Atividade: Utilizando Indução Matemática para Provar uma Fórmula com Somatório

Nesta atividade, nós vamos praticar a aplicação do método de indução matemática para provar uma fórmula com somatório.

Q1:

Renato leu em um livro que 𝑟=𝑛(𝑛+1)2.Renato quer provar isso utilizando indução.

Primeiro, ele começa com o passo base substituindo 𝑛=1 em cada lado da equação. Ele calcula que o lado esquerdo, 𝑟, é igual a 1. Calcule o valor do lado direito e, portanto, determine se a base é verdadeira.

  • A1, verdadeira
  • B1, falsa

Renato assumiu que a fórmula de soma é verdadeira quando 𝑛=𝑘 dando a ele que 𝑟=𝑘(𝑘+1)2.Para o passo de indução, ele precisa mostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)2.Usando o fato de que =+(𝑘+1), substitua na suposição de Renato e simplifique o resultado para encontrar uma expressão para 𝑟.

  • A ( 𝑘 + 1 ) ( 𝑘 + 2 )
  • B ( 𝑘 + 2 ) 2
  • C ( 𝑘 + 1 ) ( 𝑘 + 2 ) 2
  • D ( 𝑘 + 2 ) 2

Renato então faz a seguinte conclusão:

Se a nossa suposição é correta para 𝑛=𝑘, mostramos que a fórmula de soma está correta quando 𝑛=𝑘+1. Portanto, como mostramos que a fórmula da soma é verdadeira quando 𝑛=1, por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todos os números naturais 𝑛.

A conclusão de Renato está correta?

  • ASim
  • BNão

Q2:

Natália está tentando provar a fórmula de soma 𝑟=𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)6. Ela verificou que a base está correta, assumiu que 𝑟=𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)6, e está tentando mostrar que 𝑟=(𝑘+1)(𝑘+2)(2𝑘+3)6.

Natália sabe que precisa expressar 𝑟 em termos de sua suposição para a 𝑟 mas ela não consegue lembrar o método. Determine qual das seguintes opções está correta.

  • A 𝑟 = 𝑟 + ( 𝑟 + 1 ) = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + ( 𝑟 + 1 )
  • B 𝑟 = 𝑟 + 1 = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + 1
  • C 𝑟 = 𝑟 + ( 𝑘 + 1 ) = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + ( 𝑘 + 1 )
  • D 𝑟 = 𝑟 + ( 𝑘 ) = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + ( 𝑘 )

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