Atividade: Equação de uma Parábola

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a equação de uma parábola utilizando um ponto de foco e uma equação diretriz ou um ponto de vértice e uma equação diretriz.

Q1:

Encontre a equação de uma parábola com um foco de (1,3) e uma diretriz de 𝑦=5. Dê sua resposta na forma 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐.

  • A 𝑦 = 1 2 𝑥 1 4 𝑥 1 5 4
  • B 𝑦 = 1 4 𝑥 + 1 2 𝑥 1 5 4
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥 + 𝑥 1 5 4
  • D 𝑦 = 1 2 𝑥 + 1 4 𝑥 + 1 5 4
  • E 𝑦 = 1 4 𝑥 + 1 2 𝑥 + 1 5 4

Q2:

A figura mostra a parábola 𝑥=2𝑦16𝑦+22 com seu vértice 𝑉 marcado.

Quais são as coordenadas de 𝑉?

  • A ( 1 0 , 4 )
  • B ( 4 , 6 )
  • C ( 4 , 1 0 )
  • D ( 4 , 1 0 )
  • E ( 6 , 4 )

Q3:

Encontre a equação de uma parábola com um foco de (2, 2) e uma diretriz de 𝑦=1. Dê sua resposta na forma 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐.

  • A 𝑦 = 1 6 𝑥 3 2 𝑥 + 1 6
  • B 𝑦 = 1 6 𝑥 2 3 𝑥 + 7 6
  • C 𝑦 = 1 6 𝑥 + 2 3 𝑥 + 7 6
  • D 𝑦 = 1 3 𝑥 4 3 𝑥 + 7 6
  • E 𝑦 = 1 6 𝑥 3 2 𝑥 + 1 6

Q4:

Encontre a equação da parábola com foco (3,2) e diretriz 𝑦=32. Dê sua resposta na forma 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐.

  • A 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 2 1 2
  • B 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 2 1 2
  • C 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 4 3 3
  • D 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 + 4 3 4
  • E 𝑦 = 𝑥 + 6 𝑥 + 4 3 4

Q5:

Considere o gráfico:

Qual das seguintes opções poderá ser a equação da parábola?

  • A 𝑦 = ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 + 5 )
  • B 𝑦 = ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 5 )
  • C 𝑦 = ( 𝑥 + 1 ) ( 𝑥 + 5 )
  • D 𝑦 = ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 5 )
  • E 𝑦 = ( 𝑥 1 ) ( 𝑥 5 )

Q6:

Se pretendemos construir um espelho num farol de um automóvel que tem uma secção transversal parabólica com uma lâmpada no foco e o foco está localizado a (0; 0,25), qual deverá ser a equação da parábola?

  • A 𝑦 = 𝑥
  • B 𝑦 = 0 , 2 5 𝑥
  • C 𝑥 = 0 , 2 5 𝑦
  • D 𝑦 = 4 𝑥
  • E 𝑥 = 𝑦

Q7:

O espelho num farol de um automóvel tem uma uma secção transversal parabólica com uma lâmpada no foco. Num esquema, a equação da parábola é dada por 𝑥=4𝑦. Em que coordenadas deverá colocar a lâmpada?

  • A ( 1 , 0 )
  • B ( 0 , 1 )
  • C ( 1 , 0 )
  • D ( 2 , 1 )
  • E ( 0 , 1 )

Q8:

Uma antena parabólica tem a forma de um paraboloide de revolução. Isto significa que pode ser formada por rotação de uma parábola em torno de um eixo de simetria. O recetor localiza-se no foco. Se a antena tem 12 pés de diâmetro na sua abertura e 4 pés de profundidade no seu centro, a que distância deve o recetor ser colocado acima do vértice?

Q9:

Uma antena parabólica tem a forma de um paraboloide de revolução. Isto significa que pode ser formada por rotação uma parábola em torno de um eixo de simetria. O recetor é para ser colocado no foco. Se a antena tem 8 pés de diâmetro na abertura e 2 pés de profundidade, a que distância deve ser colocado o recetor acima do vértice?

Q10:

Um arco tem a forma de uma parábola. Tem uma largura máxima de 100 pés e uma altura máxima de 20 pés. Determine a equação da parábola e determine a altura do arco a 40 pés do centro.

