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Lição de casa da aula: Fórmula de Euler para Identidades Trigonométricas Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a fórmula de Euler para provar identidades trigonométricas como ângulo duplo e metade de um ângulo.

Q1:

Use a fรณrmula de Euler para expressar tg(8๐œƒ) em termos de tg๐œƒ.

Dica: Primeiro escreva cos(8๐œƒ) e sen(8๐œƒ) em termos de sen๐œƒ e cos๐œƒ.

  • Atgtgtgtgtgtgtgtgtg(8๐œƒ)=8๐œƒโˆ’56๐œƒโˆ’56๐œƒ+8๐œƒ1+28๐œƒโˆ’70๐œƒ+28๐œƒ+๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šญ๏Šจ๏Šช๏Šฌ๏Šฎ
  • Btgtgtgtgtgtgtgtg(8๐œƒ)=โˆ’7๐œƒ+35๐œƒโˆ’21๐œƒ+๐œƒโˆ’1+21๐œƒโˆ’35๐œƒ+7๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šญ๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Ctgtgtgtgtgtgtgtg(8๐œƒ)=7๐œƒโˆ’35๐œƒ+21๐œƒโˆ’๐œƒ1โˆ’21๐œƒ+35๐œƒโˆ’7๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šญ๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Dtgtgtgtgtgtgtgtgtg(8๐œƒ)=โˆ’8๐œƒ+56๐œƒโˆ’56๐œƒ+8๐œƒ1โˆ’28๐œƒ+70๐œƒโˆ’28๐œƒ+๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šญ๏Šจ๏Šช๏Šฌ๏Šฎ
  • Etgtgtgtgtgtgtgtgtg(8๐œƒ)=8๐œƒโˆ’56๐œƒ+56๐œƒโˆ’8๐œƒ1โˆ’28๐œƒ+70๐œƒโˆ’28๐œƒ+๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šญ๏Šจ๏Šช๏Šฌ๏Šฎ

Q2:

Usando a fรณrmula de Euler, expresse tg(3๐œƒ) em termos de tg๐œƒ.

  • Atgtgtgtg(3๐œƒ)=2๐œƒโˆ’๐œƒ1โˆ’2๐œƒ๏Šฉ๏Šจ
  • Btgtgtgtg(3๐œƒ)=โˆ’3๐œƒ+๐œƒ1โˆ’3๐œƒ๏Šฉ๏Šจ
  • Ctgtgtgtg(3๐œƒ)=3๐œƒโˆ’๐œƒ1โˆ’3๐œƒ๏Šฉ๏Šจ
  • Dtgtgtgtg(3๐œƒ)=โˆ’2๐œƒ+๐œƒ1โˆ’2๐œƒ๏Šฉ๏Šจ
  • Etgtgtgtg(3๐œƒ)=3๐œƒ+๐œƒ1+3๐œƒ๏Šฉ๏Šจ

Q3:

Usando a fรณrmula de Euler, derive uma fรณrmula para cos(3๐œƒ) e sen(3๐œƒ) em termos de sen๐œƒ e cos๐œƒ.

  • Acoscoscos(3๐œƒ)=4๐œƒ+3๐œƒ๏Šฉ, sensensen(3๐œƒ)=3๐œƒ+4๐œƒ๏Šฉ
  • Bcoscoscos(3๐œƒ)=โˆ’2๐œƒ+3๐œƒ๏Šฉ, sensensen(3๐œƒ)=3๐œƒโˆ’2๐œƒ๏Šฉ
  • Ccoscoscos(3๐œƒ)=4๐œƒโˆ’3๐œƒ๏Šฉ, sensensen(3๐œƒ)=3๐œƒโˆ’4๐œƒ๏Šฉ
  • Dcoscoscossen(3๐œƒ)=๐œƒ+3๐œƒ๐œƒ๏Šฉ๏Šจ, sensencossen(3๐œƒ)=โˆ’3๐œƒ๐œƒ+๐œƒ๏Šจ๏Šฉ
  • Ecoscoscos(3๐œƒ)=โˆ’2๐œƒโˆ’3๐œƒ๏Šฉ, sensensen(3๐œƒ)=3๐œƒ+2๐œƒ๏Šฉ

Q4:

Usando a fรณrmula de Euler, expresse sen๏Šซ๐œƒ na forma ๐‘Ž(5๐œƒ)+๐‘(3๐œƒ)+๐‘(๐œƒ)sensensen, onde ๐‘Ž, ๐‘, e ๐‘ sรฃo constantes a serem encontradas.

