Atividade: Resolvendo Equações Trigonométricas com a Identidade do Dobro de um Ângulo

Nesta atividade, nós vamos praticar a resolução de equações trigonométricas utilizando a identidade para o dobro de um ângulo.

Q1:

Se 0 ≀ πœƒ < 1 8 0 ∘ ∘ , determine o conjunto-solução de √ 2 πœƒ πœƒ βˆ’ πœƒ = 0 s e n c o s s e n .

  • A { 4 5 ; 1 3 5 } ∘ ∘
  • B { 0 ; 1 3 5 } ∘ ∘
  • C { 4 5 ; 9 0 } ∘ ∘
  • D { 0 ; 4 5 } ∘ ∘

Q2:

Encontre πœƒ em graus dado s e n c o s πœƒ = 4 πœƒ onde πœƒ Γ© um Γ’ngulo agudo positivo.

Q3:

Determine o conjunto de todas as soluçáes possΓ­veis de 2 πœƒ πœƒ = 0 s e n c o s sendo πœƒ ∈ [ 0 , 3 6 0 ) ∘ ∘ .

  • A { 6 0 , 1 2 0 , 1 8 0 , 2 7 0 } ∘ ∘ ∘ ∘
  • B { 3 0 , 1 5 0 , 1 8 0 , 2 7 0 } ∘ ∘ ∘ ∘
  • C { 0 , 9 0 , 1 2 0 , 2 4 0 } ∘ ∘ ∘ ∘
  • D { 0 , 9 0 , 1 8 0 , 2 7 0 } ∘ ∘ ∘ ∘

Q4:

Encontre o conjunto solução para π‘₯ dado c o s c o s 2 π‘₯ + 1 3 √ 3 π‘₯ = βˆ’ 1 9 onde π‘₯ ∈ ( 0 , 2 πœ‹ ) .

  • A { 1 5 0 , 3 3 0 } ∘ ∘
  • B { 1 2 0 , 2 4 0 } ∘ ∘
  • C { 3 0 , 3 3 0 } ∘ ∘
  • D { 1 5 0 , 2 1 0 } ∘ ∘

Q5:

Determine todas as soluçáes gerais possΓ­veis de s e n c o s s e n πœƒ πœƒ = √ 2 2 πœƒ .

  • A 𝑛 πœ‹ , βˆ’ πœ‹ 2 + 2 𝑛 πœ‹ (onde 𝑛 ∈ β„€ )
  • B 𝑛 πœ‹ , πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ (onde 𝑛 ∈ β„€ )
  • C 𝑛 πœ‹ , Β± πœ‹ 2 + 2 𝑛 πœ‹ (onde 𝑛 ∈ β„€ )
  • D 𝑛 πœ‹ , Β± πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ (onde 𝑛 ∈ β„€ )
  • E Β± πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ (onde 𝑛 ∈ β„€ )

Q6:

Se 0 ≀ πœƒ < 1 8 0 ∘ ∘ , determine o conjunto-solução de 2 πœƒ πœƒ + πœƒ = 0 s e n c o s s e n .

  • A { 0 ; 6 0 } ∘ ∘
  • B { 9 0 ; 1 2 0 } ∘ ∘
  • C { 0 ; 3 0 } ∘ ∘
  • D { 0 ; 1 2 0 } ∘ ∘

Q7:

Encontre o conjunto solução para π‘₯ dado c o s c o s 2 π‘₯ + 5 √ 3 π‘₯ = βˆ’ 7 onde π‘₯ ∈ ( 0 , 2 πœ‹ ) .

  • A { 6 0 , 2 4 0 } ∘ ∘
  • B { 1 5 0 , 2 1 0 } ∘ ∘
  • C { 3 0 , 3 0 0 } ∘ ∘
  • D { 3 0 , 3 3 0 } ∘ ∘

Q8:

Resolva t g s e n ο€» π‘₯ 2  = π‘₯ , para 0 ≀ π‘₯ < 2 πœ‹ .

