Atividade: O Teorema do Valor Médio

Nesta atividade, nós vamos praticar aplicar o teorema do valor médio.

Q1:

A função 𝐹(𝑥)=1𝑥+3 satisfaz 𝐹(1)<3 e 𝐹(1)>3. Mas não há 𝑥 entre 1 e 1 onde 𝐹(𝑥)=3. Por que isso não viola o teorema do valor intermediário?

  • Aporque a função 𝐹 não é contínua em seu domínio
  • Bporque o teorema do valor intermediário só se aplica no intervalo (0,)
  • Cporque o teorema do valor intermediário só se aplica a funções polinomiais
  • Dporque o teorema do valor intermediário só se aplica aos casos em que 𝐹(𝑥)=0, não 𝐹(𝑥)=3
  • Eporque a função não está definida em todo o intervalo [1,1]

Q2:

A figura mostra o gráfico da função 𝑓 no intervalo [0,16] junto com a linha tracejada 𝑦=30.

𝑓 ( 0 ) < 3 0 e 𝑓(16)>30, mas 𝑓(𝑥)30 em qualquer lugar de [0,16]. Por que isso não viola o teorema do valor intermediário(TVI)?

  • Aporque a função não é contínua em 𝑥=8
  • Bporque a função não está definida em todo o intervalo [0,16]
  • Cporque o teorema do valor intermediário só se aplica a funções com 𝑓(𝑥)<0 para algum valor
  • Dporque o teorema do valor intermediário só se aplica a funções polinomiais
  • Eporque o teorema do valor intermediário só se aplica aos casos em que 𝑓(𝑥)=0 não onde 𝑓(𝑥)=30

Q3:

A função 𝑔 está definida no intervalo [2,7] e é contínua nesse intervalo. É sabido que 𝑔(2)=3 e 𝑔(4)=3 e estes são os únicos valores de 𝑥[2,7] com 𝑔(𝑥)=3. É sabido também que 𝑔(5)=4. Explique porque é que 𝑔(6)>3.

  • Aporque se 𝑔(6)<3, então 𝑔 será igual a 3 nalgum ponto entre 𝑥=4 e 𝑥=6 pelo teorema do valor intermédio
  • Bporque 𝑔 é uma função crescente
  • Cporque 𝑔(6)3 e nós já sabemos os dois valores nos quais é igual a 3
  • Dporque 𝑔(6) deverá ser maior ou igual a 𝑔(5)

Q4:

A figura mostra apenas partes da curva 𝑦=𝑓(𝑥).

Sabemos que a função tem as seguintes propriedades: 𝑓[0,1][0,1], 𝑓 é contínua, 𝑓(0)=0,6, e 𝑓(1)=0,2. Considerando a diferença 𝑓(𝑥)𝑥, o que você pode concluir sobre essa função?

  • ADeve existir um ponto 𝑝[0,1] de tal modo que 𝑓(𝑝)=𝑝.
  • BA função tem um ponto de inflexão em algum lugar.
  • CNão há conclusão possível.
  • DA função recebe o valor 0,4 em algum momento.
  • EA função é zero em alguns 𝑝[0,1].

Q5:

Uma bola é lançada no ar. Sua posição vertical acima do solo é dada por 𝑥(𝑡)=3𝑡+12𝑡+7. De acordo com o teorema do valor intermediário, durante qual dos seguintes intervalos a bola deve pousar no chão?

  • A [ 3 , 4 ]
  • B [ 4 , 5 ]
  • C [ 5 , 6 ]
  • D [ 1 , 2 ]
  • E [ 2 , 3 ]

Q6:

Seja 𝑓(𝑥)=3𝑥. De acordo com o teorema do valor intermediário, qual dos seguintes intervalos deve conter uma solução para 𝑓(𝑥)=0?

  • A [ 2 , 3 ]
  • B [ 3 , 2 ]
  • C [ 1 , 2 ]
  • D [ 0 , 1 ]
  • E [ 2 , 1 ]

Q7:

Seja 𝑓(𝑥)=𝑥+𝑥sen. De acordo com o teorema do valor intermediário, qual das seguintes opções deve ser verdadeira?

  • AExiste pelo menos um 𝑐, onde 0<𝑐<𝜋2, tal que 𝑓(𝑐)=1.
  • BExiste pelo menos um 𝑐, onde 𝜋<𝑐<𝜋2, tal que 𝑓(𝑐)=1.
  • CNenhuma das opções está correta.
  • DExiste pelo menos um 𝑐, onde 𝜋2<𝑐<0, tal que 𝑓(𝑐)=1.
  • EExiste pelo menos um 𝑐, onde 𝜋2<𝑐<𝜋, tal que 𝑓(𝑐)=1.

Q8:

A Madalena está a estudar a função 𝑓(𝑥)=16𝑥3𝑥10. Primeiro, ela pretende provar que existe um zero entre 5 e 6. Ela sabe que a função é contínua e calculou que 𝑓(5)=4,17, com duas casas decimais, e 𝑓(6)=8.

Explique como o cálculo da Madalena pode ser utilizado para provar que o zero existe entre 5 e 6.

  • AComo o valor da função diminui entre os valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), e a função é contínua, existe pelo menos um zero entre 5 e 6.
  • BComo à alteração do sinal nos valores 𝑓(5) e 𝑓(6), e a função é contínua, existe exatamente um zero entre 5 e 6.
  • CComo à alteração do sinal nos valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), existe pelo menos um zero entre 5 e 6, independentemente de a função ser contínua ou não.
  • DComo à alteração do sinal nos valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), e a função é contínua, existe pelo menos um zero entre 5 e 6.
  • EComo a função é crescente entre os valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), existe exatamente um zero entre 5 e 6, independentemente de a função ser contínua ou não.

