Atividade: Equação de uma Parábola

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a equação de uma parábola utilizando um ponto de foco e uma equação diretriz ou um ponto de vértice e uma equação diretriz.

Q1:

Encontre a equação de uma parábola com um foco de ( 1 , 3 ) e uma diretriz de 𝑦 = 5 . Dê sua resposta na forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 .

  • A 𝑦 = 1 2 𝑥 1 4 𝑥 1 5 4
  • B 𝑦 = 1 2 𝑥 + 1 4 𝑥 + 1 5 4
  • C 𝑦 = 1 4 𝑥 + 1 2 𝑥 + 1 5 4
  • D 𝑦 = 1 4 𝑥 + 1 2 𝑥 1 5 4
  • E 𝑦 = 1 2 𝑥 + 𝑥 1 5 4

Q2:

A figura mostra a parábola 𝑥 = 2 𝑦 1 6 𝑦 + 2 2 2 com seu vértice 𝑉 marcado.

Quais são as coordenadas de 𝑉 ?

  • A ( 4 , 1 0 )
  • B ( 6 , 4 )
  • C ( 4 , 6 )
  • D ( 1 0 , 4 )
  • E ( 4 , 1 0 )

Q3:

Encontre a equação de uma parábola com um foco de (2, 2) e uma diretriz de 𝑦 = 1 . Dê sua resposta na forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 2 .

  • A 𝑦 = 1 6 𝑥 3 2 𝑥 + 1 6 2
  • B 𝑦 = 1 6 𝑥 + 2 3 𝑥 + 7 6 2
  • C 𝑦 = 1 6 𝑥 3 2 𝑥 + 1 6 2
  • D 𝑦 = 1 6 𝑥 2 3 𝑥 + 7 6 2
  • E 𝑦 = 1 3 𝑥 4 3 𝑥 + 7 6 2

Q4:

Encontre a equação da parábola com foco ( 3 , 2 ) e diretriz 𝑦 = 3 2 . Dê sua resposta na forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 .

  • A 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 + 4 3 4
  • B 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 + 4 3 4
  • C 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 2 1 2
  • D 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 4 3 3
  • E 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 2 1 2

Q5:

Considere o gráfico:

Qual das seguintes opções poderá ser a equação da parábola?

  • A 𝑦 = ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 5 )
  • B 𝑦 = ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 + 5 )
  • C 𝑦 = ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 5 )
  • D 𝑦 = ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 + 5 )
  • E 𝑦 = ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 5 )

Q6:

Se pretendemos construir um espelho num farol de um automóvel que tem uma secção transversal parabólica com uma lâmpada no foco e o foco está localizado a (0; 0,25), qual deverá ser a equação da parábola?

  • A 𝑦 = 𝑥
  • B 𝑥 = 0 , 2 5 𝑦
  • C 𝑦 = 0 , 2 5 𝑥
  • D 𝑥 = 𝑦
  • E 𝑦 = 4 𝑥

Q7:

O espelho num farol de um automóvel tem uma uma secção transversal parabólica com uma lâmpada no foco. Num esquema, a equação da parábola é dada por 𝑥 = 4 𝑦 . Em que coordenadas deverá colocar a lâmpada?

  • A ( 1 , 0 )
  • B ( 0 , 1 )
  • C ( 1 , 0 )
  • D ( 0 , 1 )
  • E ( 2 , 1 )

Q8:

Uma antena parabólica tem a forma de um paraboloide de revolução. Isto significa que pode ser formada por rotação de uma parábola em torno de um eixo de simetria. O recetor localiza-se no foco. Se a antena tem 12 pés de diâmetro na sua abertura e 4 pés de profundidade no seu centro, a que distância deve o recetor ser colocado acima do vértice?

Q9:

Uma antena parabólica tem a forma de um paraboloide de revolução. Isto significa que pode ser formada por rotação uma parábola em torno de um eixo de simetria. O recetor é para ser colocado no foco. Se a antena tem 8 pés de diâmetro na abertura e 2 pés de profundidade, a que distância deve ser colocado o recetor acima do vértice?

Q10:

Um arco tem a forma de uma parábola. Tem uma largura máxima de 100 pés e uma altura máxima de 20 pés. Determine a equação da parábola e determine a altura do arco a 40 pés do centro.

