Atividade: Derivadas de Funções Vetoriais

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Nesta atividade, nós vamos praticar as derivadas do valor de funções vetoriais em uma variável tomando a derivada de cada componente.

Q1:

Calcule 𝑓′(𝑠), e determine a equação vetorial da reta tangente 𝐿 a 𝑓(0) para 𝑓(𝑠)=(2𝑠,2𝑠,𝑠)cossen.

  • A 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ( βˆ’ 2 2 𝑠 , 2 2 𝑠 , 1 ) s e n c o s , 𝐿 ( 1 , 0 , 0 ) + 𝑑 ( 0 , 2 , 1 ) :
  • B 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ( βˆ’ 2 𝑠 , 2 𝑠 , 1 ) s e n c o s , 𝐿 ( 1 , 0 , 0 ) + 𝑑 ( 0 , 1 , 1 ) :
  • C 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ( βˆ’ 2 2 𝑠 , 2 2 𝑠 , 1 ) s e n c o s , 𝐿 ( 0 , 2 , 1 ) + 𝑑 ( 1 , 0 , 0 ) :
  • D 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ( βˆ’ 2 𝑠 , 2 𝑠 , 1 ) s e n c o s , 𝐿 ( 0 , 1 , 1 ) + 𝑑 ( 1 , 0 , 0 ) :
  • E 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ( 2 2 𝑠 , βˆ’ 2 2 𝑠 , 1 ) s e n c o s , 𝐿 ( 1 , 0 , 0 ) + 𝑑 ( 0 , βˆ’ 2 , 1 ) :

Q2:

Calcule 𝑓′(𝑠), e determine a equação vetorial da reta tangente a 𝑓(0) para 𝑓(𝑠)=𝑠+1,𝑠+1,𝑠+1ο…οŠ¨οŠ©.

  • A 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ή 1 , 2 𝑠 , 3 𝑠   , 𝐿 ( 1 , 0 , 0 ) + 𝑑 ( 1 , 1 , 1 ) :
  • B 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ή 2 , 2 𝑠 + 1 , 3 𝑠 + 1   , 𝐿 ( 2 , 0 , 0 ) + 𝑑 ( 2 , 1 , 1 ) :
  • C 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ( 1 , 2 𝑠 , 3 𝑠 ) , 𝐿 ( 1 , 1 , 1 ) + 𝑑 ( 1 , 0 , 0 ) :
  • D 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ή 1 , 2 𝑠 , 3 𝑠   , 𝐿 ( 1 , 1 , 1 ) + 𝑑 ( 1 , 0 , 0 ) :
  • E 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ή 2 , 2 𝑠 + 1 , 3 𝑠 + 1   , 𝐿 ( 2 , 1 , 1 ) + 𝑑 ( 2 , 0 , 0 ) :

Q3:

Calcule ⃗𝑓′(𝑠), e encontre a forma vetorial da equação da reta tangente em ⃗𝑓(0) para ⃗𝑓(𝑠)=(𝑒+1,𝑒+1,𝑒+1).

  • A βƒ— 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ί 𝑒 , 2 𝑒 , 2 𝑠 β‹… 𝑒       , 𝐿 ( 2 , 2 , 2 ) + 𝑑 ( 1 , 2 , 0 ) :
  • B βƒ— 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ί 𝑒 + 1 , 2 𝑒 + 1 , 2 𝑠 β‹… 𝑒 + 1       , 𝐿 ( 2 , 3 , 1 ) + 𝑑 ( 2 , 2 , 2 ) :
  • C βƒ— 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ί 𝑒 , 𝑒 , 𝑒       , 𝐿 ( 2 , 2 , 2 ) + 𝑑 ( 1 , 1 , 1 ) :
  • D βƒ— 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ί 𝑒 + 1 , 2 𝑒 + 1 , 2 𝑠 β‹… 𝑒 + 1       , 𝐿 ( 2 , 2 , 2 ) + 𝑑 ( 2 , 3 , 1 ) :
  • E βƒ— 𝑓 β€² ( 𝑠 ) = ο€Ί 𝑒 , 2 𝑒 , 2 𝑠 β‹… 𝑒       , 𝐿 ( 1 , 2 , 0 ) + 𝑑 ( 2 , 2 , 2 ) :

Q4:

Considere a curva βƒ—π‘Ÿ(𝑠)=(2𝑠,2𝑠,2𝑠)sensencos. Determine βƒ—π‘Ÿβ€²(𝑠) e encontre a tangente 𝐿 para a curva quando 𝑠=0.

