Atividade: Centro de Gravidade de Partículas num Plano

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a posição do centro de gravidade (ou centro de massa) de um conjunto de partículas organizadas num plano bidimensional.

Q1:

A figura mostra três pesos organizados num triângulo retângulo de lado 12 cm. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A 2 9 5 , 1 1 3
  • B 1 3 3 5 , 3 1 5
  • C 1 1 3 , 2 9 5
  • D 3 1 5 , 1 3 3 5

Q2:

Um losango 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 no qual 𝐴 𝐶 = 2 𝐵 𝐷 = 8 c m em que o ponto 𝐴 está localizado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, 𝐵 está na origem e o ponto 𝐷 está no eixo 𝑥 . Massas de 4 g, 3 g, 6 g, e 10 g estão ligadas nos vértices 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 e 𝐷 respectivamente. Encontre as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A 6 0 2 3 , 4 0 1 9
  • B 2 0 7 , 4 0 2 3
  • C 6 0 2 9 , 4 1 3
  • D 6 0 2 3 , 8 2 3

Q3:

O triângulo equilátero 𝐴 𝐵 𝐶 na figura tem um comprimento lateral de 36 cm. O ponto 𝐷 é a interseção de suas medianas (seu centro) e 𝐸 é o ponto médio de 𝐵 𝐶 . Massas de magnitudes 15 g, 27 g, 40 g, 12 g, e 50 g são fixadas nos pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 , e 𝐸 respectivamente. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A 1 1 9 8 , 3 2
  • B 1 9 3 8 , 1 3 1 8
  • C 3 2 , 1 1 9 8
  • D 1 3 1 8 , 1 9 3 8

Q4:

A figura mostra um sistema de massas pontuais colocadas nos vértices de um triângulo. A massa colocada em cada ponto é detalhada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição 𝐴 𝐵 𝐶
Massa 13 kg 6 kg 15 kg
  • A 6 9 1 7 , 6 9 1 7
  • B 2 4 1 7 , 4 5 1 7
  • C 6 9 1 7 , 4 5 1 7
  • D 4 5 1 7 , 2 4 1 7

Q5:

A figura mostra um sistema de pontos de massa. A massa colocada em cada ponto está apresentada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição 𝐴 𝐶 𝐸 𝐹
Massa 9 kg 5 kg 4 kg 3 kg
  • A 9 0 7 , 6
  • B 3 2 7 , 9
  • C 6 , 9 0 7
  • D 9 , 3 2 7

Q6:

Um triângulo equilátero 𝐴 𝐵 𝐶 de comprimento lateral 10 cm. Os pontos 𝐷 , 𝐸 , e 𝐹 são os pontos médios de 𝐵 𝐶 , 𝐶 𝐴 , e 𝐴 𝐵 , respectivamente. Pesos de 7 kg, 9 kg, 5 kg, 2 kg, 3 kg, e 4 kg são colocados nos pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 , 𝐸 , e 𝐹 , respectivamente. Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema.

  • A 2 3 4 , 2 1 3 1 0
  • B 2 7 4 , 7 3 3
  • C 1 3 2 , 2 9 3 1 0
  • D 1 7 4 , 7 3 4

Q7:

A figura mostra um sistema de pontos de massa colocados nos vértices de um hexágono com lado de medida 𝑙 . A massa colocada em cada ponto está indicada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição em 𝐴 em 𝐹 em 𝐷 em 𝐶
Massa 18 g 26 g 6 g 30 g
  • A 1 5 𝑙 , 3 1 0 𝑙
  • B 3 2 0 𝑙 , 1 1 0 𝑙
  • C 3 1 0 𝑙 , 1 5 𝑙
  • D 1 1 0 𝑙 , 3 2 0 𝑙

Q8:

Um retângulo, 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 , em que 𝐴 𝐵 = 2 2 c m e 𝐵 𝐶 = 2 6 c m . Quatro massas de 6, 7, 5 e 9 g foram colocadas nos vértices 𝐴 , 𝐷 , 𝐵 e 𝐶 respetivamente. Outra massa de 8 gramas está fixada no ponto médio de 𝐴 𝐷 . Determine as coordenadas do centro de massa do sistema.

