 + 1 . Qual é a equação da curva?

  • A 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 5 4
  • B 𝑦 = 1 3 2 8 𝑥 + 1 + 3 1 3 2
  • C 𝑦 = 3 1 6 8 𝑥 + 1 + 1 3 1 6
  • D 𝑦 = 1 4 8 𝑥 + 1 + 3 4

Q4:

O gradiente da tangente a uma curva é − 6 𝑥 + 6 𝑥 s e n c o s . Para 𝑥 ∈ 0 , 𝜋 3 , a curva tem um valor mínimo local de − 4 6 √ 2 9 . Encontre a equação da curva.

  • A 𝑦 = − 1 6 6 𝑥 − 1 6 6 𝑥 − 9 5 √ 2 1 8 s e n c o s
  • B 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 − 9 5 √ 2 1 8 s e n c o s
  • C 𝑦 = − 1 6 6 𝑥 − 1 6 6 𝑥 − 8 9 √ 2 1 8 s e n c o s
  • D 𝑦 = 1 6 6 𝑥 + 1 6 6 𝑥 − 8 9 √ 2 1 8 s e n c o s

Q5:

Determine a equação da curva que passa pelo ponto ( 0 , 0 ) e, para cada ponto ( 𝑎 , 𝑏 ) na curva, o declive da reta tangente a este ponto é − 3 𝑥 √ 𝑥 .

  • A 𝑦 = − 6 2 𝑥 3
  • B 𝑦 = − 8 𝑥 1 9
  • C 𝑦 = 6 2 𝑥 9
  • D 𝑦 = − 2 7 𝑥 6 2

Q6:

O coeficiente angular no ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) no gráfico de uma função é 5 𝑥 − 2 𝑥 . Encontre a equação da curva se ela contém o ponto ( 𝑒 , 5 𝑒 + 3 ) .

  • A 5 𝑥 − 2 | 𝑥 | + 1 l n
  • B 5 𝑥 + 5 − 2 | 𝑥 | l n
  • C 1 0 𝑒 + 5 𝑥 − 2 | 𝑥 | + 1 l n
  • D 5 𝑥 − 2 | 𝑥 | + 5 l n

Q7:

A segunda derivada de uma curva é − 2 7 3 𝑥 + 8 s e n . A curva passa pelo ponto 𝜋 6 , − 4 𝜋 3 + 𝜋 9 + 6 e o gradiente da tangente neste ponto é − 8 + 4 𝜋 3 . Encontre a equação da curva.

  • A 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 9 3 𝑥 + 3 s e n
  • B 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 3 3 𝑥 − 3 s e n
  • C 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 9 3 𝑥 − 3 s e n
  • D 𝑦 = 4 𝑥 − 8 𝑥 + 3 3 𝑥 + 3 s e n

Q8:

Determine a equação da curva dado o gradiente da tangente ser 5 𝑥 2 s e n e a curva passar pela origem.

  • A 𝑦 = 5 𝑥 − 5 𝑥 s e n
  • B 𝑦 = 5 𝑥 2 c o s
  • C 𝑦 = − 5 3 𝑥 2 s e n
  • D 𝑦 = 5 2 𝑥 − 5 2 𝑥 s e n

Q9:

Um gráfico passa pelos pontos 𝜋 4 , 8 e 3 𝜋 4 , − 6 . Determine a expressão algébrica para o gráfico sabendo que o declive da reta que lhe é tangente é igual a − 7 ( 𝑥 ) c o s s e c .

  • A 𝑓 ( 𝑥 ) = − 7 𝑥 + 1 c o s s e c
  • B 𝑓 ( 𝑥 ) = − 7 𝑥 + 1 t g
  • C 𝑓 ( 𝑥 ) = − 7 𝑥 + 1 c o t g
  • D 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c o t g
  • E 𝑓 ( 𝑥 ) = 7 𝑥 + 1 c o s s e c

Q10:

A inclinação no ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) no gráfico de uma função é − 3 𝑒 . Quanto é 𝑓 ( − 3 ) , dado que 𝑓 ( − 5 ) = 9 ?

  • A 9 − 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒
  • B 9 − 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒
  • C 9 − 1 8 𝑒 + 1 2 𝑒
  • D 9 − 1 2 𝑒 + 1 2 𝑒

Q11:

Dado que o coeficiente angular em ( 𝑥 , 𝑦 ) é 3 𝑒 e 𝑓 ( 0 ) = − 3 , determine 𝑓 ( − 3 ) .

  • A − 4 + 9 𝑒
  • B − 4 + 3 𝑒
  • C − 4 + 1 𝑒
  • D − 4 + 1 𝑒

Q12:

Uma curva passa por ( 1 , 8 ) e a normal no seu ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) tem coeficiente angular 8 − 9 𝑥 . Qual é a equação da curva?

