Atividade: Identidades da Soma e da Diferença de Ângulos

Nesta atividade, nós vamos praticar a derivar as identidades de soma e diferença de ângulo, graficamente ou utilizando o círculo unitário, e utilizá-las para encontrar valores trigonométricos.

Q1:

Sendo s e n c o s c o s s e n s e n 6 0 3 0 βˆ’ 6 0 3 0 = πœƒ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ , determine o valor de πœƒ em graus.

  • A 9 0 ∘
  • B 6 0 ∘
  • C 4 0 ∘
  • D 3 0 ∘
  • E 1 3 5 ∘

Q2:

Dado que c o s πœƒ = 5 7 , onde 3 πœ‹ 2 ≀ πœƒ ≀ 2 πœ‹ , e c o s πœ‘ = √ 2 3 , onde 0 ≀ πœ‘ ≀ πœ‹ 2 , encontre o valor exato de c o s ( πœ‘ βˆ’ πœƒ ) .

  • A 5 √ 7 + 4 √ 3 2 1
  • B 5 √ 2 + 2 √ 4 2 2 1
  • C 5 √ 7 βˆ’ 4 √ 3 2 1
  • D 5 √ 2 βˆ’ 2 √ 4 2 2 1
  • E βˆ’ 5 √ 7 + 4 √ 3 2 1

Q3:

Simplifique t g t g t g t g ( 1 1 8 βˆ’ 2 𝑋 ) + ( 3 2 + 2 𝑋 ) 1 βˆ’ ( 1 1 8 βˆ’ 2 𝑋 ) ( 3 2 + 2 𝑋 ) ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A √ 3 3
  • B βˆ’ √ 3
  • C √ 3
  • D βˆ’ √ 3 3

Q4:

Calcule t g t g t g t g ο€»  βˆ’ ο€»  1 + ο€»  ο€»   οŽ„   οŽ„   οŽ„   οŽ„  .

  • A √ 3
  • B βˆ’ √ 3 3
  • C βˆ’ √ 3
  • D √ 3 3

Q5:

Calcule t g c o t g c o t g t g 1 6 + 7 6 1 βˆ’ 7 6 1 6 ∘ ∘ ∘ ∘ .

  • A √ 3
  • B βˆ’ √ 3 3
  • C βˆ’ √ 3
  • D √ 3 3

Q6:

Determine s e n ( 𝐴 + 𝐡 ) sabendo que s e n 𝐴 = βˆ’ 2 4 2 5 com 2 7 0 < 𝐴 < 3 6 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = βˆ’ 4 5 com 1 8 0 < 𝐡 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A βˆ’ 1 1 7 1 2 5
  • B 5 3
  • C βˆ’ 3 5
  • D 3 5
  • E 1 1 7 1 2 5

Q7:

Num triÒngulo 𝐴 𝐡 𝐢 , 𝐴 e 𝐡 são Òngulos agudos, em que s e n 𝐴 = 4 5 e c o s 𝐡 = 3 5 . Sem recorrer a uma calculadora, determine o valor de c o s 𝐢 .

  • A 1 6 2 5
  • B βˆ’ 1 6 2 5
  • C 1 5
  • D 7 2 5
  • E βˆ’ 1 5

Q8:

Consideremos as duas figuras mostradas, cada uma apresentando dois pontos no cΓ­rculo trigonomΓ©trico.

Como Γ© que a figura Γ  direita pode ser obtida a partir da figura Γ  esquerda?

  • Apor rotação de um Γ’ngulo de βˆ’ @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž em torno da origem
  • Bpor rotação de um Γ’ngulo de @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž em torno da origem
  • Cpor rotação de um Γ’ngulo de @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž em torno da origem
  • Dpor rotação de um Γ’ngulo de βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž em torno da origem
  • Epor rotação de um Γ’ngulo de @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž βˆ’ @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž em torno da origem

O que pode ser dito acerca dos triΓ’ngulos 𝑂 𝑀 𝑁 e 𝑂 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ?

  • ASΓ£o congruente.
  • BSΓ£o isΓ³sceles.
  • CSΓ£o equilΓ‘teros.
  • DSΓ£o semelhantes.
  • ESΓ£o diferentes.

Determine as coordenadas de 𝑀 , 𝑁 , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 e 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 .

