Atividade: Segundas Derivadas de Equações Paramétricas

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinação de derivadas de ordem superior (d²y/dx²) de equações paramétricas por aplicação da regra em cadeia.

Q1:

Dado que ๐‘ฅ=๐‘ก+5๏Šฉ e ๐‘ฆ=๐‘กโˆ’3๐‘ก๏Šจ, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 2 ( 3 โˆ’ ๐‘ก ) ๐‘ก
  • B 2 ( 3 โˆ’ ๐‘ก ) 9 ๐‘ก ๏Šซ
  • C ๐‘ก 2 ( 3 โˆ’ ๐‘ก )
  • D 2 ( 3 โˆ’ ๐‘ก ) 3 ๐‘ก ( 2 ๐‘ก โˆ’ 3 ) ๏Šฉ
  • E 9 ๐‘ก 2 ( 3 โˆ’ ๐‘ก ) ๏Šซ

Q2:

Dado que ๐‘ฅ=2๐‘’๏Šจ๏ e ๐‘ฆ=๐‘ก๐‘’๏Šฑ๏Šจ๏, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 3 โˆ’ 4 ๐‘ก 8 ๐‘’ ๏Šฌ ๏
  • B 2 ( 4 ๐‘ก โˆ’ 3 )
  • C 4 ๐‘ก โˆ’ 3 8 ๐‘’ ๏Šฌ ๏
  • D 8 ๐‘’ 4 ๐‘ก โˆ’ 3 ๏Šฌ ๏
  • E 2 ( 3 โˆ’ 4 ๐‘ก )

Q3:

Dado que ๐‘ฅ=๐‘ก+1๏Šจ e ๐‘ฆ=๐‘’โˆ’1๏, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 4 ๐‘ก ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๏Šฉ ๏
  • B ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๐‘ก ๏
  • C ๐‘ก โˆ’ 1 2 ๐‘ก ๏Šจ
  • D ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) 4 ๐‘ก ๏ ๏Šฉ
  • E ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) 2 ๐‘ก ๏ ๏Šฉ

Q4:

Dados que dd๐‘ง๐‘ฅ=5๐‘ฅโˆ’6 e dd๐‘ฆ๐‘ฅ=2๐‘ฅโˆ’1๏Šจ, determine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ง๐‘ฆ em ๐‘ฅ=1.

  • A โˆ’ 1 4
  • B โˆ’ 1
  • C14
  • D9

Q5:

Encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ se ๐‘ฅ=โˆ’๐‘’๏Šช๏Š e ๐‘ฆ=โˆ’2๐‘›๏Šช.

  • A ๐‘’ ๐‘› ( โˆ’ 8 ๐‘› + 6 ) ๏Šฑ ๏Šช ๏Š ๏Šจ
  • B 2 ๐‘’ ๐‘› ๏Šฑ ๏Šช ๏Š ๏Šฉ
  • C โˆ’ ๐‘’ ๐‘› ๏Šฑ ๏Šช ๏Š ๏Šจ
  • D ๐‘› 2 ๐‘’ ( 4 ๐‘› โˆ’ 3 ) ๏Šจ ๏Šฑ ๏Šฎ ๏Š

Q6:

Se ๐‘ฅ=25๐‘งsec e โˆš3๐‘ฆ=5๐‘งtg, determine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 1 1 2
  • B 1 3
  • C 1 6
  • D 1 2

Q7:

Se ๐‘ฆ=(๐‘ฅ+4)๏€นโˆ’4๐‘ฅโˆ’1๏…๏Šจ e ๐‘ง=(๐‘ฅโˆ’5)(๐‘ฅ+4), encontre (2๐‘ฅโˆ’1)๐‘ฆ๐‘ง๏Šฉ๏Šจ๏Šจdd.

  • A โˆ’ 2 4 ๐‘ฅ + 2 4 ๐‘ฅ + 3 4 ๏Šจ
  • B โˆ’ 7 2 ๐‘ฅ โˆ’ 1 0 4 ๐‘ฅ + 3 0 ๏Šจ
  • C โˆ’ 9 6 ๐‘ฅ + 1 6 ๐‘ฅ + 1 2 0 ๐‘ฅ โˆ’ 8 4 ๐‘ฅ + 1 6 ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ
  • D โˆ’ 4 8 ๐‘ฅ + 7 2 ๐‘ฅ + 4 4 ๐‘ฅ โˆ’ 3 4 ๏Šฉ ๏Šจ

Q8:

Determine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ, sendo ๐‘ฅ=6๐‘›ln๏Šซ e ๐‘ฆ=โˆ’8๐‘›๏Šฉ.

