Atividade: Centro de Gravidade de Partículas num Plano

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinar a posição do centro de gravidade (ou centro de massa) de um conjunto de partículas organizadas num plano bidimensional.

Q1:

A figura mostra três pesos organizados num triângulo retângulo de lado 12 cm. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A1335;315
  • B113;295
  • C315;1335
  • D295;113

Q2:

Um losango 𝐴𝐵𝐶𝐷 no qual 𝐴𝐶=2𝐵𝐷=8cm em que o ponto 𝐴 está localizado no primeiro quadrante de um plano cartesiano, 𝐵 está na origem e o ponto 𝐷 está no eixo 𝑥. Massas de 4 g, 3 g, 6 g, e 10 g estão ligadas nos vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶 e 𝐷 respectivamente. Encontre as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A6029,413
  • B6023,823
  • C6023,4019
  • D207,4023

Q3:

O triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 na figura tem um comprimento lateral de 36 cm. O ponto 𝐷 é a interseção de suas medianas (seu centro) e 𝐸 é o ponto médio de 𝐵𝐶. Massas de magnitudes 15 g, 27 g, 40 g, 12 g, e 50 g são fixadas nos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, e 𝐸 respectivamente. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A1318,1938
  • B1198,32
  • C32,1198
  • D1938,1318

Q4:

A figura mostra um sistema de massas pontuais colocadas nos vértices de um triângulo. A massa colocada em cada ponto é detalhada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição𝐴𝐵𝐶
Massa13 kg6 kg15 kg
  • A6917;4517
  • B4517;2417
  • C6917;6917
  • D2417;4517

Q5:

A figura mostra um sistema de pontos de massa. A massa colocada em cada ponto está apresentada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição𝐴𝐶𝐸𝐹
Massa9 kg5 kg4 kg3 kg
  • A907,6
  • B6,907
  • C327,9
  • D9,327

Q6:

Um triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 de comprimento lateral 10 cm. Os pontos 𝐷, 𝐸, e 𝐹 são os pontos médios de 𝐵𝐶, 𝐶𝐴, e 𝐴𝐵, respectivamente. Pesos de 7 kg, 9 kg, 5 kg, 2 kg, 3 kg, e 4 kg são colocados nos pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, e 𝐹, respectivamente. Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema.

  • A174,734
  • B274,733
  • C132,29310
  • D234,21310

Q7:

A figura mostra um sistema de pontos de massa colocados nos vértices de um hexágono com lado de medida 𝑙. A massa colocada em cada ponto está indicada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posiçãoem 𝐴em 𝐹em 𝐷em 𝐶
Massa18 g26 g6 g30 g
  • A310𝑙,15𝑙
  • B110𝑙,320𝑙
  • C320𝑙,110𝑙
  • D15𝑙,310𝑙

Q8:

Um retângulo, 𝐴𝐵𝐶𝐷, em que 𝐴𝐵=22cm e 𝐵𝐶=26cm. Quatro massas de 6, 7, 5 e 9 g foram colocadas nos vértices 𝐴, 𝐷, 𝐵 e 𝐶 respetivamente. Outra massa de 8 gramas está fixada no ponto médio de 𝐴𝐷. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema.

  • A525,665
  • B787,665
  • C915,52835
  • D787,557

Q9:

Quatro massas de 630 g são colocadas nos vértices de um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 de lado de medida 𝐿. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema em relação aos eixos 𝐴𝐵 e 𝐴𝐷.

  • A𝐿4;𝐿
  • B𝐿;𝐿2
  • C𝐿2;𝐿2
  • D(𝐿;𝐿)

Q10:

Um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem um comprimento lateral de 70 cm. Quando quatro massas iguais são colocadas nos vértices do quadrado, o centro de massa do sistema é 𝐺. Quando a massa no vértice 𝐴 é removida, o centro de massa do sistema é 𝐺. Encontre as coordenadas do centro de massa dos dois sistemas 𝐺 e 𝐺.

  • A𝐺(35,35), 𝐺35,703
  • B𝐺(35,35), 𝐺703,703
  • C𝐺(35,70), 𝐺35,703
  • D𝐺(35,70), 𝐺703,703

Q11:

A figura mostra um sistema de pontos de massa 𝐴𝐵𝐶𝐷. A massa de cada ponto é indicada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posiçãoem 𝐴em 𝐵em 𝐶em 𝐷
Massa𝑚 kg𝑚 kg𝑚 kg𝑚 kg
  • A72,92
  • B6,143
  • C143,6
  • D92,72

Q12:

Um quadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 de comprimento lateral 3 cm. Quatro massas de 2, 6, 3, e 2 gramas são colocadas em 𝐴, 𝐵, 𝐶, e 𝐷 respectivamente. Outra massa de 8 g é colocada no ponto médio de 𝐴𝐵. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema.

