Atividade: Solução Geral para um Sistema de Equações Lineares

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Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a solução geral para um sistema de equações lineares que tenha um número infinito de soluções dadas como uma equação matricial ou como uma matriz aumentada.

Q1:

Determine a solução geral do sistema com a matriz ampliada ⎡⎢⎢⎢⎢⎣102112010121120013101022⎤⎥⎥⎥⎥⎦.

  • A 𝑥 = 4 𝑡 , 𝑥 = 1 − 6 𝑡 , 𝑥 = − 1 + 7 𝑡 , 𝑥 = 𝑡 , 𝑥 = 3 + 9 𝑡
  • B 𝑥 = 𝑡 , 𝑥 = 1 − 6 𝑡 , 𝑥 = − 1 + 7 𝑡 , 𝑥 = 4 𝑡 , 𝑥 = 3 − 9 𝑡
  • C 𝑥 = 4 𝑡 , 𝑥 = 1 − 6 𝑡 , 𝑥 = − 1 + 7 𝑡 , 𝑥 = 𝑡 , 𝑥 = 3 − 9 𝑡
  • D 𝑥 = 1 − 6 𝑡 , 𝑥 = 𝑡 , 𝑥 = − 1 + 7 𝑡 , 𝑥 = 4 𝑡 , 𝑥 = 3 − 9 𝑡
  • E 𝑥 = 𝑡 , 𝑥 = 1 − 6 𝑡 , 𝑥 = − 1 + 7 𝑡 , 𝑥 = 4 𝑡 , 𝑥 = 3 + 9 𝑡

Q2:

Encontre a solução geral para o sistema linear 0−121−211−45𝑥𝑦𝑧=1−11.

  • A 1 − 1 1 + 𝑡 1 2 3
  • B − 3 1 0 + 𝑡 − 1 − 2 − 4
  • C − 3 1 0 + 𝑡 3 2 1
  • D 1 − 1 1 + 𝑡 3 2 1
  • E − 3 1 0 + 𝑡 1 2 3

Q3:

Encontre a solução geral para o sistema linear ⎡⎢⎢⎣10111−1103−1323303⎤⎥⎥⎦𝑥𝑦𝑧𝑤=⎡⎢⎢⎣1243⎤⎥⎥⎦.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 4 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 − 1 − 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 4 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 − 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 − 1 − 1 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 − 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 − 1 − 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − 1 3 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q4:

Encontre a solução geral para o sistema linear 1−121−203−44𝑥𝑦𝑧=124.

  • A 0 − 1 0 + 𝑡 1 − 2 − 4
  • B 1 2 4 + 𝑡 − 4 − 2 1
  • C 1 2 4 + 𝑡 1 − 2 − 4
  • D 0 − 1 0 + 𝑡 1 1 3
  • E 0 − 1 0 + 𝑡 − 4 − 2 1

Q5:

Encontre a solução geral para o sistema linear ⎡⎢⎢⎣1101211210110000⎤⎥⎥⎦𝑥𝑦𝑧𝑤=⎡⎢⎢⎣2−1−30⎤⎥⎥⎦.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 8 5 0 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 8 5 0 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 − 1 − 3 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 − 1 − 3 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 8 5 0 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q6:

Determine a solução geral do sistema com a matriz ampliada 11011042.

  • A 𝑧 = 4 𝑡 − 1 , 𝑦 = 𝑡 , 𝑥 = 2 + 4 𝑡
  • B 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 4 𝑡 , 𝑥 = 4 − 𝑡
  • C 𝑧 = 4 𝑡 − 1 , 𝑦 = 4 𝑡 , 𝑥 = 2 − 𝑡
  • D 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 4 𝑡 + 2 , 𝑥 = 2 − 3 𝑡
  • E 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 4 𝑡 − 1 , 𝑥 = 2 − 4 𝑡

Q7:

Encontre a solução geral do sistema com a matriz aumentada ⎡⎢⎢⎣120220113213⎤⎥⎥⎦.

  • A 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 4 3 + 1 4 𝑡 , 𝑥 = 1 2 − 1 2 𝑡 , onde 𝑡∈ℝ
  • B 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 4 3 − 1 4 𝑡 , 𝑥 = 1 2 − 1 2 𝑡 , onde 𝑡∈ℝ
  • C 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 3 4 − 1 4 𝑡 , 𝑥 = 1 2 + 1 2 𝑡 , onde 𝑡∈ℝ
  • D 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 3 4 + 1 4 𝑡 , 𝑥 = 1 2 + 1 2 𝑡 , onde 𝑡∈ℝ
  • E 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 3 4 + 1 4 𝑡 , 𝑥 = 1 2 − 1 2 𝑡 , onde 𝑡∈ℝ

Q8:

Qual das seguintes matrizes transformaria em forma de escada para resolver o seguinte sistema de equações: 3𝑥−2𝑦+𝑧=3,2𝑥+𝑦−𝑧=1?