  • A โˆ’ 2 ๐‘› 2 5 ๏Šฉ
  • B โˆ’ 8 ๐‘› 5 ๏Šฉ
  • C โˆ’ 4 ๐‘› 5 ๏Šฉ
  • D โˆ’ 1 2 ๐‘› 5 ๏Šจ

Q9:

Dado que ๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šฉ e ๐‘ฆ=3๐‘กโˆ’๐‘ก๏Šจ, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 2 ( 1 โˆ’ 3 ๐‘ก ) ๐‘ก
  • B 2 ( 1 โˆ’ 3 ๐‘ก ) 8 1 ๐‘ก ๏Šซ
  • C ๐‘ก 2 ( 1 โˆ’ 3 ๐‘ก )
  • D 2 ( 1 โˆ’ 3 ๐‘ก ) 9 ๐‘ก ( 6 ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๏Šฉ
  • E 8 1 ๐‘ก 2 ( 1 โˆ’ 3 ๐‘ก ) ๏Šซ

Q10:

Dado que ๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šฉ e ๐‘ฆ=5๐‘กโˆ’๐‘ก๏Šจ, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 2 ( 1 โˆ’ 5 ๐‘ก ) ๐‘ก
  • B 2 ( 1 โˆ’ 5 ๐‘ก ) 8 1 ๐‘ก ๏Šซ
  • C ๐‘ก 2 ( 1 โˆ’ 5 ๐‘ก )
  • D 2 ( 1 โˆ’ 5 ๐‘ก ) 9 ๐‘ก ( 1 0 ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๏Šฉ
  • E 8 1 ๐‘ก 2 ( 1 โˆ’ 5 ๐‘ก ) ๏Šซ

Q11:

Dado que ๐‘ฅ=๐‘’๏Šช๏ e ๐‘ฆ=๐‘ก๐‘’๏Šฑ๏Šช๏, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 3 โˆ’ 8 ๐‘ก 4 ๐‘’ ๏Šง ๏Šจ ๏
  • B 4 ( 8 ๐‘ก โˆ’ 3 )
  • C 4 ๐‘’ 8 ๐‘ก โˆ’ 3 ๏Šง ๏Šจ ๏
  • D 4 ( 3 โˆ’ 8 ๐‘ก )
  • E 8 ๐‘ก โˆ’ 3 4 ๐‘’ ๏Šง ๏Šจ ๏

Q12:

Dado que ๐‘ฅ=๐‘ก+4๏Šจ e ๐‘ฆ=3๐‘’โˆ’5๏, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A ๐‘ก โˆ’ 1 2 ๐‘ก ๏Šจ
  • B 3 ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) 2 ๐‘ก ๏ ๏Šฉ
  • C 3 ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) 4 ๐‘ก ๏ ๏Šฉ
  • D 3 ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๐‘ก ๏
  • E 4 ๐‘ก 3 ๐‘’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๏Šฉ ๏

Q13:

Dados que dd๐‘ง๐‘ฅ=โˆ’7๐‘ฅ+7 e dd๐‘ฆ๐‘ฅ=3๐‘ฅโˆ’1๏Šจ, determine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ง๐‘ฆ em ๐‘ฅ=0.

  • A โˆ’ 4 2
  • B โˆ’ 7
  • C42
  • D7

Q14:

Dados que dd๐‘ง๐‘ฅ=โˆ’3๐‘ฅโˆ’8 e dd๐‘ฆ๐‘ฅ=โˆ’2๐‘ฅ+1๏Šจ, determine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ง๐‘ฆ em ๐‘ฅ=โˆ’1.

  • A โˆ’ 2 6
  • B5
  • C26
  • D23

Q15:

Se ๐‘ฅ=44๐‘งsec e โˆš5๐‘ฆ=4๐‘งtg, determine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 1 8 0
  • B 1 1 0
  • C 1 4 0
  • D 1 8

Q16:

Se ๐‘ฅ=64๐‘งsec e โˆš๐‘ฆ=44๐‘งtg, determine dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A 4 9
  • B 2 9
  • C 1 6 3
  • D 8 9

Q17:

Se ๐‘ฆ=(โˆ’๐‘ฅ+2)๏€น3๐‘ฅ+2๏…๏Šจ e ๐‘ง=(โˆ’๐‘ฅ+2)(๐‘ฅ+3), encontre (โˆ’2๐‘ฅโˆ’1)๐‘ฆ๐‘ง๏Šฉ๏Šจ๏Šจdd.