  • A π‘₯ ∈  0 , πœ‹ 2 
  • B π‘₯ ∈  0 , πœ‹ 2 , 3 πœ‹ 2 , 2 πœ‹ 
  • C π‘₯ ∈  0 , πœ‹ 4 , πœ‹ , 3 πœ‹ 4 
  • D π‘₯ ∈  0 , πœ‹ 2 , 3 πœ‹ 2 
  • E π‘₯ ∈  0 , πœ‹ 4 

Q9:

Utilizando a identidade para a metade de um Γ’ngulo s e n c o s ο€» π‘₯ 2  = ο„ž 1 βˆ’ π‘₯ 2 , ou outra, resolva a equação s e n c o s ο€» π‘₯ 2  + π‘₯ = 1 para 0 ≀ π‘₯ < 2 πœ‹ .

  • A π‘₯ =  0 , 1 6 πœ‹ 
  • B π‘₯ =  0 , 1 3 πœ‹ 
  • C π‘₯ =  0 , 1 6 πœ‹ , 5 6 πœ‹ 
  • D π‘₯ =  0 , 1 3 πœ‹ , 5 3 πœ‹ 
  • E π‘₯ =  0 , 1 3 πœ‹ , 5 6 πœ‹ 

Q10:

Encontre o conjunto solução de π‘₯ dado c o s c o s s e n s e n π‘₯ 2 π‘₯ βˆ’ π‘₯ 2 π‘₯ = 1 2 onde 0 < π‘₯ < 3 6 0 ∘ ∘ .

  • A { 1 0 , 1 0 0 } ∘ ∘
  • B { 1 0 , 1 1 0 } ∘ ∘
  • C { 2 0 , 1 1 0 } ∘ ∘
  • D { 2 0 , 1 0 0 } ∘ ∘

Q11:

Encontre todas as possΓ­veis soluçáes gerais de c o s s e n c o s πœƒ πœƒ = √ 2 2 πœƒ .

  • A 2 𝑛 πœ‹ Β± πœ‹ 2 , πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ , βˆ’ πœ‹ 4 + πœ‹
  • B 2 𝑛 πœ‹ Β± πœ‹ 2 , πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ , πœ‹ 4 + πœ‹ + 2 𝑛 πœ‹
  • C 2 𝑛 πœ‹ + πœ‹ 2 , πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ , βˆ’ πœ‹ 4 + πœ‹ + 2 𝑛 πœ‹
  • D 2 𝑛 πœ‹ Β± πœ‹ 2 , πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ , βˆ’ πœ‹ 4 + πœ‹ + 2 𝑛 πœ‹
  • E 2 𝑛 πœ‹ βˆ’ πœ‹ 2 , πœ‹ 4 + 2 𝑛 πœ‹ , βˆ’ πœ‹ 4 + πœ‹ + 2 𝑛 πœ‹

Q12:

Encontre o conjunto de valores que satisfazem c o s 2 π‘₯ = βˆ’ √ 3 2 , onde 0 ≀ π‘₯ < 2 πœ‹ .

  • A  5 πœ‹ 6 , 7 πœ‹ 6 
  • B  5 πœ‹ 1 2 , 7 πœ‹ 1 2 
  • C  5 πœ‹ 6 , 7 πœ‹ 6 , 1 1 πœ‹ 6 
  • D  5 πœ‹ 1 2 , 7 πœ‹ 1 2 , 1 7 πœ‹ 1 2 , 1 9 πœ‹ 1 2 
  • E { 0 , πœ‹ }

Q13:

Encontre o valor de 𝑋 que dΓ‘ o valor mΓ‘ximo da equação s e n c o s c o s s e n 𝑋 6 1 + 𝑋 6 1 ∘ ∘ onde 0 < 𝑋 < 2 πœ‹ .