  • A 𝑥 = 4 ( 3 1 , 2 5 𝑦 2 0 ) , = 1 3 , 4 4 p é s
  • B 𝑥 = 1 2 5 𝑦 , = 1 2 , 8 p é s
  • C 𝑥 = 1 2 5 𝑦 2 0 , = 1 2 , 9 6 p é s
  • D 𝑥 = 1 2 5 ( 𝑦 2 0 ) , = 7 , 2 p é s
  • E 𝑥 = 1 2 5 𝑦 2 0 , = 7 , 2 p é s

Q11:

Um arco em forma de parábola tem uma extensão de 160 pés e uma altura máxima de 40 pés. Encontre a equação da parábola. A que distância do centro está o arco de altura 20 pés?

  • A 𝑥 = 1 6 0 ( 𝑦 + 4 0 ) , 𝑥 = 4 0 6 pés
  • B 𝑥 = 1 6 0 𝑦 , 𝑥 = 4 0 2 pés
  • C 𝑦 = 1 6 0 ( 𝑥 4 0 ) , 𝑥 = 3 7 , 5 pés
  • D 𝑥 = 1 6 0 ( 𝑦 4 0 ) , 𝑥 = 4 0 2 pés
  • E 𝑥 = 4 ( 4 0 𝑦 4 0 ) , 𝑥 = 4 2 1 0 pés

Q12:

A figura dada mostra uma parábola com um foco de ( 𝑎 , 𝑏 ) , uma diretriz em 𝑦 = 𝑘 , e um ponto geral ( 𝑥 , 𝑦 ) .

Encontre uma expressão para o comprimento da reta de ( 𝑥 , 𝑦 ) para o foco.

  • A ( 𝑥 + 𝑎 ) + ( 𝑦 + 𝑏 )
  • B ( 𝑥 𝑎 ) ( 𝑦 𝑏 )
  • C ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 )
  • D ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 )
  • E ( 𝑥 + 𝑎 ) + ( 𝑦 + 𝑏 )

Escreva uma expressão para a distância entre ( 𝑥 , 𝑦 ) e a diretriz 𝑦 = 𝑘 .

  • A 𝑦 𝑘
  • B 𝑥 + 𝑘
  • C 𝑥 𝑘
  • D 𝑦 + 𝑘
  • E ( 𝑦 𝑘 )

Equacione as duas expressões e eleve ambos os lados ao quadrado.

  • A ( 𝑥 𝑏 ) ( 𝑦 𝑎 ) = ( 𝑦 + 𝑘 )
  • B ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 ) = ( 𝑦 + 𝑘 )
  • C ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 ) = ( 𝑦 𝑘 )
  • D ( 𝑥 𝑏 ) + ( 𝑦 𝑎 ) = ( 𝑦 𝑘 )
  • E ( 𝑥 𝑎 ) ( 𝑦 𝑏 ) = ( 𝑦 𝑘 )

Expandir e simplificar as expressões excluindo ( 𝑥 𝑎 ) e, em seguida, isole 𝑦 e simplifique.

  • A 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 𝑘 + 𝑏 + 𝑘
  • B 𝑦 = ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 + 𝑘 𝑏 + 𝑘
  • C 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 𝑘 𝑏 + 𝑘
  • D 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 𝑘 + 𝑏 𝑘
  • E 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 + 𝑘 + 𝑏 𝑘

Q13:

Complete a seguinte definição: Uma parábola é definida como o conjunto de todos os pontos um ponto fixo chamado de foco e uma reta fixa chamada diretriz.

  • A centrado entre
  • B a uma determinada distância de
  • C com um raio de
  • D equidistante de
  • E com um diâmetro de

Q14:

O diagrama mostra uma parábola que é simétrica em relação a O 𝑥 e cujo vértice está na origem. A sua equação cartesiana é 𝑦 = 4 𝑝 𝑥 , em que 𝑝 é uma constante positiva. O foco da parábola é o ponto ( 𝑝 , 0 ) e a diretriz é a reta de equação 𝑥 + 𝑝 = 0 .

Determine a equação cartesiana da parábola cujo foco é o ponto 3 2 , 0 e cuja diretriz é a reta 𝑥 + 3 2 = 0 .

  • A 𝑦 = 6 𝑥
  • B 𝑦 = 3 2 𝑥
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥
  • D 𝑦 = 6 𝑥
  • E 𝑦 = 1 2 𝑥

Q15:

A figura dada mostra uma parábola com um foco de (3, 2), uma diretriz no 𝑦 = 1 , e um ponto geral ( 𝑥 , 𝑦 ) .

Encontre uma expressão para o comprimento da reta a partir do ponto ( 𝑥 , 𝑦 ) para o ponto (3, 2).

