Atividade: Equação de uma Reta na Forma Paramétrica

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a equação de uma reta na forma paramétrica utilizando um ponto na reta e a direção do vetor da reta.

Q1:

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 9 , 8 ) com veto diretor ( 4 , 7 ) .

  • A 𝑥 = 9 + 8 𝐾 , 𝑦 = 4 7 𝐾
  • B 𝑥 = 8 7 𝐾 , 𝑦 = 9 + 4 𝐾
  • C 𝑥 = 8 + 4 𝐾 , 𝑦 = 9 7 𝐾
  • D 𝑥 = 9 + 4 𝐾 , 𝑦 = 8 7 𝐾

Q2:

Determine as equações paramétricas de reta que faz um ângulo de 1 3 5 com o semieixo positivo O 𝑥 e passa pelo ponto ( 1 ; 1 5 ) .

  • A 𝑥 = 1 5 𝐾 , 𝑦 = 1 + 𝐾
  • B 𝑥 = 1 + 𝐾 , 𝑦 = 1 1 5 𝐾
  • C 𝑥 = 1 , 𝑦 = 1 5 𝐾
  • D 𝑥 = 1 + 𝐾 , 𝑦 = 1 5 𝐾

Q3:

Considere a reta apresentada que passa pelo ponto ( 3 , 4 ) e faz um ângulo de 45 graus com o semieixo positivo O 𝑥 .

Suponha que a distância entre ( 3 , 4 ) e qualquer ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) na reta é 𝑟 .

Escreva, em ordem a 𝑟 , uma expressão para a distância horizontal 𝑥 3 entre os dois pontos.

  • A 𝑟
  • B 𝑟 2 2
  • C 𝑟 2
  • D 𝑟 2

Escreva, em ordem a 𝑟 , uma expressão para a distância vertical 𝑦 4 entre os dois pontos.

  • A 𝑟 2
  • B 𝑟
  • C 𝑟 2 2
  • D 𝑟 2

Por fim, escreva um par de equações paramétricas que descrevam a reta.

  • A 𝑥 = 3 + 𝑟 2 , 𝑦 = 4 + 𝑟 2
  • B 𝑥 = 3 𝑟 2 , 𝑦 = 4 + 𝑟 2
  • C 𝑥 = 3 + 𝑟 2 , 𝑦 = 4 𝑟 2
  • D 𝑥 = 3 𝑟 2 , 𝑦 = 4 𝑟 2

Determine as coordenadas do ponto na reta que está a uma distância de 4 unidades de ( 3 , 4 ) .

  • A ( 3 + 2 2 , 4 + 2 2 )
  • B ( 3 2 2 , 4 2 2 )
  • C ( 3 2 2 , 4 + 2 2 )
  • D ( 3 + 2 2 , 4 2 2 )

Q4:

Escreva um par de equações paramétricas de parâmetro 𝑟 que descreva a reta apresentada.

  • A 𝑥 = 2 + 𝑟 2 , 𝑦 = 3 𝑟 3 2
  • B 𝑥 = 2 𝑟 2 , 𝑦 = 3 𝑟 3 2
  • C 𝑥 = 2 𝑟 2 , 𝑦 = 3 + 𝑟 3 2
  • D 𝑥 = 2 + 𝑟 3 2 , 𝑦 = 3 + 𝑟 2

Q5:

As equações 𝑥 = 2 𝑡 + 1 , 𝑦 = 3 𝑡 + 2 parametrizam o segmento de reta entre ( 1 , 2 ) e ( 3 , 1 ) sobre o intervalo 0 𝑡 1 .

Qual das seguintes opções é uma parametrização do segmento de reta em 1 𝑡 0 ?

  • A 𝑥 = 2 𝑡 3 , 𝑦 = 3 𝑡 + 1
  • B 𝑥 = 2 𝑡 + 3 , 𝑦 = 3 𝑡 1
  • C 𝑥 = 2 𝑡 + 3 , 𝑦 = 3 𝑡 + 1
  • D 𝑥 = 2 𝑡 + 3 , 𝑦 = 3 𝑡 1
  • E 𝑥 = 3 𝑡 2 , 𝑦 = 𝑡 3

Qual das seguintes opções é uma parametrização do segmento de reta em 0 𝑡 1 que começa em ( 3 , 1 ) e termina em ( 1 , 2 ) ?

  • A 𝑥 = 2 𝑡 + 3 , 𝑦 = 3 𝑡 1
  • B 𝑥 = 3 𝑡 2 , 𝑦 = 𝑡 3
  • C 𝑥 = 2 𝑡 3 , 𝑦 = 3 𝑡 + 1
  • D 𝑥 = 2 𝑡 + 3 , 𝑦 = 3 𝑡 1
  • E 𝑥 = 2 𝑡 + 3 , 𝑦 = 3 𝑡 + 1

Qual das seguintes opções é uma parametrização do segmento de reta em 0 𝑡 2 ?