  • A 1 5 1 ∘
  • B 2 0 9 ∘
  • C 6 1 ∘
  • D 2 9 ∘

Q14:

Encontre a solução definida para π‘₯ dado s e n c o s c o s s e n π‘₯ 3 5 + π‘₯ 3 5 = √ 2 2 ∘ ∘ onde 0 < π‘₯ < 3 6 0 ∘ ∘ .

  • A { 1 0 ∘ , 1 7 0 } ∘
  • B { 8 0 ∘ , 1 7 0 } ∘
  • C { 8 0 ∘ , 1 0 0 } ∘
  • D { 1 0 ∘ , 1 0 0 } ∘

Q15:

Encontre o valor de π‘₯ dado c o s s e n 2 π‘₯ = 3 π‘₯ onde π‘₯ Γ© um Γ’ngulo agudo. DΓͺ a resposta para o grau mais prΓ³ximo.

Q16:

Encontre o valor de 𝑋 que dΓ‘ o valor mΓ­nimo da equação s e n c o s c o s s e n 𝑋 1 2 + 𝑋 1 2 ∘ ∘ onde 0 < 𝑋 < 2 πœ‹ .

  • A 1 0 2 ∘
  • B 7 8 ∘
  • C 1 2 ∘
  • D 2 5 8 ∘

Q17:

Encontre o valor de 𝑋 sem usar uma calculadora, dado 𝑋 ο€Ό 7 πœ‹ 6  ο€» πœ‹ 3  = ο€Ό 2 πœ‹ 3  ο€Ό 5 πœ‹ 6  s e n c o s t g s e n   .

  • A βˆ’ 1 2
  • B 1 1 2
  • C βˆ’ 1 1 2
  • D12

Q18:

Encontre a solução geral para a equação s e n c o s 2 π‘₯ = π‘₯ 2 .

  • A π‘₯ = πœ‹ 2 + 2 πœ‹ 𝑛 , π‘₯ = πœ‹ 5 + 4 𝑛 πœ‹ 5 , onde 𝑛 ∈ β„€
  • B π‘₯ = πœ‹ 2 + 2 πœ‹ 𝑛 , π‘₯ = πœ‹ 3 + 4 𝑛 πœ‹ 3 , onde 𝑛 ∈ β„€
  • C π‘₯ = πœ‹ 2 + 2 πœ‹ 𝑛 , π‘₯ = πœ‹ + 2 πœ‹ 𝑛 , onde 𝑛 ∈ β„€
  • D π‘₯ = πœ‹ 5 + 4 𝑛 πœ‹ 5 , π‘₯ = πœ‹ 3 + 4 𝑛 πœ‹ 3 , onde 𝑛 ∈ β„€
  • E π‘₯ = πœ‹ + 2 πœ‹ 𝑛 , π‘₯ = πœ‹ 3 + 4 𝑛 πœ‹ 3 , onde 𝑛 ∈ β„€

Q19:

Encontre o valor de 𝐴 dado c o s t g 𝐴 𝐴 = 7 1 2 onde 𝐴 Γ© um Γ’ngulo agudo. DΓͺ a resposta para o segundo mais prΓ³ximo.

  • A 3 0 1 5 β€² 2 3 β€² β€² ∘
  • B 5 4 1 8 β€² 5 3 β€² β€² ∘
  • C 5 9 4 4 β€² 3 7 β€² β€² ∘
  • D 3 5 4 1 β€² 7 β€² β€² ∘

Q20:

Encontre os valores de πœƒ que satisfaz c o s s e n c o s t g πœƒ = 1 2 βˆ’ 5 9 7 2 1 1 ∘ ∘ ∘ onde 0 < πœƒ < 3 6 0 ∘ ∘ dando a resposta para o minuto mais prΓ³ximo.

