Lição de casa da aula: O Teorema do Valor Médio Matemática • Ensino Superior

Nesta atividade, nós vamos praticar a interpretar o teorema do valor intermediário e utilizá-lo para aproximar o zero de uma função.

Questão 1

A figura mostra o gráfico da função 𝑓 no intervalo [0;16] junto com a linha tracejada 𝑦=30.

𝑓(0)<30 e 𝑓(16)>30, mas 𝑓(𝑥)30 em qualquer lugar de [0;16]. Por que isso não viola o teorema do valor intermediário(TVI)?

  • Aporque o teorema do valor intermediário só se aplica a funções polinomiais
  • Bporque o teorema do valor intermediário só se aplica a funções com 𝑓(𝑥)<0 para algum valor
  • Cporque o teorema do valor intermediário só se aplica aos casos em que 𝑓(𝑥)=0 não onde 𝑓(𝑥)=30
  • Dporque a função não é contínua em 𝑥=8
  • Eporque a função não está definida em todo o intervalo [0;16]

Questão 2

A figura mostra apenas partes da curva 𝑦=𝑓(𝑥).

Sabemos que a função tem as seguintes propriedades: 𝑓[0,1][0,1], 𝑓 é contínua, 𝑓(0)=0,6, e 𝑓(1)=0,2. Considerando a diferença 𝑓(𝑥)𝑥, o que você pode concluir sobre essa função?

  • ADeve existir um ponto 𝑝[0,1] de tal modo que 𝑓(𝑝)=𝑝.
  • BA função é zero em alguns 𝑝[0,1].
  • CA função recebe o valor 0,4 em algum momento.
  • DNão há conclusão possível.
  • EA função tem um ponto de inflexão em algum lugar.

Questão 3

A Melissa está a estudar a função 𝑓(𝑥)=16𝑥3𝑥10. Primeiro, ela pretende provar que existe um zero entre 5 e 6. Ela sabe que a função é contínua e calculou que 𝑓(5)=4,17, com duas casas decimais, e 𝑓(6)=8.

Explique como o cálculo da Melissa pode ser utilizado para provar que o zero existe entre 5 e 6.

  • AComo à alteração do sinal nos valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), e a função é contínua, existe pelo menos um zero entre 5 e 6.
  • BComo à alteração do sinal nos valores 𝑓(5) e 𝑓(6), e a função é contínua, existe exatamente um zero entre 5 e 6.
  • CComo à alteração do sinal nos valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), existe pelo menos um zero entre 5 e 6, independentemente de a função ser contínua ou não.
  • DComo a função é crescente entre os valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), existe exatamente um zero entre 5 e 6, independentemente de a função ser contínua ou não.
  • EComo o valor da função diminui entre os valores de 𝑓(5) e 𝑓(6), e a função é contínua, existe pelo menos um zero entre 5 e 6.

A Melissa decide aproximar o zero com uma casa decimal utilizando interpolação linear, que utiliza propriedades da semelhança de triângulos. Ela desenha o seguinte diagrama.

A Melissa utiliza o diagrama para formular a equação 𝑥5|𝑓(5)|=6𝑥|𝑓(6)| que consegue resolver para determinar a primeira aproximação do zero. Calcule o valor de 𝑥 com 3 casas decimais.

A seguir, a Melissa utiliza a sua primeira aproximação para melhorar o intervalo no qual o zero pertence e repete o processo neste novo intervalo. Continue este processo para determinar o valor do zero arredondado a uma casa decimal.

Questão 4

Considere o polinômio 𝑃(𝑥).

Dado que 𝑃(2)=22 e 𝑃(4)=1, qual das seguintes conclusões você pode tirar sobre os zeros de 𝑃?

  • A𝑃(𝑥)0 para todos 𝑥2, então não pode ser zero lá.
  • BExiste um zero no intervalo ]2,4[.
  • CVocê não pode tirar nenhuma conclusão.
  • DNão há zero no intervalo [2,4].
  • E𝑃(𝑥)>0 para 𝑥2, então não pode ser zero lá.

Dado que lim𝑃(𝑥)=; o que você pode concluir sobre os zeros de 𝑃 no intervalo ],2[?

  • AExiste exatamente um zero neste intervalo.
  • BNão há nada que possamos concluir.
  • CHá pelo menos um zero nesse intervalo.
  • DNão há zeros neste intervalo.
  • EExistem dois zeros neste intervalo.

Questão 5

Leonardo está estudando a função 𝑓(𝑥)=3𝑥+9𝑥1000. Primeiro, ele quer provar que existe uma raiz entre 6 e 7. Ele sabe que a função é contínua e calculou que 𝑓(6)=298 e 𝑓(7)=92.

Explique como os cálculos de Leonardo podem ser usados para provar que existe uma raiz entre 6 e 7.

  • AComo há uma mudança de sinal entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7) e a função é contínua, existe exatamente uma raiz entre 6 e 7.
  • BComo o valor da função diminui entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7) e a função é contínua, existe pelo menos uma raiz entre 6 e 7.
  • CComo a função diminui entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7), existe exatamente uma raiz entre 6 e 7, independentemente de a função ser contínua ou não.
  • DComo há uma mudança de sinal entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7) e a função é contínua, existe pelo menos uma raiz entre 6 e 7.
  • EComo há uma mudança de sinal entre os valores de 𝑓(6) e 𝑓(7), há pelo menos uma raiz entre 6 e 7, independentemente de a função ser contínua ou não.

Leonardo decide aproximar a raiz com precisão de uma casa decimal usando bissecção de intervalo. Seu método é o seguinte.

Ele pega os pontos finais do intervalo, localiza o meio e, em seguida, substitui esse valor na função para verificar seu sinal. Ele usa esse sinal para revisar seu intervalo e repete as etapas com o novo intervalo.

Ele até agora completou a tabela a seguir, onde 𝑎 e 𝑏 são os pontos finais do intervalo.

𝑎𝑓(𝑎)𝑏𝑓(𝑏)𝑎+𝑏2𝑓𝑎+𝑏2
6−2987926,5−117,625

Use as informações da tabela de Leonardo para encontrar o próximo intervalo que Leonardo deve considerar.

  • A(6,6,5)
  • B(6,5,7)

Continue o processo de Leonardo para encontrar a raiz com precisão de 1 casa decimal.

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