  • A 𝑦 = 8 𝑥 − 9 2 𝑥 + 9 2
  • B 𝑦 = − 1 9 | 8 − 9 𝑥 | + 8 l n
  • C 𝑦 = − 8 𝑥 + 9 2 𝑥 + 2 3 2
  • D 𝑦 = 1 9 | 8 − 9 𝑥 | + 8 l n

Q13:

A inclinação no ponto ( 𝑥 , 𝑓 ( 𝑥 ) ) no gráfico de uma função é 4 − 5 𝑒 + 4 𝑥 . Quanto é 𝑓 ( 4 𝑒 ) se sabemos que 𝑓 ( 𝑒 ) = − 9 ?

  • A − 6 4 𝑒 5 − 1 0 + 4 1 6 𝑒 l n
  • B 4 1 6 𝑒 − 6 6 5 l n
  • C − 1 0 + 1 1 1 𝑒 l n
  • D l n 1 1 𝑒 − 1 0

Q14:

Determine a equação da curva sabendo que o gradiente da normal à curva é √ 2 𝑥 − 2 e a curva passa pelo ponto ( 1 ; 6 ) .

  • A 𝑦 = − 1 4 √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • B 𝑦 = − 1 2 √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • C 𝑦 = 2 √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • D 𝑦 = − √ 2 𝑥 − 2 + 6
  • E 𝑦 = 1 3 √ 2 𝑥 − 2 + 6

Q15:

Encontre a equação da curva que passa pelo ponto ( − 2 , 1 ) dado que o gradiente da tangente à curva é − 1 1 𝑥 .

  • A 𝑦 = − 1 1 3 𝑥 + C
  • B 𝑦 = − 1 1 3 𝑥 + 4 7 3
  • C 𝑦 = − 1 1 𝑥 + 9
  • D 𝑦 = − 1 1 3 𝑥 − 8 5 3

Q16:

Determine o valor do mínimo local de uma curva sabendo que o seu gradiente é d d 𝑦 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 − 1 8 2 e o valor do máximo local é 21.

Q17:

O gradiente da tangente a uma curva é d d 𝑦 𝑥 = 𝑥 − 1 4 𝑥 + 4 5 2 onde o valor do máximo local é 9. Encontre a equação da curva e o valor do mínimo local, se existir.

  • A 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 + 4 5 2 , 5
  • B 𝑦 = 𝑥 3 − 7 𝑥 + 4 5 𝑥 3 2 , 9
  • C 𝑦 = 𝑥 − 5 𝑥 + 9 2 , − 5 4 5 3
  • D 𝑦 = 𝑥 3 − 7 𝑥 + 4 5 𝑥 − 2 4 8 3 3 2 , − 5 3

Q18:

Encontre a equação da curva dada a inclinação da tangente à curva em seu ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) é c o s s e c 𝑥 − 9 𝑥 e passa pelo ponto 𝜋 4 , √ 2 2 .

  • A 𝑦 = − 𝑥 − 9 𝑥 + √ 2 2 + 1 7 s e n t g
  • B 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 − 1 − √ 2 2 s e n t g
  • C 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 − 9 s e n t g
  • D 𝑦 = 𝑥 − 9 𝑥 + 9 s e n t g

Q19:

Encontre a equação da curva dados 𝑦 ′ ′ = 6 5 𝑥 c o s e a equação da tangente à curva em ( 0 , 5 ) é 𝑦 = 𝑥 + 5 .

  • A 𝑦 = 5 𝑥 − 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • B 𝑦 = 𝑥 + 6 5 5 𝑥 + 1 9 5 c o s
  • C 𝑦 = 𝑥 + 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s
  • D 𝑦 = 𝑥 − 6 2 5 5 𝑥 + 1 3 1 2 5 c o s

Q20:

Uma curva passa por ( 0 , 1 ) e a tangente em seu ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) tem coeficiente angular 4 𝑥 √ 2 𝑥 + 9 . Qual é a equação da curva?

  • A 𝑦 = 2 3 2 𝑥 + 9 + 1 9
  • B 𝑦 = 1 3 2 𝑥 + 9 − 8
  • C 𝑦 = 2 2 𝑥 + 9 − 5 3
  • D 𝑦 = 2 3 2 𝑥 + 9 − 1 7

Q21:

Se a taxa de variação da área 𝐴 de uma placa metálica, em ordem ao tempo, devido ao aquecimento é dada pela expressão d d 𝐴 𝑡 = 0 , 0 3 6 𝑡 + 0 , 0 3 8 𝑡 , em que a área 𝐴 é em metros quadrados e o tempo 𝑡 é em minutos, sabendo que 𝐴 = 6 7 m quando 𝑡 = 8 m i n u t o s , determine, arredondado a duas casas decimais, a área da placa um pouco antes do aquecimento.

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