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 3 1 − 2 − 1 1 1 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B 3 − 2 1 3 2 1 − 1 1
  • C 3 − 2 1 2 1 − 1
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 3 2 − 2 1 1 − 1 3 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q9:

Encontre a solução geral para o sistema linear 0−121011−25𝑥𝑦𝑧=1−11.

  • A − 1 − 1 0 + 𝑡 2 1 5
  • B 1 − 1 1 + 𝑡 1 2 − 1
  • C − 1 − 1 0 + 𝑡 1 2 − 1
  • D 1 − 1 1 + 𝑡 − 1 2 1
  • E − 1 − 1 0 + 𝑡 − 1 2 1

Q10:

Determine a solução geral do sistema linear ⎡⎢⎢⎣11011−11031123303⎤⎥⎥⎦𝑥𝑦𝑧𝑤=⎡⎢⎢⎣1243⎤⎥⎥⎦.

  • A − 𝑠 − 𝑡 𝑠 − 𝑡 𝑠 𝑡 + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 2 − 1 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 2 − 1 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 4 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 3 2 − 1 2 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑡 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 𝑠 − 1 2 𝑠 − 1 2 𝑡 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 4 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q11:

Determine a solução geral do sistema linear 1−121−213−45𝑥𝑦𝑧=124.

  • A 1 2 4 + 𝑡 1 − 1 − 3
  • B 0 − 1 0 + 𝑡 1 − 1 − 3
  • C 1 2 4 + 𝑡 − 3 − 1 1
  • D 0 − 1 0 + 𝑡 − 3 − 1 1
  • E 0 − 1 0 + 𝑡 − 4 − 2 3

Q12:

Determine a solução geral do sistema linear ⎡⎢⎢⎣1101211210110−111⎤⎥⎥⎦𝑥𝑦𝑧𝑤=⎡⎢⎢⎣2−1−31⎤⎥⎥⎦.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 9 5 0 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 9 5 0 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 − 1 − 3 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 1 1 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 − 1 − 3 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ − 9 5 0 6 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ + 𝑡 ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 0 1 1 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q13:

Determine a solução geral do sistema linear ⎡⎢⎢⎣12321021121443302112⎤⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥⎤⎥⎥⎥⎥⎦=⎡⎢⎢⎣117187⎤⎥⎥⎦.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑢 𝑣 𝑤 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 4 7 2 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 4 7 2 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 𝑢 𝑣 𝑤 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 4 7 2 0 0 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑢 𝑣 𝑤 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 7 1 8 7 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 𝑤 − 𝑣 − 2 𝑢 − 1 2 𝑢 − 1 2 𝑣 − 𝑤 𝑢 𝑣 𝑤 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ + ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 7 1 8 7 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q14:

Considere a matriz 𝐴=10−6−159.

Determine a matriz com as menores entradas inteiras positivas tal que 𝐴𝑋=00.

  • A 𝑋 = 3 5
  • B 𝑋 = 3 5
  • C 𝑋 = 5 3
  • D 𝑋 = 3 5
  • E 𝑋 = 5 3

Determine a matriz com as menores entradas inteiras não negativas, 𝑇, tal que 𝐴𝑇=10−15.

  • A 𝑇 = 1 3
  • B 𝑇 = 5 4
  • C 𝑇 = 4 5
  • D 𝑇 = 4 3
  • E 𝑇 = 3 1

Q15:

Determine a solução do sistema de equações 7𝑥+14𝑦+15𝑧=22, 2𝑥+4𝑦+3𝑧=5, 3𝑥+6𝑦+10𝑧=13, apresentando a resposta em termos de um número real arbitrário 𝑡, se necessário.

  • A 𝑥 = 1 − 3 𝑡 , 𝑧 = − 1 , 𝑦 = 2 𝑡
  • B 𝑥 = 1 + 2 𝑡 , 𝑧 = 1 , 𝑦 = − 𝑡
  • C 𝑥 = 1 + 2 𝑡 , 𝑧 = 1 , 𝑦 = − 𝑡
  • D 𝑥 = 1 − 2 𝑡 , 𝑧 = − 1 , 𝑦 = 𝑡
  • E 𝑥 = 1 − 2 𝑡 , 𝑧 = 1 , 𝑦 = 𝑡

Q16:

Determine a solução do sistema de equações 3𝑥−𝑦+4𝑧=6, 𝑦+8𝑧=0, −2𝑥+𝑦=−4, apresentando a resposta em termos de um número real arbitrário 𝑡, se necessário.

  • A 𝑥 = 2 + 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 8 𝑡
  • B 𝑥 = 2 + 3 𝑡 , 𝑧 = 2 𝑡 , 𝑦 = − 8 𝑡
  • C 𝑥 = 2 − 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = − 8 𝑡
  • D 𝑥 = 2 − 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = 8 𝑡
  • E 𝑥 = 2 + 4 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 , 𝑦 = − 8 𝑡

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