Atividade: O Modelo Logístico

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar modelos logísticos de crescimento populacional.

Q1:

Suponha que uma população cresce segundo um modelo logístico com capacidade de carga de 7‎ ‎500 e 𝑘=0,006. Escreva a equação diferencial logística tendo em conta esta informação.

  • A d d 𝑃 𝑡 = 0 , 0 0 6 𝑃 1 + 𝑃 7 5 0 0
  • B d d 𝑃 𝑡 = 0 , 0 0 6 𝑃 1 𝑃 7 5 0 0
  • C d d 𝑃 𝑡 = 0 , 0 0 6 1 𝑃 7 5 0 0
  • D d d 𝑃 𝑡 = 𝑃 0 , 0 0 6 + 𝑃 7 5 0 0
  • E d d 𝑃 𝑡 = 𝑃 0 , 0 0 6 𝑃 7 5 0 0

Q2:

Suponha que uma população cresce segundo um modelo logístico com capacidade de carga de 2‎ ‎500 e 𝑘=0,004. Escreva a equação diferencial logística tendo em conta esta informação.

  • A d d 𝑃 𝑡 = 𝑃 0 , 0 0 4 𝑃 2 5 0 0
  • B d d 𝑃 𝑡 = 0 , 0 0 4 𝑃 1 𝑃 2 5 0 0
  • C d d 𝑃 𝑡 = 0 , 0 0 4 1 𝑃 2 5 0 0
  • D d d 𝑃 𝑡 = 0 , 0 0 4 𝑃 1 + 𝑃 2 5 0 0
  • E d d 𝑃 𝑡 = 𝑃 0 , 0 0 4 + 𝑃 2 5 0 0

Q3:

Suponha que uma população cresce de acordo com um modelo logístico com uma população inicial de 1‎ ‎000 e uma capacidade de carga de 10‎ ‎000. Se a população cresce para 2‎ ‎500 após um anos, qual será a população após outros 3 anos?

Q4:

O modelo populacional logístico assume um limite superior 𝐿, para lá do qual o crescimento não pode ocorrer. A população 𝑦(𝑡) tem uma taxa de variação que satisfaz dd𝑦𝑡=𝑘𝑦1𝑦𝐿 para uma constante positiva 𝑘. Uma função adequada 𝑦(𝑡) envolve um segundo parâmetro 𝑏, determinado pela velocidade de crescimento inicial. Sem integrar, qual das seguintes expressões poderia ser 𝑦(𝑡)?

  • A 𝐿 𝑏 𝑒 1
  • B 𝐿 𝑏 𝑒 1
  • C 𝑏 𝐿 𝑒 1
  • D 𝑏 1 + 𝐿 𝑒
  • E 𝐿 1 + 𝑏 𝑒

Q5:

Ao contrário do crescimento exponencial, em que a população cresce sem restrições, o modelo logístico assume um limite superior 𝐿, para lá do qual o crescimento não pode ocorrer. A população 𝑦(𝑡) tem uma taxa de variação que satisfaz dd𝑦𝑡=𝑘𝑦1𝑦𝐿 para uma constante positiva 𝑘. Dada uma população com 𝑦(0)=𝐿2, a partir de que valor da população o crescimento é nulo?

  • A 𝐿 2
  • B0
  • Cnunca
  • DNão pode ser determinado.
  • E 𝐿

Q6:

Uma população de bactérias está a crescer a uma taxa de 15% por minuto num recipiente fechado. Se o número inicial de bactérias é 2 e a capacidade de carga do recipiente é 2 milhões de células, quanto tempo levará para a população de bactérias atingir 1 milhão de células? Apresente a resposta em minutos, arredondada às unidades.

Q7:

Um jardim tem capacidade para 200 árvores e precisa de um ritmo de 3% por mês para estarem completamente formadas. Se o número inicial das árvores completamente formadas no jardim era 20, qual será o número de árvores completamente formadas após 9 meses?

  • A25 árvores
  • B45 árvores
  • C21 árvores
  • D27 árvores
  • E34 árvores

Q8:

Suponha que o crescimento de uma população seja governado pela equação logística dd𝑃𝑡=0,07𝑃1𝑃900, onde 𝑃(0)=50. Escreva a fórmula para 𝑃(𝑡).

  • A 𝑃 ( 𝑡 ) = 9 0 0 1 + 1 7 𝑒
  • B 𝑃 ( 𝑡 ) = 9 0 0 1 9 𝑒
  • C 𝑃 ( 𝑡 ) = 9 0 0 1 9 𝑒
  • D 𝑃 ( 𝑡 ) = 9 0 0 1 7 + 𝑒
  • E 𝑃 ( 𝑡 ) = 9 0 0 1 + 1 7 𝑒

Q9:

Uma gaiola pode suportar até 1‎ ‎000 pássaros; e 200 pássaros são colocados inicialmente na gaiola. Suponha que a população de aves cresça de acordo com o modelo logístico. Se depois de 2 meses existem 400 pássaros na gaiola, depois de quantos meses a população chegará a 800 pássaros? Dê a sua resposta para o mês mais próximo.

Q10:

A população de cidadãos dentro de uma aldeia tem uma capacidade de 600 e uma taxa de crescimento de 4%. Se a população inicial é de 120 cidadãos, qual é a população dos cidadãos da aldeia a qualquer momento?

  • A 𝑃 ( 𝑡 ) = 6 0 0 𝑒 4 + 𝑒
  • B 𝑃 ( 𝑡 ) = 6 0 0 𝑒 4 𝑒
  • C 𝑃 ( 𝑡 ) = 6 𝑒 6 0 0 + 𝑒
  • D 𝑃 ( 𝑡 ) = 4 𝑒 6 0 0 𝑒
  • E 𝑃 ( 𝑡 ) = 6 0 0 𝑒 6 + 𝑒

Q11:

O crescimento populacional de lobos em um parque nacional segue um modelo de crescimento logístico com uma população inicial de 15 lobos, um valor 𝑘 de 0,05 (usando um ano como unidade de tempo) e uma capacidade de carga de 80. Em aproximadamente quantos anos o modelo prevê uma população de lobos de 60?

  • A3
  • B51
  • C20
  • D12
  • E59

Q12:

A biomassa de Cerastium assume-se que segue um modelo de crescimento logístico com uma biomassa inicial de 0,1 g e um fator de proporcionalidade 𝑘=0,055, usando o dia como uma unidade de tempo. Em 𝑡=75 dias, a biomassa de uma planta de Cerastium era 3,0 g. Encontre a biomassa final desta planta de Cerastium quando estiver totalmente crescida. Dê a sua resposta para uma casa decimal.

  • A2,0
  • B5,9
  • C2,1
  • D3,0
  • E5,7

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