  • A 𝑥 = 4 ( 3 1 , 2 5 𝑦 2 0 ) , = 1 3 , 4 4 p é s
  • B 𝑥 = 1 2 5 𝑦 , = 1 2 , 8 p é s
  • C 𝑥 = 1 2 5 ( 𝑦 2 0 ) , = 7 , 2 p é s
  • D 𝑥 = 1 2 5 𝑦 2 0 , = 1 2 , 9 6 p é s
  • E 𝑥 = 1 2 5 𝑦 2 0 , = 7 , 2 p é s

Q11:

Um arco em forma de parábola tem uma extensão de 160 pés e uma altura máxima de 40 pés. Encontre a equação da parábola. A que distância do centro está o arco de altura 20 pés?

  • A 𝑥 = 1 6 0 ( 𝑦 4 0 ) , 𝑥 = 4 0 2 pés
  • B 𝑥 = 1 6 0 ( 𝑦 + 4 0 ) , 𝑥 = 4 0 6 pés
  • C 𝑥 = 4 ( 4 0 𝑦 4 0 ) , 𝑥 = 4 2 1 0 pés
  • D 𝑦 = 1 6 0 ( 𝑥 4 0 ) , 𝑥 = 3 7 , 5 pés
  • E 𝑥 = 1 6 0 𝑦 , 𝑥 = 4 0 2 pés

Q12:

O diagrama mostra uma parábola com um eixo horizontal cujo vértice é (,𝑘). O foco 𝐹, a diretriz 𝑑 e um ponto (𝑥,𝑦) na parábola estão identificados.

A distância do vértice ao foco é igual à distância do vértice à diretriz. Seja esta distância 𝑝.

Escreva as coordenadas do foco em ordem a , 𝑝 e 𝑘.

  • A ( 𝑝 , 𝑘 )
  • B ( + 𝑝 , 𝑘 )
  • C ( 𝑘 , + 𝑝 )
  • D ( 𝑘 , 𝑝 )
  • E ( + 𝑝 , 𝑘 )

Escreva uma expressão para a distância do ponto (𝑥,𝑦) ao foco.

  • A ( 𝑥 𝑘 ) + ( 𝑦 ( 𝑝 ) )
  • B ( 𝑥 ( + 𝑝 ) ) + ( 𝑦 + 𝑘 )
  • C ( 𝑥 ( 𝑝 ) ) + ( 𝑦 𝑘 )
  • D ( 𝑥 ( + 𝑝 ) ) + ( 𝑦 𝑘 )
  • E ( 𝑥 𝑘 ) + ( 𝑦 ( + 𝑝 ) )

Escreva uma equação para a diretriz.

  • A 𝑥 = 𝑝
  • B 𝑥 = 𝑝
  • C 𝑥 = 𝑝
  • D 𝑥 = + 𝑝
  • E 𝑥 = 𝑝

Escreva uma expressão para a distância entre o ponto (𝑥,𝑦) e a diretriz.

  • A 𝑥 ( 𝑝 )
  • B 𝑥 + ( + 𝑝 )
  • C 𝑥 + ( 𝑝 )
  • D 𝑥 ( + 𝑝 )
  • E 𝑥 ( 𝑝 )

Uma parábola pode ser definida como a curva dos pontos que estão equidistantes de uma reta fixa (a diretriz) e um ponto fixo que não pertence à reta (o foco).

Igualando as expressões anteriores, colocando-as ao quadrado e manipulando-as algebricamente, escreva uma equação para (𝑦𝑘) em ordem a 𝑥, 𝑝 e que descreva a parábola.

  • A ( 𝑦 𝑘 ) = 𝑝 ( 𝑥 )
  • B ( 𝑦 + 𝑘 ) = 𝑝 ( 𝑥 + )
  • C ( 𝑦 + 𝑘 ) = 4 𝑝 ( 𝑥 + )
  • D ( 𝑦 𝑘 ) = 4 𝑝 ( 𝑥 )
  • E ( 𝑦 ) = 4 𝑝 ( 𝑥 𝑘 )

Q13:

Considere a parábola cujo vértice é o ponto (5,4) e cuja diretriz é a reta 𝑥=1.

Qual é a distância do vértice à diretriz?

  • A1
  • B4
  • C6
  • D5
  • E9

Encontre uma equação para a parábola.

  • A ( 𝑦 4 ) = 1 6 ( 𝑥 + 5 )
  • B ( 𝑦 + 4 ) = 1 6 ( 𝑥 5 )
  • C ( 𝑦 4 ) = 2 0 ( 𝑥 + 5 )
  • D ( 𝑦 4 ) = 4 ( 𝑥 + 5 )
  • E ( 𝑦 + 4 ) = 2 0 ( 𝑥 5 )

Q14:

Escreva uma equação para a parábola cujo foco é o ponto (4,3) e cuja diretriz é a reta 𝑥=0.

