Lição de casa da aula: Indução Matemática Mathematics

Começar a praticar

Nesta atividade, nós vamos praticar a aplicar o método de indução matemática para provar uma fórmula de soma.

Q1:

Renato leu em um livro que 𝑟=𝑛(𝑛+1)2.Renato quer provar isso utilizando indução.

Primeiro, ele começa com o passo base substituindo 𝑛=1 em cada lado da equação. Ele calcula que o lado esquerdo, 𝑟, é igual a 1. Calcule o valor do lado direito e, portanto, determine se a base é verdadeira.

  • A1, verdadeira
  • B1, falsa

Renato assumiu que a fórmula de soma é verdadeira quando 𝑛=𝑘 dando a ele que 𝑟=𝑘(𝑘+1)2.Para o passo de indução, ele precisa mostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)2.Usando o fato de que =+(𝑘+1), substitua na suposição de Renato e simplifique o resultado para encontrar uma expressão para 𝑟.

  • A(𝑘+1)(𝑘+2)
  • B(𝑘+2)2
  • C(𝑘+1)(𝑘+2)2
  • D(𝑘+2)2

Renato então faz a seguinte conclusão:

Se a nossa suposição é correta para 𝑛=𝑘, mostramos que a fórmula de soma está correta quando 𝑛=𝑘+1. Portanto, como mostramos que a fórmula da soma é verdadeira quando 𝑛=1, por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todos os números naturais 𝑛.

A conclusão de Renato está correta?

  • ASim
  • BNão

Q2:

Maria está tentando provar a fórmula da somatória 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6.

Ela verificou se a base está correta, assumiu que 𝑟=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6; e está tentando mostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)6.

Maria sabe que ela precisa expressar 𝑟 em termos de sua suposição para 𝑟, mas ela não consegue se lembrar bem do método. Determine qual das opções a seguir está correta.

  • A𝑟=𝑟+(𝑘+1)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑘+1)
  • B𝑟=𝑟+1=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+1
  • C𝑟=𝑟+(𝑟+1)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑟+1)
  • D𝑟=𝑟+(𝑘)=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6+(𝑘)

Q3:

A Milena pretende provar, recorrendo à indução, que 𝑓(𝑛)=2−3 é divisível por 5 para todos os inteiros 𝑛≥1.

Primeiro, ela precisa de verificar o caso base, quando 𝑛=1. Substitua 𝑛=1 na expressão e determine o resultado quando é dividido por 5.

Em seguida, a Milena assume que 𝑓(𝑘)=2−3 é divisível por 5. Ela precisa agora de provar que 𝑓(𝑘+1)=2−3() é divisível por 5. Para o fazer, ela considera a diferença 𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘). Escreva esta diferença na forma 𝑎2−𝑏3.

  • A𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=72−23
  • B𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=92−43
  • C𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=72−43
  • D𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=92−23
  • E𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=42−43

Nesta fase, não é claro se 𝑓(𝑘+1) é divisível por 5. A Milena observa que poderá substituir 𝑓(𝑘) na expressão. Escrevendo 72 como 52+22, reescreva a expressão de 𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘) para incorporar 𝑓(𝑘).

  • A𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=2+2𝑓(𝑘)
  • B𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=52+2𝑓(𝑘)
  • C𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=52+2𝑓(𝑘)
  • D𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=52+𝑓(𝑘)
  • E𝑓(𝑘+1)−𝑓(𝑘)=52+𝑓(𝑘)

A Milena reorganiza a equação 𝑓(𝑘+1)=52+3𝑓(𝑘). Depois, ela chega à seguinte conclusão: se a hipótese estiver correta que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛=𝑘, então provámos que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛=𝑘+1. Uma vez que provámos que a expressão é divisível por 5 quando 𝑛=1, provámos por indução matemática que a expressão é divisível por 5 para todos os inteiros 𝑛≥1.

A conclusão da Milena está correta?

  • ASim
  • BNão

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