Atividade: Números Complexos como Matrizes

Nesta atividade, nós vamos praticar a representar um número complexo como uma matriz de transformação linear e utilizar isso para determinar o produto de dois números complexos.

Q1:

Suponha que consideramos a matriz 𝑁=34−43 para representar o número complexo 3−4𝑖 e a matriz 𝑀=2−552 para representar o número complexo 2+5𝑖.

Qual é o produto 𝑀𝑁?

  • A  2 6 7 − 7 2 6 
  • B  2 6 − 7 7 2 6 
  • C  − 2 0 6 6 2 0 
  • D  6 − 2 0 − 2 0 6 
  • E  − 1 4 2 3 − 2 3 1 4 

O que representa?

  • AÉ a matriz que representa −20+6𝑖 que é o produto (3−4𝑖)(2+5𝑖).
  • BÉ a matriz que representa 6−20𝑖 que é o produto (3−4𝑖)(2+5𝑖).
  • CÉ a matriz que representa −14+23𝑖 que é o produto (3+4𝑖)(2−5𝑖).
  • DÉ a matriz que representa 7+26𝑖 que é o produto (3−4𝑖)(2+5𝑖).
  • EÉ a matriz que representa 26+7𝑖 que é o produto (3−4𝑖)(2+5𝑖).

Q2:

Descreva a transformação geométrica que ocorre quando os números no plano complexo são transformados para suas somas com 𝑎+𝑏𝑖.

  • Auma translação de −𝑏−𝑎
  • Buma translação de 𝑏𝑎
  • Cuma translação de −𝑎𝑏
  • Duma translação de 𝑎𝑏
  • Euma translação de −𝑎−𝑏

Q3:

Seja 𝑀 a representação matricial do número complexo 𝑧=𝑎+𝑏𝑖.

Expresse a representação matricial de 𝑧∗ em termos de 𝑀.

  • A 𝑀
  • B 𝑀 T
  • C  𝑀    T
  • D 𝑀  

O que det𝑀 correspondem em relação a 𝑧?

  • AO determinante, det𝑀, corresponde a |𝑧|.
  • BO determinante, det𝑀, corresponde a |𝑧|.
  • CO determinante, det𝑀, corresponde a 𝑧∗.
  • DO determinante, det𝑀, corresponde a |𝑧|.

O que 𝑀 corresponde em termos de 𝑧?

  • AA matriz inversa, 𝑀, corresponde ao número complexo 𝑧∗.
  • BA matriz inversa, 𝑀, corresponde ao número complexo 𝑧.
  • CA matriz inversa, 𝑀, corresponde ao número complexo 1𝑧.
  • DA matriz inversa, 𝑀, corresponde ao número complexo |𝑧|.

Q4:

Suponha que tomemos a matriz 𝑀=5−775 para representar o número complexo 𝑧=5+7𝑖 e a matriz 𝑁=18−81 para representar o número complexo 𝑧=1−8𝑖.

Qual é a soma 𝑀+𝑁?

  • A  6 1 − 1 6 
  • B  6 1 5 1 5 6 
  • C  4 − 1 5 1 5 4 
  • D  6 − 1 − 1 6 
  • E  − 4 1 5 − 1 5 − 4 

O que isso representa em termos de números complexos 𝑧 e 𝑧?

  • A 𝑧 + 𝑧 = 6 − 𝑖  
  • B 𝑧 − 𝑧 = 6 − 𝑖  
  • C 𝑧 − 𝑧  

Q5:

Seja 𝑀=711−117 a representação matricial do número complexo 𝑧 e seja 𝑀=4−114 a representação matricial de 𝑧. Determine a representação matricial de 𝑧𝑧.

  • A  1 3 3 1 
  • B 1 1 0  1 3 − 3 1 
  • C 1 1 0  1 3 3 1 
  • D  1 3 − 3 1 
  • E  3 9 3 7 − 3 7 3 9 

Q6:

Sejam os números complexos 𝑧, 𝑧, e 𝑧 representados pelas matrizes 𝑀, 𝑀, e 𝑀. Reescreva o seguinte cálculo complexo como um cálculo de matriz: (𝑧+𝑧)𝑧.∗

  • A  𝑀 + 𝑀  𝑀        
  • B  𝑀 + 𝑀  𝑀 T      
  • C  𝑀 + 𝑀  𝑀       T
  • D  𝑀 + 𝑀  𝑀      T
  • E  𝑀 + 𝑀  𝑀 T     

Q7:

Seja 𝑀 a representação matricial do número complexo 𝑧=𝑎+𝑏𝑖. Qual é a identidade numérica complexa correspondente para a matriz identidade 𝑀=1𝑀𝐶,detT onde 𝐶 é a matriz cofator de 𝑀?

  • A 1 𝑧 = 𝑧 | 𝑧 | ∗ 
  • B 𝑧 = 1 𝑧 | 𝑧 |
  • C 1 𝑧 = 𝑧 | 𝑧 | ∗
  • D 𝑧 = 1 𝑧 | 𝑧 | ∗ 
  • E 𝑧 = 1 𝑧 | 𝑧 | 

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