  • A ( 𝑦 + 3 ) = 8 ( 𝑥 + 4 )
  • B ( 𝑦 + 3 ) = 2 ( 𝑥 + 2 )
  • C ( 𝑦 3 ) = 8 ( 𝑥 4 )
  • D ( 𝑦 + 3 ) = 8 ( 𝑥 + 2 )
  • E ( 𝑦 3 ) = 8 ( 𝑥 2 )

Q15:

Determine uma equação da parábola cujo foco é o ponto (5,1) e cuja diretriz é a reta 𝑦+12=0.

  • A ( 𝑥 + 5 ) = 1 4 ( 𝑦 + 1 )
  • B ( 𝑥 5 ) = 2 2 ( 2 𝑦 1 )
  • C ( 𝑥 5 ) = 1 4 ( 𝑦 1 )
  • D ( 𝑥 + 5 ) = 1 2 ( 𝑦 + 1 )
  • E ( 𝑥 + 5 ) = 2 2 ( 𝑦 + 1 )

Q16:

A figura dada mostra uma parábola com um foco de (𝑎,𝑏), uma diretriz em 𝑦=𝑘, e um ponto geral (𝑥,𝑦).

Encontre uma expressão para o comprimento da reta de (𝑥,𝑦) para o foco.

  • A ( 𝑥 𝑎 ) ( 𝑦 𝑏 )
  • B ( 𝑥 + 𝑎 ) + ( 𝑦 + 𝑏 )
  • C ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 )
  • D ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 )
  • E ( 𝑥 + 𝑎 ) + ( 𝑦 + 𝑏 )

Escreva uma expressão para a distância entre (𝑥,𝑦) e a diretriz 𝑦=𝑘.

  • A 𝑥 + 𝑘
  • B ( 𝑦 𝑘 )
  • C 𝑥 𝑘
  • D 𝑦 + 𝑘
  • E 𝑦 𝑘

Equacione as duas expressões e eleve ambos os lados ao quadrado.

  • A ( 𝑥 𝑏 ) + ( 𝑦 𝑎 ) = ( 𝑦 𝑘 )
  • B ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 ) = ( 𝑦 𝑘 )
  • C ( 𝑥 𝑎 ) ( 𝑦 𝑏 ) = ( 𝑦 𝑘 )
  • D ( 𝑥 𝑏 ) ( 𝑦 𝑎 ) = ( 𝑦 + 𝑘 )
  • E ( 𝑥 𝑎 ) + ( 𝑦 𝑏 ) = ( 𝑦 + 𝑘 )

Expandir e simplificar as expressões excluindo (𝑥𝑎) e, em seguida, isole 𝑦 e simplifique.

  • A 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 𝑘 + 𝑏 𝑘
  • B 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 𝑘 + 𝑏 + 𝑘
  • C 𝑦 = ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 + 𝑘 𝑏 + 𝑘
  • D 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 𝑘 𝑏 + 𝑘
  • E 𝑦 = 1 2 ( 𝑥 𝑎 ) 𝑏 + 𝑘 + 𝑏 𝑘

Q17:

Escreva uma equação para a parábola cujo foco é o ponto 0,23 e cuja diretriz é a reta 𝑦=23.

  • A 𝑥 = 2 3 𝑦
  • B 𝑥 = 2 1 2 𝑦
  • C 𝑦 = 4 2 3 𝑥
  • D 𝑦 = 2 1 2 𝑥
  • E 𝑥 = 4 2 3 𝑦

Q18:

Complete a seguinte definição: Uma parábola é definida como o conjunto de todos os pontos um ponto fixo chamado de foco e uma reta fixa chamada diretriz.

  • A equidistante de
  • B com um raio de
  • C centrado entre
  • D com um diâmetro de
  • E a uma determinada distância de

Q19:

O diagrama mostra uma parábola que é simétrica em relação a O𝑥 e cujo vértice está na origem. A sua equação cartesiana é 𝑦=4𝑝𝑥, em que 𝑝 é uma constante positiva. O foco da parábola é o ponto (𝑝,0) e a diretriz é a reta de equação 𝑥+𝑝=0.

Determine a equação cartesiana da parábola cujo foco é o ponto 32,0 e cuja diretriz é a reta 𝑥+32=0.

  • A 𝑦 = 1 2 𝑥
  • B 𝑦 = 3 2 𝑥
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥
  • D 𝑦 = 6 𝑥
  • E 𝑦 = 6 𝑥

Q20:

A figura dada mostra uma parábola com um foco de (3, 2), uma diretriz no 𝑦=1, e um ponto geral (𝑥,𝑦).