  • A โˆ’ 7 2 ๐‘ฅ โˆ’ 6 0 ๐‘ฅ + 1 8 ๐‘ฅ + 2 7 ๐‘ฅ + 6 ๏Šช ๏Šฉ ๏Šจ
  • B 5 4 ๐‘ฅ โˆ’ 3 0 ๐‘ฅ โˆ’ 8 ๏Šจ
  • C โˆ’ 3 6 ๐‘ฅ โˆ’ 5 4 ๐‘ฅ + 1 4 ๐‘ฅ + 1 6 ๏Šฉ ๏Šจ
  • D 1 8 ๐‘ฅ + 1 8 ๐‘ฅ โˆ’ 1 6 ๏Šจ

Q18:

Dado que ๐‘ฅ=๐‘กcos e ๐‘ฆ=2๐‘กsen, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A โˆ’ ๐‘ก 2 ( 2 ๐‘ก 2 ๐‘ก + ๐‘ก 2 ๐‘ก ) s e n s e n s e n c o s c o s ๏Šฉ
  • B โˆ’ 2 ( 2 ๐‘ก 2 ๐‘ก + ๐‘ก 2 ๐‘ก ) ๐‘ก s e n s e n c o s c o s s e n
  • C โˆ’ 2 ( 2 ๐‘ก 2 ๐‘ก + ๐‘ก 2 ๐‘ก ) ๐‘ก s e n s e n c o s c o s s e n ๏Šฉ
  • D 2 ( 2 ๐‘ก 2 ๐‘ก + ๐‘ก 2 ๐‘ก ) ๐‘ก s e n s e n c o s c o s s e n ๏Šจ
  • E 2 ๐‘ก 2 ๐‘ก + ๐‘ก 2 ๐‘ก ๐‘ก 2 ๐‘ก s e n s e n c o s c o s s e n c o s ๏Šจ

Q19:

Dado que ๐‘ฅ=3๐‘ก+1๏Šจ e ๐‘ฆ=3๐‘ก+5๐‘ก๏Šจ, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A โˆ’ 5 ๐‘ก
  • B โˆ’ 5 6 ๐‘ก ( 6 ๐‘ก + 5 ) ๏Šจ
  • C 5 3 6 ๐‘ก ๏Šฉ
  • D 5 ๐‘ก
  • E โˆ’ 5 3 6 ๐‘ก ๏Šฉ

Q20:

Dado que ๐‘ฅ=๐‘กโˆ’๐‘กln e ๐‘ฆ=๐‘ก+๐‘กln, encontre dd๏Šจ๏Šจ๐‘ฆ๐‘ฅ.

  • A โˆ’ 1 ๐‘ก ( ๐‘ก โˆ’ 1 )
  • B โˆ’ 2 ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๏Šจ
  • C โˆ’ ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) 2 ๐‘ก ๏Šฉ
  • D โˆ’ 2 ๐‘ก ( ๐‘ก โˆ’ 1 )
  • E โˆ’ 2 ๐‘ก ( ๐‘ก โˆ’ 1 ) ๏Šฉ

Q21:

Se ๐‘ฆ=โˆ’5๐‘ฅโˆ’7๏Šฉ e ๐‘ง=3๐‘ฅ+16๏Šจ, determine ๐‘‘๐‘ง๐‘‘๐‘ฆ๏Šจ๏Šจ para ๐‘ฅ=1.

  • A 2 7 5
  • B โˆ’ 2 7 5
  • C 2 5
  • D โˆ’ 2 5
  • E โˆ’ 5 2

Q22:

Considere a curva paramรฉtrica ๐‘ฅ=1+๐œƒsec e ๐‘ฆ=1+๐œƒtg. Determine se esta curva tem concavidade voltada para cima, para baixo ou nenhum dos casos em ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Apara cima
  • Bnenhum dos casos
  • Cpara baixo

Q23:

Considere a curva paramรฉtrica ๐‘ฅ=๐œƒcos๏Šฉ e ๐‘ฆ=๐œƒsen๏Šฉ. Determine se esta curva tem concavidade voltada para cima, para baixo ou nenhum dos casos em ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Apara baixo
  • Bnenhum dos casos
  • Cpara cima

Q24:

Considere a curva paramรฉtrica ๐‘ฅ=๐œƒcos e ๐‘ฆ=๐œƒsen. Determine se esta curva tem concavidade voltada para cima, para baixo ou nenhum dos casos em ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Anenhum dos casos
  • Bpara cima
  • Cpara baixo

Q25:

Considere a curva paramรฉtrica ๐‘ฅ=๐œƒcos e ๐‘ฆ=2๐œƒsen. Determine se esta curva tem concavidade voltada para cima, para baixo ou nenhum dos casos em ๐œƒ=๐œ‹6.

  • Anenhum dos casos
  • Bpara cima
  • Cpara baixo

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