Atividade: Equação de uma Reta na Forma Paramétrica

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a equação de uma reta na forma paramétrica utilizando um ponto na reta e a direção do vetor da reta.

Q1:

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (9,8) com veto diretor (4,7).

  • A𝑥=9+4𝐾, 𝑦=87𝐾
  • B𝑥=8+4𝐾, 𝑦=97𝐾
  • C𝑥=87𝐾, 𝑦=9+4𝐾
  • D𝑥=9+8𝐾, 𝑦=47𝐾

Q2:

Determine as equações paramétricas de reta que faz um ângulo de 135 com o semieixo positivo O𝑥 e passa pelo ponto (1,15).

  • A𝑥=1+𝐾, 𝑦=15𝐾
  • B𝑥=1+𝐾, 𝑦=115𝐾
  • C𝑥=1, 𝑦=15𝐾
  • D𝑥=15𝐾, 𝑦=1+𝐾

Q3:

Considere a reta apresentada que passa pelo ponto (3;4) e faz um ângulo de 45 graus com o semieixo positivo O𝑥.

Suponha que a distância entre (3;4) e qualquer ponto (𝑥;𝑦) na reta é 𝑟.

Escreva, em ordem a 𝑟, uma expressão para a distância horizontal 𝑥3 entre os dois pontos.

  • A𝑟2
  • B𝑟2
  • C𝑟
  • D𝑟2

Escreva, em ordem a 𝑟, uma expressão para a distância vertical 𝑦4 entre os dois pontos.

  • A𝑟
  • B𝑟2
  • C𝑟2
  • D𝑟2

Por fim, escreva um par de equações paramétricas que descrevam a reta.

  • A𝑥=3+𝑟2, 𝑦=4𝑟2
  • B𝑥=3𝑟2, 𝑦=4𝑟2
  • C𝑥=3+𝑟2, 𝑦=4+𝑟2
  • D𝑥=3𝑟2, 𝑦=4+𝑟2

Determine as coordenadas do ponto na reta que está a uma distância de 4 unidades de (3;4).

  • A(322;422)
  • B(322;4+22)
  • C(3+22;422)
  • D(3+22;4+22)

Q4:

Escreva um par de equações paramétricas de parâmetro 𝑟 que descreva a reta apresentada.

  • A𝑥=2+𝑟2, 𝑦=3𝑟32
  • B𝑥=2𝑟2, 𝑦=3+𝑟32
  • C𝑥=2𝑟2, 𝑦=3𝑟32
  • D𝑥=2+𝑟32;𝑦=3+𝑟2

Q5:

Escreva a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto (𝑎,𝑏) e faz um ângulo de 𝜃 com o semieixo positivo O𝑥, como se apresenta.

  • A𝑟=𝑥𝑎(𝜃)=𝑦𝑏(𝜃)coscos
  • B𝑟=𝑥+𝑎(𝜃)=𝑦+𝑏(𝜃)cossen
  • C𝑟=𝑥𝑎(𝜃)=𝑦𝑏(𝜃)cossen
  • D𝑟=𝑥𝑎(𝜃)=𝑦𝑏(𝜃)sensen

Q6:

As equações 𝑥=2𝑡+1, 𝑦=3𝑡+2 parametrizam o segmento de reta entre (1;2) e (3;1) sobre o intervalo 0𝑡1.

Qual das seguintes opções é uma parametrização do segmento de reta em 1𝑡0?

  • A𝑥=2𝑡+3;𝑦=3𝑡+1
  • B𝑥=3𝑡2;𝑦=𝑡3
  • C𝑥=2𝑡+3;𝑦=3𝑡1
  • D𝑥=2𝑡+3;𝑦=3𝑡1
  • E𝑥=2𝑡3;𝑦=3𝑡+1

Qual das seguintes opções é uma parametrização do segmento de reta em 0𝑡1 que começa em (3;1) e termina em (1;2)?

  • A𝑥=3𝑡2;𝑦=𝑡3
  • B𝑥=2𝑡+3;𝑦=3𝑡+1
  • C𝑥=2𝑡3;𝑦=3𝑡+1
  • D𝑥=2𝑡+3;𝑦=3𝑡1
  • E𝑥=2𝑡+3;𝑦=3𝑡1

Qual das seguintes opções é uma parametrização do segmento de reta em 0𝑡2?

  • A𝑥=𝑡1;𝑦=32𝑡2
  • B𝑥=𝑡1;𝑦=32𝑡+2
  • C𝑥=𝑡+1;𝑦=32𝑡+2
  • D𝑥=4𝑡+1;𝑦=6𝑡+2
  • E𝑥=4𝑡1;𝑦=6𝑡2

Se as parametrizações que você deu acima corresponderem a uma partícula que se move ao longo do segmento de reta, como a parametrização ao longo do intervalo 0𝑡2 relaciona-se com aquele sobre 0𝑡1?

  • ASobre 0𝑡2, a partícula está se movendo duas vezes mais rápido que 0𝑡1.
  • BSobre 0𝑡2, a partícula está se movendo um terço tão rápido quanto 0𝑡1.
  • CSobre 0𝑡2, a partícula está se movendo com a metade da velocidade 0𝑡1.
  • DSobre 0𝑡2, a partícula está se movendo três vezes mais rápido que 0𝑡1.

Q7:

Considere os pontos 𝐴;𝐵, e 𝐶 e os segmentos de reta na figura.

Dê a parametrização de 𝐴𝐵 sobre o intervalo 1𝑡3.