Encontre uma expressão para o comprimento da reta a partir do ponto (𝑥,𝑦) para o ponto (3, 2).

  • A ( 𝑥 3 ) ( 𝑦 2 )
  • B ( 𝑥 3 ) + ( 𝑦 2 )
  • C ( 𝑥 3 ) + ( 𝑦 2 )
  • D ( 𝑥 2 ) ( 𝑦 3 )
  • E ( 𝑥 2 ) + ( 𝑦 3 )

Escreva uma expressão para a distância entre (𝑥,𝑦) e a diretriz 𝑦=1.

  • A ( 𝑦 1 )
  • B 𝑦 1
  • C 𝑥 ( 𝑦 1 )
  • D 𝑥 + ( 𝑦 1 )
  • E 𝑥 1

Ao equacionar as duas expressões de (𝑎) e (𝑏), calcule uma equação para a parábola. Dê sua resposta na forma 𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑐.

  • A 𝑦 = 1 6 𝑥 𝑥 + 2
  • B 𝑦 = 1 2 𝑥 + 3 𝑥 + 7
  • C 𝑦 = 1 2 𝑥 3 𝑥 + 7
  • D 𝑦 = 1 2 𝑥 + 3 𝑥 + 6
  • E 𝑦 = 1 2 𝑥 3 𝑥 + 6

Q21:

O diagrama mostra uma parábola que é simétrica em relação ao eixo O𝑥 e cujo vértice está na origem. A sua equação cartesiana é 𝑦=4𝑝𝑥, em que 𝑝 é uma constante positiva. O foco da parábola é o ponto (𝑝,0) e a diretriz é a reta com equação 𝑥=𝑝.

Considere a parábola de equação cartesiana 𝑦=14𝑥.

Quais são as coordenadas do foco da parábola de equação cartesiana 𝑦=14𝑥?

  • A 0 , 7 2
  • B 7 2 , 0
  • C 7 2 , 0
  • D 0 , 7 2
  • E ( 1 4 , 0 )

Escreva a equação da sua diretriz.

  • A 𝑥 = 7
  • B 𝑥 = 1 4
  • C 𝑥 = 1 4
  • D 𝑥 = 7 2
  • E 𝑥 = 7 2

Q22:

O diagrama mostra uma parábola que é simétrica em relação a O𝑦 e cujo vértice está na origem. A sua equação cartesiana é 𝑥=4𝑝𝑦, em que 𝑝 é uma constante positiva. O foco da parábola é o ponto (0,𝑝) e a diretriz é a reta de equação 𝑦=𝑝.

Determine a equação cartesiana da parábola cujo foco é o ponto 0,54 e cuja diretriz é a reta 𝑦=54.

  • A 𝑥 = 2 0 𝑦
  • B 𝑦 = 5 4 𝑥
  • C 𝑥 = 2 0 𝑦
  • D 𝑥 = 5 𝑦
  • E 𝑥 = 5 𝑦

Q23:

Encontre o foco e a diretriz da parábola 𝑦=2𝑥+5𝑥+4.

  • A foco: 54,1, diretriz: 𝑦=43
  • B foco: 44,1, diretriz: 𝑦=34
  • C foco: 54,1, diretriz: 𝑦=34
  • D foco: 45,1, diretriz: 𝑦=34
  • E foco: 54,1, diretriz: 𝑦=43

Q24:

Uma parábola tem a equação 𝑥=32𝑦.

Quais são as coordenadas do seu foco?

  • A 3 8 , 0
  • B 0 , 3 2
  • C ( 0 , 6 )
  • D ( 6 , 0 )
  • E 0 , 3 8

Escreva uma equação para a sua diretriz.

  • A 𝑦 + 6 = 0
  • B 𝑦 6 = 0
  • C 𝑦 + 3 2 = 0
  • D 𝑦 + 3 8 = 0
  • E 𝑦 3 8 = 0

Q25:

Uma parábola tem equação 𝑥=22𝑦.

Quais são as coordenadas do seu foco?

  • A 0 , 2 2
  • B 2 2 , 0
  • C 0 , 2 2
  • D 8 2 , 0
  • E 0 , 8 2

Escreva uma equação para a sua diretriz.

  • A 𝑦 8 2 = 0
  • B 𝑦 + 2 2 = 0
  • C 𝑦 2 2 = 0
  • D 𝑦 + 8 2 = 0
  • E 𝑦 + 2 2 = 0

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