  • A ( 𝑥 2 ) + ( 𝑦 3 )
  • B ( 𝑥 3 ) ( 𝑦 2 )
  • C ( 𝑥 2 ) ( 𝑦 3 )
  • D ( 𝑥 3 ) + ( 𝑦 2 )
  • E ( 𝑥 3 ) + ( 𝑦 2 )

Escreva uma expressão para a distância entre ( 𝑥 , 𝑦 ) e a diretriz 𝑦 = 1 .

  • A 𝑦 1
  • B 𝑥 + ( 𝑦 1 )
  • C 𝑥 1
  • D 𝑥 ( 𝑦 1 )
  • E ( 𝑦 1 )

Ao equacionar as duas expressões de ( 𝑎 ) e ( 𝑏 ) , calcule uma equação para a parábola. Dê sua resposta na forma 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 .

  • A 𝑦 = 1 6 𝑥 𝑥 + 2
  • B 𝑦 = 1 2 𝑥 3 𝑥 + 7
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥 3 𝑥 + 6
  • D 𝑦 = 1 2 𝑥 + 3 𝑥 + 6
  • E 𝑦 = 1 2 𝑥 + 3 𝑥 + 7

Q16:

O diagrama mostra uma parábola que é simétrica em relação ao eixo O 𝑥 e cujo vértice está na origem. A sua equação cartesiana é 𝑦 = 4 𝑝 𝑥 2 , em que 𝑝 é uma constante positiva. O foco da parábola é o ponto ( 𝑝 , 0 ) e a diretriz é a reta com equação 𝑥 = 𝑝 .

Considere a parábola de equação cartesiana 𝑦 = 1 4 𝑥 2 .

Quais são as coordenadas do foco da parábola de equação cartesiana 𝑦 = 1 4 𝑥 2 ?

  • A 7 2 , 0
  • B 0 , 7 2
  • C 0 , 7 2
  • D 7 2 , 0
  • E ( 1 4 , 0 )

Escreva a equação da sua diretriz.

  • A 𝑥 = 7 2
  • B 𝑥 = 1 4
  • C 𝑥 = 1 4
  • D 𝑥 = 7 2
  • E 𝑥 = 7

Q17:

O diagrama mostra uma parábola que é simétrica em relação a O 𝑦 e cujo vértice está na origem. A sua equação cartesiana é 𝑥 = 4 𝑝 𝑦 2 , em que 𝑝 é uma constante positiva. O foco da parábola é o ponto ( 0 , 𝑝 ) e a diretriz é a reta de equação 𝑦 = 𝑝 .

Determine a equação cartesiana da parábola cujo foco é o ponto 0 , 5 4 e cuja diretriz é a reta 𝑦 = 5 4 .

  • A 𝑥 = 5 𝑦 2
  • B 𝑦 = 5 4 𝑥 2
  • C 𝑥 = 2 0 𝑦 2
  • D 𝑥 = 5 𝑦 2
  • E 𝑥 = 2 0 𝑦 2

Q18:

Encontre o foco e a diretriz da parábola 𝑦 = 2 𝑥 + 5 𝑥 + 4 2 .

  • A foco: 4 5 , 1 , diretriz: 𝑦 = 3 4
  • B foco: 5 4 , 1 , diretriz: 𝑦 = 4 3
  • C foco: 4 4 , 1 , diretriz: 𝑦 = 3 4
  • D foco: 5 4 , 1 , diretriz: 𝑦 = 3 4
  • E foco: 5 4 , 1 , diretriz: 𝑦 = 4 3

Q19:

Uma parábola tem a equação 𝑥 = 3 2 𝑦 2 .

Quais são as coordenadas do seu foco?

  • A ( 0 , 6 )
  • B 3 8 , 0
  • C ( 6 , 0 )
  • D 0 , 3 8
  • E 0 , 3 2

Escreva uma equação para a sua diretriz.

  • A 𝑦 + 3 8 = 0
  • B 𝑦 6 = 0
  • C 𝑦 + 6 = 0
  • D 𝑦 3 8 = 0
  • E 𝑦 + 3 2 = 0

Q20:

Uma parábola tem equação 𝑥 = 2 2 𝑦 2 .

Quais são as coordenadas do seu foco?

  • A 0 , 8 2
  • B 2 2 , 0
  • C 8 2 , 0
  • D 0 , 2 2
  • E 0 , 2 2

Escreva uma equação para a sua diretriz.

  • A 𝑦 + 2 2 = 0
  • B 𝑦 8 2 = 0
  • C 𝑦 + 8 2 = 0
  • D 𝑦 2 2 = 0
  • E 𝑦 + 2 2 = 0

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