  • A 7 8 7 , 5 5 7
  • B 5 2 5 , 6 6 5
  • C 9 1 5 , 5 2 8 3 5
  • D 7 8 7 , 6 6 5

Q9:

Um quadrado 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 tem um comprimento lateral de 70 cm. Quando quatro massas iguais são colocadas nos vértices do quadrado, o centro de massa do sistema é 𝐺 . Quando a massa no vértice 𝐴 é removida, o centro de massa do sistema é 𝐺 . Encontre as coordenadas do centro de massa dos dois sistemas 𝐺 e 𝐺 .

  • A 𝐺 ( 3 5 , 3 5 ) , 𝐺 3 5 , 7 0 3
  • B 𝐺 ( 3 5 , 7 0 ) , 𝐺 7 0 3 , 7 0 3
  • C 𝐺 ( 3 5 , 7 0 ) , 𝐺 3 5 , 7 0 3
  • D 𝐺 ( 3 5 , 3 5 ) , 𝐺 7 0 3 , 7 0 3

Q10:

A figura mostra um sistema de pontos de massa 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 . A massa de cada ponto é indicada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição em 𝐴 em 𝐵 em 𝐶 em 𝐷
Massa 𝑚 kg 𝑚 kg 𝑚 kg 𝑚 kg
  • A 1 4 3 , 6
  • B 9 2 , 7 2
  • C 6 , 1 4 3
  • D 7 2 , 9 2

Q11:

Um quadrado 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 de comprimento lateral 3 cm. Quatro massas de 2, 6, 3, e 2 gramas são colocadas em 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , e 𝐷 respectivamente. Outra massa de 8 g é colocada no ponto médio de 𝐴 𝐵 . Determine as coordenadas do centro de massa do sistema.

  • A 2 3 1 0 , 1 2 7
  • B 1 3 5 , 1 3 7
  • C 5 1 1 9 , 2 7 1 3
  • D 1 6 7 , 8 7

Q12:

Massas iguais são suspensas de seis dos vértices de um octógono regular 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 . As massas são colocadas em 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 , 𝐸 , e 𝐺 . Dado que a distância de qualquer vértice ao centro do octógono 𝑀 é 52 cm, encontre a distância entre 𝑀 e o centro de gravidade do sistema das seis massas.

  • A 5 2 2 3 cm
  • B 2 6 3 3 cm
  • C 5 2 3 3 cm
  • D 2 6 2 3 cm

Q13:

Quatro partículas de massas 9 kg, 10 kg, 4 kg e 7 kg são colocadas no eixo O 𝑥 nos pontos ( 4 , 0 ) , ( 3 , 0 ) , ( 8 , 0 ) e ( 1 , 0 ) , respetivamente. Qual é a posição do centro de massa das quatro partículas?

  • A ( 3 , 5 , 3 0 )
  • B ( 1 6 , 0 )
  • C ( 1 6 , 3 0 )
  • D ( 3 , 5 , 0 )
  • E ( 2 6 , 2 , 3 0 )

Q14:

Quatro partículas estão colocadas nos pontos ( 0 , 𝑎 ) , ( 0 , 5 ) , ( 0 , 1 ) e ( 0 , 3 ) . O centro de massa das quatro partículas é o ponto 𝐺 ( 0 , 2 ) . Sabendo que as massas das quatro partículas são 1 0 𝑚 , 5 𝑚 , 4 𝑚 e 3 𝑚 , respetivamente, determine o valor de 𝑎 .

Q15:

Duas partículas de pesos 8 N e 18 N são separadas por uma distância de 39 m. Encontre a distância entre a partícula de peso 8 N e o centro de gravidade do sistema.