  • A 𝑀 ( @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž , @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s s e n , 𝑁 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž , @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž ) c o s s e n , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( 0 , 1 ) , 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) , ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) ) c o s s e n
  • B 𝑀 ( @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž , @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) s e n c o s , 𝑁 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž , @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž ) s e n c o s , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( 1 , 0 ) , 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) , ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) ) c o s s e n
  • C 𝑀 ( @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž , @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s s e n , 𝑁 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž , @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž ) c o s s e n , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( 1 , 0 ) , 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) , ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) ) c o s s e n
  • D 𝑀 ( @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž , @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s s e n , 𝑁 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž , @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž ) c o s s e n , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( 0 , 1 ) , 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) , ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) ) s e n c o s
  • E 𝑀 ( @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž , @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) s e n c o s , 𝑁 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž , @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž ) s e n c o s , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( 0 , 1 ) , 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 ( ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) , ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) ) s e n c o s

Calcule as medidas de 𝑀 𝑁 e 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 .

  • A 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž βˆ’ 2 @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž c o s c o s s e n s e n , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 =  2 βˆ’ 2 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s
  • B 𝑀 𝑁 = 2 , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 = 2 βˆ’ 2 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s
  • C 𝑀 𝑁 = √ 2 βˆ’ 2 @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž βˆ’ 2 @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž c o s c o s s e n s e n , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 =  2 + 2 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s
  • D 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 =  2 βˆ’ 2 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s
  • E 𝑀 𝑁 = √ 2 , 𝑀 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 𝑁 @ 𝑝 π‘Ÿ 𝑖 π‘š 𝑒 =  2 + 2 ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) c o s

Recorra ao que foi abordado nas questΓ΅es anteriores para escrever uma expressΓ£o para c o s ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) .

  • A c o s c o s c o s s e n s e n ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) = 1 2 @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž βˆ’ 1 2 @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž
  • B c o s c o s c o s s e n s e n ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) = @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž βˆ’ @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž
  • C c o s c o s c o s s e n s e n ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) = βˆ’ @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž βˆ’ @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž
  • D c o s c o s c o s s e n s e n ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) = @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž + @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž
  • E c o s s e n s e n c o s c o s ( @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž βˆ’ @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž ) = @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž βˆ’ @ π‘Ž 𝑙 𝑝 β„Ž π‘Ž @ 𝑏 𝑒 𝑑 π‘Ž

Q9:

Determine s e n ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) sendo s e n 𝐴 = βˆ’ 5 1 3 tal que 2 7 0 < 𝐴 < 3 6 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = 4 5 tal que 0 < 𝐡 < 9 0 ∘ ∘ .

  • A 1 6 6 5
  • B βˆ’ 5 6 6 5
  • C βˆ’ 1 6 6 5
  • D βˆ’ 6 5 5 6
  • E 5 6 6 5

Q10:

𝐴 𝐡 𝐢 é um triÒngulo onde c o s 𝐴 = 3 5 e s e n 𝐡 = 4 5 . Encontre s e n 𝐢 sem usar uma calculadora.

  • A βˆ’ 1
  • B 2 5 2 4
  • C0
  • D 2 4 2 5

Q11:

Encontre s e n ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) dado s e n 𝐴 = 4 5 onde 9 0 < 𝐴 < 1 8 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = βˆ’ 3 5 onde 1 8 0 < 𝐡 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A0
  • B βˆ’ 2 5 2 4
  • C 2 4 2 5
  • D βˆ’ 2 4 2 5

Q12:

Determine s e n ( π‘Ž + 𝑏 ) sendo c o s π‘Ž = 4 5 e t g 𝑏 = 3 4 em que π‘Ž e 𝑏 sΓ£o dois Γ’ngulos agudos positivos.

  • A0
  • B 2 5 2 4
  • C βˆ’ 2 4 2 5
  • D 2 4 2 5

Q13:

Encontre c o s s e c ( 𝐴 + 𝐡 ) dado s e n 𝐴 = 4 5 onde 9 0 < 𝐴 < 1 8 0 ∘ ∘ e c o s 𝐡 = βˆ’ 5 1 3 onde 1 8 0 < 𝐡 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A βˆ’ 5 6 6 5
  • B 1 6 6 5
  • C βˆ’ 1 6 6 5
  • D 6 5 1 6
  • E 5 6 6 5

Q14:

Utilizando a relação s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 βˆ’ 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽 , encontre uma expressΓ£o para s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) .

  • A s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽
  • B s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • C s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = βˆ’ 𝛼 𝛽 βˆ’ 𝛼 𝛽
  • D s e n s e n c o s c o s s e n ( 𝛼 + 𝛽 ) = 𝛼 𝛽 + 𝛼 𝛽

Q15:

Determine s e n ( π‘Ž βˆ’ 𝑏 ) sendo s e n π‘Ž = βˆ’ 4 5 tal que 2 7 0 < π‘Ž < 3 6 0 ∘ ∘ e c o s 𝑏 = βˆ’ 4 5 tal que 1 8 0 < 𝑏 < 2 7 0 ∘ ∘ .