  • A𝑥=1, 𝑦=2𝑡1
  • B𝑥=𝑡, 𝑦=0
  • C𝑥=𝑡, 𝑦=1
  • D𝑥=0, 𝑦=𝑡
  • E𝑥=1, 𝑦=𝑡

Dê a parametrização de 𝐵𝐶 sobre o intervalo 3𝑡5.

  • A𝑥=2, 𝑦=3
  • B𝑥=𝑡3, 𝑦=2
  • C𝑥=3, 𝑦=𝑡2
  • D𝑥=𝑡2, 𝑦=3
  • E𝑥=2, 𝑦=𝑡3

Determine as funções 𝑓 e 𝑔 definidas por 1𝑡5 de tal modo que 𝑥=𝑓(𝑡), 𝑦=𝑔(𝑡) parametriza o caminho dado de 𝐴 a 𝐶.

  • A𝑓(𝑡)=11𝑡3,𝑡23<𝑡5sese, 𝑔(𝑡)=𝑡1𝑡3,33<𝑡5sese
  • B𝑓(𝑡)=11𝑡3,𝑡33<𝑡5sese, 𝑔(𝑡)=𝑡1𝑡3,23<𝑡5sese
  • C𝑓(𝑡)=𝑡1𝑡3,23<𝑡5sese, 𝑔(𝑡)=11𝑡3,𝑡33<𝑡5sese
  • D𝑓(𝑡)=𝑡1𝑡3,33<𝑡5sese, 𝑔(𝑡)=11𝑡3,𝑡23<𝑡5sese
  • E𝑓(𝑡)=11𝑡3,𝑡+23<𝑡5sese, 𝑔(𝑡)=𝑡1𝑡3,33<𝑡5sese

Q8:

Sejam 𝐴=(1;1) e 𝐵=(1;3). Qual das seguintes é uma parametrização de 𝐴𝐵 em 0𝑡1 que começa em 𝐴 e termina em 𝐵.

  • A𝑥=1, 𝑦=𝑡+1
  • B𝑥=𝑡+1, 𝑦=1
  • C𝑥=1, 𝑦=2(𝑡+1)
  • D𝑥=1, 𝑦=2𝑡+1
  • E𝑥=2𝑡+1, 𝑦=1

Q9:

Sejam 𝐴=(1;1) e 𝐵=(1;2). Qual das seguintes é a parametrização de 𝐴𝐵 em 0𝑡1 que começa em 𝐵 e termina em 𝐴.

  • A𝑥=2𝑡, 𝑦=1
  • B𝑥=1, 𝑦=2𝑡
  • C𝑥=1, 𝑦=2+𝑡
  • D𝑥=1, 𝑦=𝑡+1
  • E𝑥=𝑡+1, 𝑦=1

Q10:

Sejam 𝐴=(1;1) e 𝐵=(1;2). Determine a parametrização de 𝐴𝐵 em 0𝑡1 que começa em 𝐴 e termina em 𝐵.

  • A𝑥=𝑡+1;𝑦=𝑡
  • B𝑥=𝑡+1;𝑦=𝑡
  • C𝑥=1;𝑦=𝑡
  • D𝑥=1;𝑦=𝑡+1
  • E𝑥=1;𝑦=𝑡1

Q11:

Verdadeiro ou Falso: Existe apenas uma forma de parametrizar o segmento de reta de (1;2) a (3;1).

  • Afalso
  • Bverdadeiro

Q12:

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto (9,7) com veto diretor (3,2).

  • A𝑥=7+2𝐾, 𝑦=9+3𝐾
  • B𝑥=7+3𝐾, 𝑦=9+2𝐾
  • C𝑥=97𝐾, 𝑦=3+2𝐾
  • D𝑥=9+3𝐾, 𝑦=7+2𝐾

Q13:

As retas 𝑥=3𝑡2, 𝑦=3𝑡+2, 𝑧=9𝑡2 e 𝑥=𝑎𝑡2, 𝑦=𝑡+1, 𝑧=𝑏𝑡2 são paralelas. Quanto é 𝑎+𝑏?

Q14:

No diagrama seguinte, se a equação da reta 𝐴𝐵 é 𝑥10+𝑦12=1, então as equações paramétricas da reta 𝑂𝐷 são .

  • A𝑥=6+6𝑘, 𝑦=5+5𝑘
  • B𝑥=6+5𝑘, 𝑦=5+6𝑘
  • C𝑥=5+5𝑘, 𝑦=6+6𝑘
  • D𝑥=5+6𝑘, 𝑦=6+5𝑘

Q15:

A reta 𝑙 passa pelo ponto 𝑁(3;4) e tem um vetor diretor 𝑢=(2;5). Então, as equações paramétricas da reta 𝑙 são .

  • A𝑥=23𝑘, 𝑦=5+4𝑘
  • B𝑥=32𝑘, 𝑦=4+5𝑘
  • C𝑥=2+3𝑘, 𝑦=5+4𝑘
  • D𝑥=3+2𝑘, 𝑦=45𝑘

Q16:

O vetor diretor da reta cujas equações paramétricas são 𝑥=2 e 𝑦=2𝑘+4 é .

  • A(0;4)
  • B(0;2)
  • C(2;4)
  • D(2;2)

Q17:

Qual das seguintes são as equações paramétricas da reta que passa no ponto 𝐴(8,8) com uma direção perpendicular ao vetor 𝑢=(6,7)?

  • A𝑥=8+7𝐾, 𝑦=8+6𝐾
  • B𝑥=8+8𝐾, 𝑦=6+7𝐾
  • C𝑥=86𝐾, 𝑦=8+7𝐾
  • D𝑥=8+7𝐾, 𝑦=86𝐾

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