  • A 1 2 5 2 β€² ∘ , 3 0 5 2 β€² ∘
  • B 1 2 5 2 β€² ∘ , 2 3 4 5 8 β€² ∘
  • C 5 4 5 8 β€² ∘ , 2 3 4 5 8 β€² ∘
  • D 5 4 5 8 β€² ∘ , 3 0 5 2 β€² ∘

Q21:

Encontre os valores possΓ­veis de 𝛼 na expressΓ£o s e n s e n s e n c o s s e c t g 𝛼 = 3 3 0 ( βˆ’ πœƒ ) + 7 9 7 8 ( 1 8 0 + πœƒ ) 4 5 ∘ ∘ ∘ dado t g πœƒ = 1 2 5 onde πœƒ Γ© o maior Γ’ngulo no intervalo πœƒ ∈ ] 0 , 2 πœ‹ [ . DΓͺ o Γ’ngulo para o minuto mais prΓ³ximo.

  • A 𝛼 = 2 1 9 2 8 β€² ∘ ou 𝛼 = 3 2 0 3 2 β€² ∘
  • B 𝛼 = 3 9 2 8 β€² ∘ ou 𝛼 = 2 1 9 2 8 β€² ∘
  • C 𝛼 = 2 1 9 2 8 β€² ∘ ou 𝛼 = 1 4 0 3 2 β€² ∘
  • D 𝛼 = 3 9 2 8 β€² ∘ ou 𝛼 = 1 4 0 3 2 β€² ∘

Q22:

Determine o conjunto-solução da equação s e n s e n s e n s e n ( 6 7 + 2 πœƒ ) ( 7 9 + πœƒ ) + ( 2 3 βˆ’ 2 πœƒ ) ( 1 1 βˆ’ πœƒ ) = 1 ∘ ∘ ∘ ∘ given 0 < πœƒ < πœ‹ 2 .

  • A { 3 4 } ∘
  • B { 1 4 6 } ∘
  • C { 9 0 } ∘
  • D { 1 2 } ∘

Q23:

Considere a equação s e n c o s πœƒ βˆ’ √ 3 πœƒ = 1 , onde 0 < πœƒ ≀ 2 πœ‹ . Podemos resolver isso usando a fΓ³rmula de adição: 𝑅 ( πœƒ βˆ’ 𝛼 ) = 𝑅 πœƒ 𝛼 βˆ’ 𝑅 πœƒ 𝛼 s e n s e n c o s c o s s e n .

Se compararmos s e n c o s πœƒ βˆ’ √ 3 πœƒ = 1 para o lado direito da fΓ³rmula de adição, achamos que, para elas serem iguais, 𝑅 𝛼 = 1 c o s e que 𝑅 𝛼 = √ 3 s e n . Use estas duas equaçáes para encontrar os valores de 𝑅 e 𝛼 , dando 𝛼 em radianos.

  • A 𝑅 = 2 , 𝛼 = πœ‹ 6
  • B 𝑅 = 1 , 𝛼 = πœ‹ 4
  • C 𝑅 = 3 , 𝛼 = πœ‹ 6
  • D 𝑅 = 2 , 𝛼 = πœ‹ 3
  • E 𝑅 = 1 , 𝛼 = πœ‹ 2

Usando seus valores para 𝑅 e 𝛼 , resolva a equação 𝑅 ( πœƒ βˆ’ 𝛼 ) = 1 s e n para encontrar as soluçáes para a equação original.

  • A πœƒ = πœ‹ 2 , 7 πœ‹ 6
  • B πœƒ = πœ‹ 4 , πœ‹ 2
  • C πœƒ = πœ‹ 3 , πœ‹ 6
  • D πœƒ = πœ‹ 2 , πœ‹ 6
  • E πœƒ = 3 πœ‹ 2 , 5 πœ‹ 6

Q24:

Determine o valor de π‘₯ sabendo que c o s 2 π‘₯ = √ 3 2 e sendo 2 π‘₯ um Γ’ngulo agudo. Apresente a resposta arredondado ao minuto.

  • A 2 2 3 0 β€² ∘
  • B 3 0 ∘
  • C 4 5 ∘
  • D 1 5 ∘

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