Lição de casa da aula: Divergente e Rotacional em Coordenadas Cartesianas Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a divergência e o rotacional de um campo vetorial em coordenadas cartesianas e discutir seu significado físico.

Q1:

Seja ⃗𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧)=(2π‘₯βˆ’3𝑦)⃗𝑖+3π‘₯(4𝑦)⃗𝑗+π‘¦π‘’βƒ—π‘˜senlnοŠ¨οŠ±οŠ―ο™ um campo vetorial. Qual Γ© o seu divergente?

  • Aβˆ’3(2π‘₯βˆ’3𝑦)+3π‘₯14π‘¦βˆ’9𝑦𝑒cosοŠ¨οŠ±οŠ―ο™
  • B2(2π‘₯βˆ’3𝑦)+3π‘₯14π‘¦βˆ’9𝑦𝑒senοŠ¨ο™
  • Cβˆ’3(2π‘₯βˆ’3𝑦)+3π‘₯1π‘¦βˆ’9𝑦𝑒senοŠ¨οŠ±οŠ―ο™
  • D2(2π‘₯βˆ’3𝑦)+3π‘₯1π‘¦βˆ’9𝑦𝑒cosοŠ¨οŠ±οŠ―ο™
  • Eβˆ’3(2π‘₯βˆ’3𝑦)+3π‘₯14π‘¦βˆ’9𝑦𝑒cosοŠ¨ο™

Q2:

Qual Γ© a expressΓ£o na qual o rotacional do campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯,𝑦)=π‘₯(2𝑦+1)⃗𝑖+π‘₯(2𝑦+1)βƒ—π‘—οŠ©οŠ¨sencos Γ© dado?

  • A2π‘₯(2𝑦+1)ο€Ήπ‘₯βˆ’1ο…βƒ—π‘˜cos
  • B2π‘₯(2𝑦+1)π‘₯βƒ—π‘˜cos
  • C3π‘₯(2𝑦+1)βƒ—π‘–βˆ’2π‘₯(2𝑦+1)βƒ—π‘—οŠ¨οŠ¨sensen
  • D2π‘₯(2𝑦+1)ο€Ήβˆ’π‘₯+1ο…βƒ—π‘˜cos
  • E3π‘₯(2𝑦+1)⃗𝑖+2π‘₯(2𝑦+1)βƒ—π‘—οŠ¨sencos

Q3:

Verdadeiro ou Falso: para qualquer função 𝑓, devemos ter βˆ‡Γ—(βˆ‡π‘“)=βƒ—0.

  • AFalso
  • BVerdadeiro

Q4:

Um campo vetorial Γ© considerado conservador se a sua curvatura for igual a zero (em qualquer ponto). De entre os seguintes campos vetoriais, qual deles Γ© conservador?

  • A2𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘–βˆ’π‘¦π‘’(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘—βˆ’2𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘˜οŠ©ο—οŠ¨οŠ©ο—οŠ¨οŠ©ο—coscossen
  • B𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)⃗𝑖+𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘—βˆ’3𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘˜οŠ¨οŠ©ο—οŠ¨οŠ©ο—οŠ¨οŠ©ο—cossencos
  • C3𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)⃗𝑖+2𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)⃗𝑗+2𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘˜οŠ©ο—οŠ©ο—οŠ©ο—coscossen
  • D3𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)⃗𝑖+2𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘—βˆ’2𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘˜οŠ¨οŠ©ο—οŠ©ο—οŠ¨οŠ©ο—coscossen
  • E3𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘–βˆ’π‘’(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘—βˆ’3𝑦𝑒(2π‘§βˆ’3)βƒ—π‘˜οŠ¨οŠ©ο—οŠ©ο—οŠ¨οŠ©ο—coscossen

Q5:

Qual das expressΓ΅es Γ© o divergente do campo vetorial ⃗𝐹=2π‘₯π‘¦βƒ—π‘–βˆ’5π‘₯π‘¦βƒ—π‘—οŠ©οŠ© dado?

  • Aπ‘₯𝑦(βˆ’5π‘₯+2𝑦)
  • Bπ‘₯𝑦(2π‘₯βˆ’5𝑦)
  • C3π‘₯𝑦(2π‘₯βˆ’5𝑦)
  • D3π‘¦ο€Ήβˆ’5π‘₯+2π‘¦ο…οŠ¨
  • E3π‘₯𝑦(βˆ’5π‘₯+2𝑦)

Q6:

Dado o campo vetorial ⃗𝐺=(π‘₯+𝑦)⃗𝑖+(π‘₯βˆ’π‘¦)⃗𝑗cossen, qual Γ© a sua divergΓͺncia em ο€Ό3πœ‹2,βˆ’πœ‹2?

Q7:

Sejam ⃗𝐴 e ⃗𝐡 dois campos vetoriais arbitrΓ‘rios. Qual das seguintes quantidades nΓ£o estΓ‘ definida?

  • Aο€Ίβˆ‡Γ—βƒ—π΄ο†Γ—βƒ—π΅
  • Bβˆ‡β‹…ο€Ίβˆ‡Γ—ο€Ίβƒ—π΅Γ—βƒ—π΄ο†ο†
  • Cβˆ‡Γ—ο€Ίβˆ‡β‹…ο€Ίβƒ—π΅Γ—βƒ—π΄ο†ο†
  • Dβˆ‡β‹…ο€Ίο€Ίβˆ‡Γ—βƒ—π΄ο†Γ—ο€Ίβˆ‡Γ—βƒ—π΅ο†ο†
  • Eο€Ίβˆ‡Γ—ο€Ίβˆ‡Γ—βƒ—π΅ο†ο†Γ—ο€Ίβˆ‡Γ—βƒ—π΄ο†

Q8:

Qual Γ© o rotacional do campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=𝑒⃗𝑖+11(𝑧)⃗𝑗+π‘₯π‘¦βƒ—π‘˜οŠ¨ο—οŠ±οŠ©ο˜οŠ©οŠ©ln no ponto (0,0,1)?

  • A2⃗𝑖+11⃗𝑗
  • B2βƒ—π‘—βˆ’11βƒ—π‘˜
  • Cβˆ’3βƒ—π‘˜
  • Dβˆ’11⃗𝑖+3βƒ—π‘˜
  • Eβˆ’11βƒ—π‘—βˆ’3βƒ—π‘˜

Q9:

Para quaisquer dois campos vetoriais ⃗𝐹 e ⃗𝐺, Γ© verdade que βˆ‡β‹…ο€Ίβƒ—πΉ+⃗𝐺=βˆ‡β‹…βƒ—πΉ+βˆ‡β‹…βƒ—πΊ?

  • ASim
  • BNΓ£o

Q10:

Verdadeiro ou Falso: para qualquer campo vetorial ⃗𝐹, temos βˆ‡β‹…ο€Ίπ‘Žβƒ—πΉο†=π‘Žο€Ίβˆ‡β‹…βƒ—πΉο†, em que π‘Ž Γ© um nΓΊmero real.

  • AFalso
  • BVerdadeiro

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