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Lição de casa da aula: As 𝑛-ésimas Raízes da Unidade Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o teorema de Moivre para encontrar as 𝑛-ésimas raízes da unidade e explorar suas propriedades.

Q1:

Escreva uma forma geral para as raรญzes ๐‘ง=1๏Š, dando sua resposta na forma polar.

  • Acossen(2๐œ‹๐‘˜๐‘›)+๐‘–(2๐œ‹๐‘˜๐‘›)
  • Bcossen๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰
  • Csencos๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜๐‘›๏‰
  • D((2๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(2๐œ‹๐‘˜))cossen๏Š
  • Ecossen๏€ผ2๐œ‹๐‘›๐‘˜๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹๐‘›๐‘˜๏ˆ

Q2:

Encontre as raรญzes da unidade de uma equaรงรฃo quรญntica.

  • Aโˆ’1, ๐‘’๏Šซ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žก๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žข๏ƒ, ๐‘’๏Žค๏‘ฝ๏Žฃ๏ƒ
  • Bโˆ’1, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฅ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žง๏‘ฝ๏Žค๏ƒ
  • C1, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค, ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏Žก๏‘ฝ๏Žค
  • D1, ๐‘’๏Šซ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Šง๏Šฆ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Šง๏Šซ๏Ž„๏ƒ, ๐‘’๏Šจ๏Šฆ๏Ž„๏ƒ
  • E1, ๐‘’๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žก๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žข๏‘ฝ๏Žค๏ƒ, ๐‘’๏Žฃ๏‘ฝ๏Žค๏ƒ

Qual รฉ o valor de sua soma?

Q3:

Seja ๐œ” uma ๐‘›-รฉsima raiz da unidade.

Qual das alternativas a seguir รฉ a relaรงรฃo correta entre ๐œ”๏Šฑ๏Šง e ๐œ”?

  • A๐œ”=๐œ”๏Šฑ๏Šง
  • B๐œ”=(๐œ”)๏Šฑ๏Šงโˆ—
  • C๐œ”=โˆ’(๐œ”)๏Šฑ๏Šงโˆ—
  • D๐œ”=โˆ’๐œ”๏Šฑ๏Šง

Expresse ๐œ”๏Šฑ๏Šง em termos de potรชncias positivas de ๐œ”.

  • A๐œ”๏Š๏Šฐ๏Šง
  • B๐œ”๏Š๏Šฑ๏Šง
  • C๐œ”๏‘ƒ๏Žก
  • D๐œ”
  • Eโˆ’๐œ”

Q4:

Seja ๐œ” uma das raรญzes de quinto grau da unidade. Qual das alternativas a seguir รฉ uma expressรฃo equivalente a ๐œ”๏Šฑ๏Šฉ?

  • A๐œ”๏Šจ
  • B๐œ”๏Šฑ๏Šง๏Šซ
  • C๐œ”๏Šฎ
  • Dโˆ’๐œ”๏Šฉ
  • E1๐œ”๏Šจ

Q5:

Encontre as raรญzes cรบbicas da unidade.

  • A1, cossen(๐œ‹)+๐‘–(๐œ‹), cossen(2๐œ‹)+๐‘–(2๐œ‹)
  • B1, cossen๏€ป๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡, cossen๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡
  • C1, sencos๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–@๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, sencos๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ
  • D1, cossen๏€ผ2๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, cossen๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ
  • E1, cossen๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, cossen๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ

Encontre as soluรงรตes para ๐‘ง=1๏Šฌ.

  • A1, cossen๏€ผ2๐œ‹6๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹6๏ˆ, cossen๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, โˆ’1, cossen๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ, cossen๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ
  • B1, cossen(๐œ‹)โˆ’๐‘–(๐œ‹), cossen(2๐œ‹)โˆ’๐‘–(2๐œ‹), โˆ’1, cossen(4๐œ‹)+๐‘–(4๐œ‹), cossen(5๐œ‹)+๐‘–(5๐œ‹)
  • C1, cossen๏€ป๐œ‹6๏‡โˆ’๐‘–๏€ป๐œ‹6๏‡, cossen๏€ป๐œ‹3๏‡โˆ’๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡, โˆ’1, cossen๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡, cossen๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡
  • D1, cossen๏€ป๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹6๏‡, cossen๏€ป๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ป๐œ‹3๏‡, โˆ’1, cossen๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹3๏‡, cossen๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡+๐‘–๏€ปโˆ’๐œ‹6๏‡
  • E1, cossen๏€ผ2๐œ‹6๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ2๐œ‹6๏ˆ, cossen๏€ผ2๐œ‹3๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ2๐œ‹3๏ˆ, โˆ’1, cossen๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹3๏ˆ, cossen๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’2๐œ‹6๏ˆ