  • A 𝑥 = 𝑡 1 , 𝑦 = 3 2 𝑡 + 2
  • B 𝑥 = 4 𝑡 + 1 , 𝑦 = 6 𝑡 + 2
  • C 𝑥 = 𝑡 + 1 , 𝑦 = 3 2 𝑡 + 2
  • D 𝑥 = 𝑡 1 , 𝑦 = 3 2 𝑡 2
  • E 𝑥 = 4 𝑡 1 , 𝑦 = 6 𝑡 2

Se as parametrizações que você deu acima corresponderem a uma partícula que se move ao longo do segmento de reta, como a parametrização ao longo do intervalo 0 𝑡 2 relaciona-se com aquele sobre 0 𝑡 1 ?

  • ASobre 0 𝑡 2 , a partícula está se movendo com a metade da velocidade 0 𝑡 1 .
  • BSobre 0 𝑡 2 , a partícula está se movendo três vezes mais rápido que 0 𝑡 1 .
  • CSobre 0 𝑡 2 , a partícula está se movendo duas vezes mais rápido que 0 𝑡 1 .
  • DSobre 0 𝑡 2 , a partícula está se movendo um terço tão rápido quanto 0 𝑡 1 .

Q6:

Sejam 𝐴 = ( 1 , 1 ) e 𝐵 = ( 1 , 3 ) . Qual das seguintes é uma parametrização de 𝐴 𝐵 em 0 𝑡 1 que começa em 𝐴 e termina em 𝐵 .

  • A 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 ( 𝑡 + 1 )
  • B 𝑥 = 1 , 𝑦 = 𝑡 + 1
  • C 𝑥 = 𝑡 + 1 , 𝑦 = 1
  • D 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 𝑡 + 1
  • E 𝑥 = 2 𝑡 + 1 , 𝑦 = 1

Q7:

Sejam 𝐴 = ( 1 , 1 ) e 𝐵 = ( 1 , 2 ) . Qual das seguintes é a parametrização de 𝐴 𝐵 em 0 𝑡 1 que começa em 𝐵 e termina em 𝐴 .

  • A 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 + 𝑡
  • B 𝑥 = 1 , 𝑦 = 𝑡 + 1
  • C 𝑥 = 2 𝑡 , 𝑦 = 1
  • D 𝑥 = 1 , 𝑦 = 2 𝑡
  • E 𝑥 = 𝑡 + 1 , 𝑦 = 1

Q8:

Sejam 𝐴 = ( 1 , 1 ) e 𝐵 = ( 1 , 2 ) . Determine a parametrização de 𝐴 𝐵 em 0 𝑡 1 que começa em 𝐴 e termina em 𝐵 .

  • A 𝑥 = 1 , 𝑦 = 𝑡 1
  • B 𝑥 = 1 , 𝑦 = 𝑡
  • C 𝑥 = 𝑡 + 1 , 𝑦 = 𝑡
  • D 𝑥 = 1 , 𝑦 = 𝑡 + 1
  • E 𝑥 = 𝑡 + 1 , 𝑦 = 𝑡

Q9:

Um cubo com lado 3 se apoia com um vértice na origem e três lados ao longo dos eixos positivos. Encontre as equações paramétricas da diagonal principal a partir da origem.

  • A 𝑥 = 3 + 𝑡 , 𝑦 = 3 + 𝑡 , 𝑧 = 3 + 𝑡
  • B 𝑥 = 3 , 𝑦 = 3 , 𝑧 = 3
  • C 𝑥 = 1 + 3 𝑡 , 𝑦 = 1 + 3 𝑡 , 𝑧 = 1 + 3 𝑡
  • D 𝑥 = 3 𝑡 , 𝑦 = 3 𝑡 , 𝑧 = 3 𝑡

Q10:

Verdadeiro ou Falso: Existe apenas uma forma de parametrizar o segmento de reta de ( 1 , 2 ) a ( 3 , 1 ) .

  • Afalso
  • Bverdadeiro

Q11:

Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto ( 9 , 7 ) com veto diretor ( 3 , 2 ) .

  • A 𝑥 = 9 7 𝐾 , 𝑦 = 3 + 2 𝐾
  • B 𝑥 = 7 + 2 𝐾 , 𝑦 = 9 + 3 𝐾
  • C 𝑥 = 7 + 3 𝐾 , 𝑦 = 9 + 2 𝐾
  • D 𝑥 = 9 + 3 𝐾 , 𝑦 = 7 + 2 𝐾

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