  • A βˆ’ 7 2 5
  • B βˆ’ 1
  • C 7 2 5
  • D1

Q16:

Determine c o s s e c ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) dados c o s 𝐴 = 7 2 5 e c o s 𝐡 = 3 5 em que 𝐴 e 𝐡 sΓ£o Γ’ngulos agudos.

  • A 4 5
  • B 4 4 1 2 5
  • C βˆ’ 4 4 1 2 5
  • D 1 2 5 4 4
  • E βˆ’ 4 5

Q17:

Dado que t g πœƒ = 3 4 , onde πœƒ Γ© um Γ’ngulo agudo positivo, determine s e n ( πœƒ + 6 0 ) ∘ sem usar uma calculadora.

  • A 3 + 4 √ 3 5
  • B 3 βˆ’ 4 √ 3 1 0
  • C 3 5
  • D 3 + 4 √ 3 1 0

Q18:

Qual das seguintes alternativas Γ© equivalente a √ 2 ο€» βˆ’ 1 + √ 3  ?

  • A 4 1 5 c o s ∘
  • B s e n 1 5 ∘
  • C t g 1 5 ∘
  • D 4 1 5 s e n ∘

Q19:

Sabendo que t g π‘Ž = 5 1 2 , tal que 0 < π‘Ž < 9 0 ∘ ∘ , e t g 𝑏 = βˆ’ 4 3 , tal que 9 0 < 𝑏 < 1 8 0 ∘ ∘ , determine s e n ( π‘Ž βˆ’ 𝑏 ) .

  • A 3 3 6 5
  • B βˆ’ 6 5 6 3
  • C βˆ’ 3 3 6 5
  • D βˆ’ 6 3 6 5

Q20:

Determine c o s s e c ( 𝐴 + 𝐡 ) dados c o s 𝐴 = 3 5 e c o s 𝐡 = 3 5 em que 𝐴 e 𝐡 são Òngulos agudos.

  • A0
  • B 2 4 2 5
  • C βˆ’ 2 4 2 5
  • D 2 5 2 4

Q21:

Sendo s e n π‘Ž = 3 5 e c o s 𝑏 = 1 2 1 3 , em que π‘Ž e 𝑏 sΓ£o dois Γ’ngulos agudos positivo, determine s e n ( π‘Ž + 𝑏 ) .

  • A 1 6 6 5
  • B 6 5 5 6
  • C βˆ’ 1 6 6 5
  • D 5 6 6 5

Q22:

Dado que t g 𝐴 = 7 2 4 e t g 𝐡 = 3 4 , onde 𝐴 e 𝐡 são dois Òngulos agudos positivos, determine s e n ( 𝐴 + 𝐡 ) .

  • A βˆ’ 4 4 1 2 5
  • B 5 4
  • C 4 4 1 2 5
  • D 4 5

Q23:

Determine s e n ( π‘₯ βˆ’ 𝑦 ) sabendo que 2 5 π‘₯ + 7 = 0 c o s com 9 0 < π‘₯ < 1 8 0 ∘ ∘ e c o s 𝑦 = 4 5 com 2 7 0 < 𝑦 < 3 6 0 ∘ ∘ .

  • A βˆ’ 3 5
  • B 5 3
  • C 1 1 7 1 2 5
  • D 3 5

Q24:

Se s e n  𝐴 = 2 5 1 6 9 , onde 1 8 0 < 𝐴 < 2 7 0 ∘ ∘ , e t g 𝐡 = βˆ’ 4 3 , onde 9 0 < 𝐡 < 1 8 0 ∘ ∘ , encontre s e n ( 𝐴 βˆ’ 𝐡 ) .

  • A 3 3 6 5
  • B 6 5 6 3
  • C βˆ’ 3 3 6 5
  • D 6 3 6 5

Q25:

Encontre o valor de s e n ( 𝐡 βˆ’ 2 𝐴 ) dado t g 𝐴 = 4 3 onde 𝐴 ∈  0 , πœ‹ 2  e t g 𝐡 = 2 4 7 onde 𝐡 ∈  πœ‹ , 3 πœ‹ 2  .

  • A βˆ’ 4 4 1 2 5
  • B βˆ’ 3 3 6 6 2 5
  • C 4 4 1 2 5
  • D 3 3 6 6 2 5

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