Atividade: Sistemas de Equações Diferenciais Lineares Ordinárias

Nesta atividade, nós vamos praticar a resolver um sistema de equações diferenciais ordinárias lineares de primeira ordem.

Q1:

Determine a solução geral do sistema de equações diferenciais ordinárias: 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 , 𝑦 = 4 𝑦 + 𝑦 .

  • A 𝑦 = 𝑐 𝑐 , 𝑦 = 2 𝑐 + 2 𝑐
  • B 𝑦 = 𝑐 𝑐 , 𝑦 = 2 𝑐 + 2 𝑐
  • C 𝑦 = 𝑐 𝑐 , 𝑦 = 2 𝑐 + 2 𝑐
  • D 𝑦 = 𝑐 𝑐 , 𝑦 = 2 𝑐 + 2 𝑐

Q2:

Determine a solução geral do sistema de equações diferenciais ordinárias: 𝑦 = 𝑦 𝑦 , 𝑦 = 2 𝑦 4 𝑦 .

  • A 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 2 𝑐 𝑒
  • B 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 2 𝑐 𝑒
  • C 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 2 𝑐 𝑒
  • D 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 2 𝑐 𝑒

Q3:

Suponha que lhe davam a tarefa de criar um sistema de equações diferenciais ordinárias para modelar uma dinâmica presa-predador. Sejam 𝑥 e 𝑦 o número de presas (e.g., coelhos) e predadores (e.g., raposas), respetivamente, como funções do tempo 𝑡 , em que os números positivos 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 e 𝛿 representam parâmetros que descrevem como alguns predadores e presas interagem entre si. Qual dos seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias não lineares de primeira ordem descreve um tal sistema?

  • A 𝑥 = 𝑦 ( 𝛼 𝛽 𝑥 ) , 𝑦 = 𝑥 ( 𝛾 𝛿 𝑦 )
  • B 𝑥 = 𝑥 ( 𝛼 𝛽 𝑥 ) , 𝑦 = 𝑦 ( 𝛾 𝛿 𝑦 )
  • C 𝑥 = 𝑥 ( 𝛼 𝛽 𝑦 ) , 𝑦 = 𝑦 ( 𝛾 𝛿 𝑥 )
  • D 𝑥 = 𝑥 ( 𝛼 𝛽 𝑦 ) , 𝑦 = 𝑦 ( 𝛾 𝛿 𝑥 )

Q4:

É possível converter uma equação diferencial de ordem 𝑛 -ésima em um sistema tridimensional de 𝑛 equações diferenciais de primeira ordem. Para a seguinte equação diferencial de 4ª ordem, identifique o sistema de dimensão 4 correspondente das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem: 𝑦 + 𝑡 𝑦 2 𝑦 = 3 𝑦 𝑦 = 0 .

Use as quatro novas variáveis 𝑥 = 𝑦 , 𝑥 = 𝑦 , 𝑥 = 𝑦 , e 𝑥 = 𝑦 para fazer essa determinação.

  • A 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑡 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 + 𝑥
  • B 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑡 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 + 𝑥
  • C 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 + 2 𝑥 𝑥
  • D 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 , 𝑥 = 𝑥 + 3 𝑥 + 2 𝑥 𝑡 𝑥

Q5:

Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais lineares utilizando matrizes, dada a matriz 𝑦 𝑦 . 𝑦 = 𝑦 + 𝑦 𝑦 = 4 𝑦 + 𝑦

  • A 𝑐 1 2 𝑒 + 𝑐 1 2 𝑒
  • B 𝑐 1 2 𝑒 + 𝑐 1 2 𝑒
  • C 𝑐 1 2 𝑒 + 𝑐 1 2 𝑒
  • D 𝑐 1 2 𝑒 + 𝑐 1 2 𝑒

Q6:

Determina a solução geral do seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias: 𝑦 = 3 𝑦 + 2 𝑦 , 𝑦 = 4 𝑦 + 𝑦 .

  • A 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 2 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒
  • B 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 2 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒
  • C 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 2 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒
  • D 𝑦 = 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒 , 𝑦 = 2 𝑐 𝑒 + 𝑐 𝑒

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