  • A βƒ— π‘Ÿ β€² ( 𝑠 ) = ( βˆ’ 2 𝑠 , 2 𝑠 , 2 𝑠 ) c o s c o s s e n  , 𝐿 ( 0 , 0 , 2 ) + 𝑑 ( 2 , 1 , 0 ) :
  • B βƒ— π‘Ÿ β€² ( 𝑠 ) = ( 2 2 𝑠 , 4 𝑠 , βˆ’ 2 𝑠 ) c o s c o s s e n  , 𝐿 ( 2 , 2 , 0 ) + 𝑑 ( 0 , 0 , 2 ) :
  • C βƒ— π‘Ÿ β€² ( 𝑠 ) = ( βˆ’ 2 2 𝑠 , 2 𝑠 𝑠 , 2 𝑠 ) c o s s e n c o s s e n , 𝐿 ( 0 , 0 , 2 ) + 𝑑 ( 2 , 2 , 0 ) :
  • D βƒ— π‘Ÿ β€² ( 𝑠 ) = ( 2 2 𝑠 , 2 2 𝑠 , βˆ’ 2 𝑠 ) c o s s e n s e n , 𝐿 ( 2 , 0 , 0 ) + 𝑑 ( 0 , 0 , 2 ) :
  • E βƒ— π‘Ÿ β€² ( 𝑠 ) = ( 2 2 𝑠 , 4 𝑠 𝑠 , βˆ’ 2 𝑠 ) c o s s e n c o s s e n , 𝐿 ( 0 , 0 , 2 ) + 𝑑 ( 2 , 0 , 0 ) :

Q5:

Dado que π‘Ÿ(𝑑)=π‘Žπ‘‘βƒ—πš€+𝑑𝑒⃗πš₯+π‘π‘‘βƒ—π‘˜sencos, onde π‘Ž e 𝑏 sΓ£o constantes, encontre π‘Ÿβ€²(𝑑).

  • A βˆ’ π‘Ž π‘Ž 𝑑 π‘Ž 𝑑 βƒ— 𝚀 + 𝑒 ( 1 + 𝑑 ) βƒ— πš₯ + 𝑐 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 βƒ— π‘˜ s e n c o s c o s s e n  
  • B 2 π‘Ž π‘Ž 𝑑 π‘Ž 𝑑 βƒ— 𝚀 + 𝑒 ( 1 + 𝑏 𝑑 ) βƒ— πš₯ βˆ’ 2 𝑐 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 βƒ— π‘˜ s e n c o s c o s s e n  
  • C 2 π‘Ž 𝑑 π‘Ž 𝑑 βƒ— 𝚀 + 𝑒 ( 1 + 𝑑 ) βƒ— πš₯ βˆ’ 2 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 βƒ— π‘˜ s e n c o s c o s s e n  
  • D βˆ’ 2 π‘Ž π‘Ž 𝑑 π‘Ž 𝑑 βƒ— 𝚀 + 𝑒 ( 1 + 𝑏 𝑑 ) βƒ— πš₯ + 2 𝑐 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 βƒ— π‘˜ s e n c o s c o s s e n  
  • E π‘Ž π‘Ž 𝑑 π‘Ž 𝑑 βƒ— 𝚀 + 𝑒 ( 1 + 𝑏 𝑑 ) βƒ— πš₯ βˆ’ 𝑐 𝑐 𝑑 𝑐 𝑑 βƒ— π‘˜ s e n c o s c o s s e n  

Q6:

Encontre a derivada de uma função com valor vetorial βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=ο€Ή1+π‘‘ο…βƒ—πš€+ο€Ή5𝑑+1⃗πš₯+𝑑+2ο…βƒ—π‘˜οŠ©οŠ¨οŠ©.

  • A ( 3 𝑑 ) βƒ— 𝚀 + ( 1 0 𝑑 ) βƒ— πš₯ + ο€Ή 3 𝑑  βƒ— π‘˜ 
  • B 6 𝑑 + 1 0 𝑑 
  • C 3 𝑑 + 1 0 𝑑 
  • D ο€Ή 1 + 3 𝑑  βƒ— 𝚀 + ( 1 0 𝑑 ) βƒ— πš₯ + ο€Ή 3 𝑑  βƒ— π‘˜  
  • E ο€Ή 3 𝑑  βƒ— 𝚀 + ( 1 0 𝑑 ) βƒ— πš₯ + ο€Ή 3 𝑑  βƒ— π‘˜  

Q7:

Encontre a derivada de uma função com valor vetorial βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(3βˆ’2𝑑)βƒ—πš€+ο€Ή2𝑑+3π‘‘βˆ’2⃗πš₯.

  • A 2 βƒ— 𝚀 + ( 4 𝑑 + 3 ) βƒ— πš₯
  • B βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 βˆ’ ( 4 𝑑 + 3 ) βƒ— πš₯
  • C βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 + ( 4 𝑑 + 3 ) βƒ— πš₯
  • D βˆ’ 2 βƒ— 𝚀 + ( 4 𝑑 ) βƒ— πš₯
  • E 4 𝑑 + 1

Q8:

Encontre a derivada da função com valor de vetor βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=π‘’βƒ—πš€+𝑒⃗πš₯+3βƒ—π‘˜οοŠ±ο.