  • Asensensensen๏Šซ๐œƒ=116((5๐œƒ)+10(3๐œƒ)โˆ’5(๐œƒ))
  • Bsensensensen๏Šซ๐œƒ=116((5๐œƒ)โˆ’5(3๐œƒ)+10(๐œƒ))
  • Csensensensen๏Šซ๐œƒ=(5๐œƒ)โˆ’5(3๐œƒ)+10(๐œƒ)
  • Dsensensensen๏Šซ๐œƒ=132((5๐œƒ)โˆ’5(3๐œƒ)+10(๐œƒ))
  • Esensensensen๏Šซ๐œƒ=132((5๐œƒ)+10(3๐œƒ)โˆ’5(๐œƒ))

Q5:

Expresse cos๐œƒ e sin๐œƒ em termos de ๐‘’๏ƒ๏ผ e ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏ผ.

  • Acos๐œƒ=12๏€น๐‘’+๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ, sin๐œƒ=12๐‘–๏€น๐‘’โˆ’๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ
  • Bcos๐œƒ=12๏€น๐‘’โˆ’๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ, sin๐œƒ=12๐‘–๏€น๐‘’+๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ
  • Ccos๐œƒ=12๐‘’๏ƒ๏ผ, sin๐œƒ=12๐‘–๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏ผ
  • Dcos๐œƒ=12๐‘–๏€น๐‘’โˆ’๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ, sin๐œƒ=12๏€น๐‘’+๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ
  • Ecos๐œƒ=12๐‘–๏€น๐‘’+๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ, sin๐œƒ=12๏€น๐‘’โˆ’๐‘’๏…๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ

Q6:

Usando a fรณrmula de Euler, expresse cos๏Šช๐œƒ na forma ๐‘Ž(4๐œƒ)+๐‘(2๐œƒ)+๐‘coscos, onde ๐‘Ž, ๐‘, e ๐‘ sรฃo constantes a serem encontradas.

  • Acoscoscos๏Šช๐œƒ=116(4(4๐œƒ)+(2๐œƒ)+6)
  • Bcoscoscos๏Šช๐œƒ=18((4๐œƒ)+4(2๐œƒ)+3)
  • Ccoscoscos๏Šช๐œƒ=116((4๐œƒ)+4(2๐œƒ)+6)
  • Dcoscoscos๏Šช๐œƒ=18((4๐œƒ)+4(2๐œƒ)+6)
  • Ecoscoscos๏Šช๐œƒ=116(6(4๐œƒ)+8(2๐œƒ)+1)

Q7:

Usando a fรณrmula de Euler, expresse ๐‘’๏Šซ๏ƒ๏ผ em termos de seno e cosseno.

  • Acossen(5๐œƒ)+๐‘–(5๐œƒ)
  • B5๐œƒโˆ’5๐‘–๐œƒcossen
  • Ccossen(5๐œƒ)โˆ’๐‘–(5๐œƒ)
  • D5๐œƒ+5๐‘–๐œƒcossen
  • Esencos(5๐œƒ)โˆ’๐‘–(5๐œƒ)

Q8:

Quais identidades trigonomรฉtricas podem ser derivadas aplicando a identidade de Euler a ๐‘’๏ƒ(๏ผ๏Šฑ๏ŽŠ)?