  • A5119;2713
  • B135;137
  • C167;87
  • D2310;127

Q13:

Massas iguais são suspensas de seis dos vértices de um octógono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻. As massas são colocadas em 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, e 𝐺. Dado que a distância de qualquer vértice ao centro do octógono 𝑀 é 52 cm, encontre a distância entre 𝑀e o centro de gravidade do sistema das seis massas.

  • A5223 cm
  • B2623 cm
  • C5233 cm
  • D2633 cm

Q14:

Quatro partículas de massas 9 kg, 10 kg, 4 kg e 7 kg são colocadas no eixo O𝑥 nos pontos (4,0), (3,0), (8,0) e (1,0), respetivamente. Qual é a posição do centro de massa das quatro partículas?

  • A(26,2,30)
  • B(3,5,0)
  • C(16,0)
  • D(16,30)
  • E(3,5,30)

Q15:

Quatro partículas estão colocadas nos pontos (0,𝑎), (0,5), (0,1) e (0,3). O centro de massa das quatro partículas é o ponto 𝐺(0,2). Sabendo que as massas das quatro partículas são 10𝑚, 5𝑚, 4𝑚 e 3𝑚, respetivamente, determine o valor de 𝑎.

Q16:

Duas partículas de pesos 8 N e 18 N são separadas por uma distância de 39 m. Encontre a distância entre a partícula de peso 8 N e o centro de gravidade do sistema.

Q17:

Três partículas são colocadas numa reta. A partícula 𝐴 de massa 4 kg está localizada na origem, a partícula 𝐵 de massa 6 kg em (9,6) e a partícula 𝐶 de massa 10 kg em (6,4). Determina as coordenadas do centro de massa das três partículas.

  • A(5,9,4)
  • B(5,7,3,8)
  • C(3,2)
  • D(0,3,8)
  • E(5,7,0)

Q18:

Três massas 5 kg, 3 kg e 9 kg estão no eixo O𝑦 nas coordenadas (0,2), (0,3) e (0,4), respetivamente. Determine a posição da quarta partícula cuja massa é 7 kg que precisa de ser adicionada ao sistema para o centro de massa das quatro massas se encontrar na origem.

  • A(0,2)
  • B(5,0)
  • C(0,5)
  • D(24,0)
  • E(2,0)

Q19:

A figura mostra um sistema de massas pontuais colocadas nos vértices de um quadrado de comprimento lateral 6 unidades. A massa colocada em cada ponto é detalhada na tabela. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

Posição𝐴𝐵𝐶𝐷
Massa75 kg29 kg71 kg85 kg
  • A4813,125
  • B125,4813
  • C185,3013
  • D3013,185

Q20:

Os pontos (0;6), (0;9), e (0;4) no eixo 𝑦 são ocupados por três sólidos de massas 9 kg, 6 kg, e 𝑚 kg respectivamente. Determine o valor de 𝑚 dado o centro de massa do sistema está no ponto (0;7).

Q21:

Seis massas de 70, 30, 70, 50, 70, e 10 quilogramas são colocadas nos vértices 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, e 𝐹 de um hexágono uniforme de comprimento lateral 30 cm. Encontre a distância entre o centro do hexágono e o centro de gravidade do sistema.

  • A231 cm
  • B10 cm
  • C23 cm
  • D4211 cm

Q22:

A figura mostra um sistema de massas pontuais. A massa colocada em cada ponto é detalhada na tabela. Dado que 𝐴 e 𝐷 estão na mesma linha horizontal, encontre as coordenadas do centro de gravidade.

Posiçãoem 𝐴em 𝐵em 𝐶em 𝐷
Massa7𝑚 kg9𝑚 kg4𝑚 kg4𝑚 kg
  • A243,1445
  • B113,18
  • C1445,243
  • D18,113

Q23:

O triângulo 𝐴𝐵𝐶, onde 𝐴𝐵=33cm, 𝐵𝐶=44cm, 𝐶𝐴=55cm, e 𝐷 e 𝐸 são os pontos médios de [𝐴𝐵] e [𝐴𝐶] respectivamente, está localizado no primeiro quadrante de um plano cartesiano de tal modo que 𝐵 está na origem, e o ponto 𝐶 está no eixo 𝑥. Três massas iguais são colocadas nos pontos 𝐵, 𝐷, e 𝐸. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A223,11
  • B11,223
  • C443,11
  • D223,332

Q24:

Encontre as coordenadas do centro de gravidade do seguinte sistema: 𝑚=3kg em (8,9), 𝑚=1kg em (6,7), e 𝑚=4kg em (0,5).

  • A12,54
  • B94,5
  • C54,12
  • D5,94

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