Q16:

Três partículas são colocadas numa reta. A partícula 𝐴 de massa 4 kg está localizada na origem, a partícula 𝐵 de massa 6 kg em ( 9 , 6 ) e a partícula 𝐶 de massa 10 kg em ( 6 , 4 ) . Determina as coordenadas do centro de massa das três partículas.

  • A ( 5 , 7 , 0 )
  • B ( 0 , 3 , 8 )
  • C ( 5 , 9 , 4 )
  • D ( 5 , 7 , 3 , 8 )
  • E ( 3 , 2 )

Q17:

Três massas 5 kg, 3 kg e 9 kg estão no eixo O 𝑦 nas coordenadas ( 0 , 2 ) , ( 0 , 3 ) e ( 0 , 4 ) , respetivamente. Determine a posição da quarta partícula cuja massa é 7 kg que precisa de ser adicionada ao sistema para o centro de massa das quatro massas se encontrar na origem.

  • A ( 5 , 0 )
  • B ( 0 , 2 )
  • C ( 2 , 0 )
  • D ( 0 , 5 )
  • E ( 2 4 , 0 )

Q18:

A figura mostra um sistema de massas pontuais colocadas nos vértices de um quadrado de comprimento lateral 6 unidades. A massa colocada em cada ponto é detalhada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷
Massa 75 kg 29 kg 71 kg 85 kg
  • A 1 2 5 , 4 8 1 3
  • B 3 0 1 3 , 1 8 5
  • C 4 8 1 3 , 1 2 5
  • D 1 8 5 , 3 0 1 3

Q19:

Os pontos ( 0 , 6 ) , ( 0 , 9 ) , e ( 0 , 4 ) no eixo 𝑦 são ocupados por três sólidos de massas 9 kg, 6 kg, e 𝑚 kg respectivamente. Determine o valor de 𝑚 dado o centro de massa do sistema está no ponto ( 0 , 7 ) .

Q20:

Seis massas de 70, 30, 70, 50, 70, e 10 quilogramas são colocadas nos vértices 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 , 𝐸 , e 𝐹 de um hexágono uniforme de comprimento lateral 30 cm. Encontre a distância entre o centro do hexágono e o centro de gravidade do sistema.

  • A 4 2 1 1 cm
  • B 1 0 cm
  • C 2 3 1 cm
  • D 2 3 cm

Q21:

A figura mostra um sistema de massas pontuais. A massa colocada em cada ponto é detalhada na tabela. Dado que 𝐴 e 𝐷 estão na mesma linha horizontal, encontre as coordenadas do centro de gravidade.

Posição em 𝐴 em 𝐵 em 𝐶 em 𝐷
Massa 7 𝑚 kg 9 𝑚 kg 4 𝑚 kg 4 𝑚 kg
  • A 1 4 4 5 , 2 4 3
  • B 1 1 3 , 1 8
  • C 2 4 3 , 1 4 4 5
  • D 1 8 , 1 1 3

Q22:

O triângulo 𝐴 𝐵 𝐶 , onde 𝐴 𝐵 = 3 3 c m , 𝐵 𝐶 = 4 4 c m , 𝐶 𝐴 = 5 5 c m , e 𝐷 e 𝐸 são os pontos médios de [ 𝐴 𝐵 ] e [ 𝐴 𝐶 ] respectivamente, está localizado no primeiro quadrante de um plano cartesiano de tal modo que 𝐵 está na origem, e o ponto 𝐶 está no eixo 𝑥 . Três massas iguais são colocadas nos pontos 𝐵 , 𝐷 , e 𝐸 . Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A 2 2 3 , 3 3 2
  • B 4 4 3 , 1 1
  • C 1 1 , 2 2 3
  • D 2 2 3 , 1 1

Q23:

Encontre as coordenadas do centro de gravidade do seguinte sistema: 𝑚 = 3 k g em ( 8 , 9 ) , 𝑚 = 1 k g em ( 6 , 7 ) , e 𝑚 = 4 k g em ( 0 , 5 ) .

  • A 5 4 , 1 2
  • B 5 , 9 4
  • C 1 2 , 5 4
  • D 9 4 , 5

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