  • A 𝑒 βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑒 βƒ— πš₯   
  • B 𝑒 βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑒 βƒ— πš₯ + 3 βƒ— π‘˜  
  • C 𝑒 βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑒 βƒ— πš₯  
  • D 𝑒 βƒ— 𝚀 + 𝑒 βƒ— πš₯   
  • E 𝑒 βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑒 βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜   

Q9:

Encontre a derivada de uma função com valor de vetor π‘Ÿ(𝑑)=(2𝑑)π‘–βˆ’(𝑑)𝑗+π‘’π‘˜sencos.

  • A 2 ( 𝑑 ) 𝑖 + ( 𝑑 ) 𝑗 + 𝑒 π‘˜ c o s s e n 
  • B c o s s e n ( 2 𝑑 ) 𝑖 βˆ’ ( 𝑑 ) 𝑗 + 𝑒 π‘˜ 
  • C 2 ( 2 𝑑 ) 𝑖 βˆ’ ( 𝑑 ) 𝑗 + 𝑒 π‘˜ c o s s e n 
  • D c o s s e n ( 2 𝑑 ) 𝑖 + ( 𝑑 ) 𝑗 + 𝑒 π‘˜ 
  • E 2 ( 2 𝑑 ) 𝑖 + ( 𝑑 ) 𝑗 + 𝑒 π‘˜ c o s s e n 

Q10:

Encontre a derivada de uma função com valor de vetor βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=π‘‘βƒ—πš€+βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜.

  • A 𝑑 + 2
  • B βƒ— 𝚀 + βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜
  • C 3
  • D 1
  • E βƒ— 𝚀

Q11:

Encontre a derivada da seguinte função com valor vetorial: βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=5𝑑+3𝑑2𝑒5(𝑑).cos

  • A  1 2 𝑒 1 0 𝑑 + 3 βˆ’ 5 ( 𝑑 )    s e n
  • B  1 0 𝑑 + 3 2 𝑒 5 ( 𝑑 )    c o s
  • C  1 0 𝑑 + 3 1 2 𝑒 5 ( 𝑑 )    s e n
  • D  1 0 𝑑 + 3 1 2 𝑒 βˆ’ 5 ( 𝑑 )    s e n
  • E  1 0 𝑑 + 3 2 𝑒 βˆ’ 5 ( 𝑑 )    s e n

Q12:

Encontre a derivada da função com valor vetorial βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=ο€»βˆš3π‘‘ο‡βƒ—πš€βˆ’ο€Ήπ‘’ο…βƒ—πš₯.

  • A ο€Ώ 1 3 √ 3 𝑑  βƒ— 𝚀 βˆ’ ο€Ύ 𝑒 9  βƒ— πš₯  
  • B ο€Ώ 3 2 √ 3 𝑑  βƒ— 𝚀 βˆ’ ο€Ή 9 𝑒  βƒ— πš₯  
  • C ο€Ώ 1 √ 3 𝑑  βƒ— 𝚀 βˆ’ ο€Ή 𝑒  βƒ— πš₯  
  • D ο€Ώ 3 2 √ 3 𝑑  βƒ— 𝚀 + ο€Ή 9 𝑒  βƒ— πš₯  
  • E ο€Ώ 1 √ 3 𝑑  βƒ— 𝚀 βˆ’ ο€Ύ 𝑒 9  βƒ— πš₯  

Q13:

Encontre a derivada da função com valor vetorial βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=ο€Ή3𝑑+π‘‘ο…βƒ—πš€+(5(𝑑))βƒ—πš₯βˆ’ο€Ή5𝑑+3π‘‘βˆ’5ο…βƒ—π‘˜οŠ©οŠ¨ln.

  • A ο€Ή 9 𝑑 + 1  βƒ— 𝚀 + 5 ( 𝑑 ) βƒ— πš₯ βˆ’ ( 1 0 𝑑 + 3 ) βƒ— π‘˜  l n
  • B ο€Ή 9 𝑑  βƒ— 𝚀 + ( 5 𝑑 ) βƒ— πš₯ βˆ’ ( 1 0 𝑑 ) βƒ— π‘˜ 
  • C ο€Ή 9 𝑑 + 1  βƒ— 𝚀 βˆ’ ο€Ό 5 𝑑  βƒ— πš₯ + ( 1 0 𝑑 + 3 ) βƒ— π‘˜ 
  • D ο€Ή 9 𝑑 + 1  βƒ— 𝚀 + ( 5 𝑑 ) βƒ— πš₯ βˆ’ ( 1 0 𝑑 + 3 ) βƒ— π‘˜ 
  • E ο€Ή 9 𝑑 + 1  βƒ— 𝚀 + ο€Ό 5 𝑑  βƒ— πš₯ βˆ’ ( 1 0 𝑑 + 3 ) βƒ— π‘˜ 

Q14:

Para a curva definida pela equação com valor vetorial βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=3π‘‘βˆ’5π‘‘βˆš5π‘‘ο£οŠ¨, encontre o valor de βƒ—π‘Ÿβ€²(2).

  • A  7 √ 1 0 4 
  • B  1 2 √ 1 0 4 
  • C  1 √ 1 0 4 
  • D  7 √ 1 0 2 0 
  • E  βˆ’ 7 √ 1 0 4 

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