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Comece a praticar

Atividade: Utilizando Indução Matemática para Provar uma Fórmula com Somatório

Q1:

Michelle está tentando provar a fórmula de soma Ela verificou que a base está correta, assumiu que e está tentando mostrar que

Michelle sabe que precisa expressar em termos de sua suposição para a mas ela não consegue lembrar o método. Determine qual das seguintes opções está correta.

  • A 𝑘 + 1 𝑟 = 1 2 𝑘 𝑟 = 1 2 2 2 𝑟 = 𝑟 + ( 𝑘 ) = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + ( 𝑘 )
  • B 𝑘 + 1 𝑟 = 1 2 𝑘 𝑟 = 1 2 2 2 𝑟 = 𝑟 + 1 = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + 1
  • C 𝑘 + 1 𝑟 = 1 2 𝑘 𝑟 = 1 2 2 2 𝑟 = 𝑟 + ( 𝑟 + 1 ) = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + ( 𝑟 + 1 )
  • D 𝑘 + 1 𝑟 = 1 2 𝑘 𝑟 = 1 2 2 2 𝑟 = 𝑟 + ( 𝑘 + 1 ) = 𝑘 ( 𝑘 + 1 ) ( 2 𝑘 + 1 ) 6 + ( 𝑘 + 1 )

Q2:

Renato leu em um livro que Renato quer provar isso utilizando indução.

Primeiro, ele começa com o passo base substituindo 𝑛 = 1 em cada lado da equação. Ele calcula que o lado esquerdo, é igual a 1. Calcule o valor do lado direito e, portanto, determine se a base é verdadeira.

  • A1, verdadeira
  • B1, falsa

Renato assumiu que a fórmula de soma é verdadeira quando 𝑛 = 𝑘 dando a ele que Para o passo de indução, ele precisa mostrar que Usando o fato de que substitua na suposição de Renato e simplifique o resultado para encontrar uma expressão para

  • A ( 𝑘 + 1 ) ( 𝑘 + 2 )
  • B ( 𝑘 + 2 ) 2
  • C ( 𝑘 + 2 ) 2
  • D ( 𝑘 + 1 ) ( 𝑘 + 2 ) 2

Renato então faz a seguinte conclusão:

Se a nossa suposição é correta para 𝑛 = 𝑘 , mostramos que a fórmula de soma está correta quando 𝑛 = 𝑘 + 1 . Portanto, como mostramos que a fórmula da soma é verdadeira quando 𝑛 = 1 , por indução matemática, a fórmula é verdadeira para todos os números naturais 𝑛 .

A conclusão de Renato está correta?

  • ANão
  • BSim