Qual รฉ a relaรงรฃo entre as raรญzes cรบbicas da unidade e as sextas raรญzes da unidade?

  • A1 รฉ a รบnica raiz comum entre as raรญzes cรบbicas da unidade e as sextas raรญzes da unidade.
  • BTodas as raรญzes cรบbicas da unidade tambรฉm sรฃo a sexta raiz da unidade.
  • CTodas as raรญzes cรบbicas da unidade e seus conjugados complexos sรฃo a sexta raiz da unidade.
  • DAs raรญzes cรบbicas da unidade divididas por 2 sรฃo a sexta raiz da unidade.
  • ENรฃo hรก raรญzes comuns entre as raรญzes cรบbicas da unidade e as sextas raรญzes da unidade.

Q6:

Dois polรญgonos regulares sรฃo inscritos no mesmo cรญrculo em que o primeiro tem 1โ€Žโ€‰โ€Ž731 lados e o segundo tem 4โ€Žโ€‰โ€Ž039. Se os dois polรญgonos tรชm pelo menos um vรฉrtice em comum, quantos vรฉrtices coincidem no total?

Q7:

Se ๐œ” รฉ uma primitiva da 6ยบ raiz da unidade, qual das seguintes expressรตes รฉ equivalente a ๐œ”+๐œ”+๐œ”๏Šจ๏Šฉ?

  • A12๏€น๐œ”+๐œ”+๐œ”๏…๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • B๐œ”+๐œ”+๐œ”๏Šช๏Šซ๏Šฌ
  • C1โˆ’๐œ”โˆ’๐œ”๏Šช๏Šซ
  • D1
  • Eโˆ’๏€น1+๐œ”+๐œ”๏…๏Šช๏Šซ

Q8:

Quantas das 8ยบ raรญzes da unidade tambรฉm sรฃo 12ยบ raรญzes da unidade?

Q9:

Para quantos pares de nรบmeros reais (๐‘Ž;๐‘) faz a relaรงรฃo (๐‘Ž+๐‘๐‘–)=๐‘Žโˆ’๐‘๐‘–๏Šจ๏Šฆ๏Šจ๏Šฆ se manter?

Q10:

Qual รฉ a forma geral das 10ยบ raรญzes da unidade na forma polar?

  • Acossen๏€ฝ10๐œ‹๐‘˜2๏‰+๐‘–๏€ฝ10๐œ‹๐‘˜2๏‰
  • Bcossen(10๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(10๐œ‹๐‘˜)
  • Ccossen๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰
  • D((2๐œ‹๐‘˜)+๐‘–(2๐œ‹๐‘˜))cossen๏Šง๏Šฆ
  • Esencos๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰+๐‘–๏€ฝ2๐œ‹๐‘˜10๏‰

Usando a forma geral para a 10ยบ raiz da unidade, identifique a 10ยบ raiz da unidade para o caso em que ๐‘˜=3.

  • Acossen(30๐œ‹)+๐‘–(30๐œ‹)
  • Bcossen๏€ผโˆ’3๐œ‹5๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹5๏ˆ
  • Ccossen๏€ผโˆ’3๐œ‹10๏ˆ+๐‘–๏€ผโˆ’3๐œ‹10๏ˆ
  • Dcossen๏€ผ3๐œ‹5๏ˆโˆ’๐‘–๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ
  • Ecossen๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ+๐‘–๏€ผ3๐œ‹5๏ˆ

Esta aula inclui 16 questões adicionais e 27 variações de questões adicionais para assinantes.

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