A Madalena decide aproximar o zero com uma casa decimal utilizando interpolação linear, que utiliza propriedades da semelhança de triângulos. Ela desenha o seguinte diagrama.

A Madalena utiliza o diagrama para formular a equação 𝑥5|𝑓(5)|=6𝑥|𝑓(6)| que consegue resolver para determinar a primeira aproximação do zero. Calcule o valor de 𝑥 com 3 casas decimais.

A seguir, a Madalena utiliza a sua primeira aproximação para melhorar o intervalo no qual o zero pertence e repete o processo neste novo intervalo. Continue este processo para determinar o valor do zero arredondado a uma casa decimal.

Q9:

Se 𝑓(𝑥) é contínua ao longo de [0,3], 𝑓(0)>0, e 𝑓(3)>0, podemos usar o teorema do valor intermediário para concluir que 𝑓(𝑥) não tem zeros no intervalo [0,3]?

  • ANão
  • BSim

Q10:

Considere o polinômio 𝑃(𝑥).

Dado que 𝑃(2)=22 e 𝑃(4)=1, qual das seguintes conclusões você pode tirar sobre os zeros de 𝑃?

  • AExiste um zero no intervalo (2,4).
  • B 𝑃 ( 𝑥 ) > 0 para 𝑥2, então não pode ser zero lá.
  • CVocê não pode tirar nenhuma conclusão.
  • DNão há zero no intervalo [2,4].
  • E 𝑃 ( 𝑥 ) 0 para todos 𝑥2, então não pode ser zero lá.

Dado que lim𝑃(𝑥)=, o que você pode concluir sobre os zeros de 𝑃 no intervalo (,2)?

  • ANão há zeros neste intervalo.
  • BExiste exatamente um zero neste intervalo.
  • CNão há nada que possamos concluir.
  • DHá pelo menos um zero nesse intervalo.
  • EExistem dois zeros neste intervalo.

Q11:

De acordo com o teorema do valor intermediário, em qual dos seguintes intervalos cossen𝑥+𝑥+𝑥=2 deve ter uma solução?

  • A [ 1 , 2 ]
  • B [ 2 , 1 ]
  • C [ 2 , 3 ]
  • D [ 3 , 2 ]
  • E [ 0 , 1 ]

Q12:

Uma partícula que se move ao longo de uma reta tem em cada momento 𝑡 uma função de posição 𝑠(𝑡), que é contínua. Assuma que 𝑠(2)=5 e 𝑠(5)=2. Outra partícula se move de tal forma que sua posição é dada por (𝑡)=𝑠(𝑡)+𝑡. Qual das seguintes opções deve ser verdadeira?

  • AExiste pelo menos um 𝑐, onde 2<𝑐<5, tal que (𝑐)=5.
  • B tem pelo menos um zero.
  • C 𝑠 tem pelo menos um zero.
  • DExiste pelo menos um 𝑐, onde 2<𝑐<5, tal que 𝑠(𝑐)=1.
  • E 5 < 𝑠 ( 𝑡 ) < 2 pata todos 𝑡 entre 2 e 5.

Q13:

Ricardo está estudando a função 𝑓(𝑥)=3𝑥+9𝑥1000. Primeiro, ele quer provar que existe uma raiz entre 6 e 7. Ele sabe que a função é contínua e calculou que 𝑓(6)=298 e 𝑓(7)=92.

Explique como os cálculos de Ricardo podem ser usados para provar que existe uma raiz entre 6 e 7.

  • AComo há uma mudança de sinal entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7), há pelo menos uma raiz entre 6 e 7, independentemente de a função ser contínua ou não.
  • BComo o valor da função diminui entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7) e a função é contínua, existe pelo menos uma raiz entre 6 e 7.
  • CComo há uma mudança de sinal entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7) e a função é contínua, existe exatamente uma raiz entre 6 e 7.
  • DComo há uma mudança de sinal entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7) e a função é contínua, existe pelo menos uma raiz entre 6 e 7.
  • EComo a função diminui entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7), existe exatamente uma raiz entre 6 e 7, independentemente de a função ser contínua ou não.

Ricardo decide aproximar a raiz com precisão de uma casa decimal usando bissecção de intervalo. Seu método é o seguinte.

Ele pega os pontos finais do intervalo, localiza o meio e, em seguida, substitui esse valor na função para verificar seu sinal. Ele usa esse sinal para revisar seu intervalo e repete as etapas com o novo intervalo.

Ele até agora completou a tabela a seguir, onde 𝑎 e 𝑏 são os pontos finais do intervalo.

𝑎 𝑓 ( 𝑎 ) 𝑏 𝑓 ( 𝑏 ) 𝑎 + 𝑏 2 𝑓 𝑎 + 𝑏 2
6 −298 7 92 6,5 −117,625

Use as informações da tabela de Ricardo para encontrar o próximo intervalo que Ricardo deve considerar.

  • A(6,5,7)
  • B(6,6,5)

Continue o processo de Ricardo para encontrar a raiz com precisão de 1 casa decimal.

Q14:

Considere a função contínua 𝑓(𝑥). Dado que 𝑓(5)=2 e 𝑓(8)=4, qual das alternativas a seguir deve ser verdadeira de acordo com o teorema do valor intermediário?

  • AOs únicos zeros de 𝑓(𝑥) se encontram no intervalo [5,8].
  • BNão há zeros no intervalo [5,8].
  • CHá pelo menos um zero no intervalo [5,8].
  • DNão há zeros nos intervalos ],5] e [8,[.
  • EHá exatamente um zero no intervalo [5,8].

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