  • Acossencoscossen(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘โˆ’๐œƒ๐œ‘, sencoscossensen(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘+๐œƒ๐œ‘
  • Bcoscossensencos(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘+๐œƒ๐œ‘, sencoscossensen(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘โˆ’๐œƒ๐œ‘
  • Ccoscoscossensen(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘โˆ’๐œƒ๐œ‘, sencossensencos(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘+๐œƒ๐œ‘
  • Dcoscossensencos(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘+๐œƒ๐œ‘, sencossensencos(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘โˆ’๐œƒ๐œ‘
  • Ecoscoscossensen(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘+๐œƒ๐œ‘, sensencoscossen(๐œƒโˆ’๐œ‘)=๐œƒ๐œ‘โˆ’๐œƒ๐œ‘

Q9:

Use a fรณrmula de Euler para expressar ๐‘’๏Šฑ๏ƒ๏ผ em termos de seno e cosseno.

  • A๐‘’=๐œƒโˆ’๐‘–๐œƒ๏Šฑ๏ƒ๏ผcossen
  • B๐‘’=๐œƒโˆ’๐‘–๐œƒ๏Šฑ๏ƒ๏ผsencos
  • C๐‘’=โˆ’๐œƒ+๐‘–๐œƒ๏Šฑ๏ƒ๏ผsencos
  • D๐‘’=๐œƒ+๐‘–๐œƒ๏Šฑ๏ƒ๏ผcossen
  • E๐‘’=โˆ’๐œƒโˆ’๐‘–๐œƒ๏Šฑ๏ƒ๏ผcossen

Dado que ๐‘’๐‘’=1๏ƒ๏ผ๏Šฑ๏ƒ๏ผ, que identidade trigonomรฉtrica pode ser derivada expandindo os exponenciais em termos de funรงรตes trigonomรฉtricas?

  • Asencos๐œƒ+๐œƒโ‰ก1
  • Bcossencos๏Šจ๏Šจ๏Šจ๐œƒโˆ’๐œƒโ‰ก๐œƒ
  • Csencos๏Šจ๏Šจ๐œƒ+๐œƒโ‰กโˆ’1
  • Dsencos๏Šจ๏Šจ๐œƒ+๐œƒโ‰ก1
  • Ecossen๏Šจ๏Šจ๐œƒโˆ’๐œƒโ‰กโˆ’1

Q10:

Use a fรณrmula de Euler para derivar uma fรณrmula para cos6๐œƒ e sen6๐œƒ em termos de sen๐œƒ e cos๐œƒ.

  • Acoscoscossencossensen6๐œƒ=๐œƒ+15๐œƒ๐œƒโˆ’15๐œƒ๐œƒโˆ’๐œƒ๏Šฌ๏Šช๏Šจ๏Šจ๏Šช๏Šฌ, sencossencossencossen6๐œƒ=6๐œƒ๐œƒ+20๐œƒ๐œƒโˆ’6๐œƒ๐œƒ๏Šซ๏Šฉ๏Šฉ๏Šซ
  • Bcoscossencossencossen6๐œƒ=6๐œƒ๐œƒ+20๐œƒ๐œƒโˆ’6๐œƒ๐œƒ๏Šซ๏Šฉ๏Šฉ๏Šซ, sencoscossencossensen6๐œƒ=๐œƒ+15๐œƒ๐œƒโˆ’15๐œƒ๐œƒโˆ’๐œƒ๏Šฌ๏Šช๏Šจ๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Ccoscoscossencossensen6๐œƒ=๐œƒโˆ’15๐œƒ๐œƒ+15๐œƒ๐œƒโˆ’๐œƒ๏Šฌ๏Šช๏Šจ๏Šจ๏Šช๏Šฌ, sencossencossencossen6๐œƒ=6๐œƒ๐œƒโˆ’20๐œƒ๐œƒ+6๐œƒ๐œƒ๏Šซ๏Šฉ๏Šฉ๏Šซ
  • Dcoscoscossencossensen6๐œƒ=๐œƒ+15๐œƒ๐œƒ+15๐œƒ๐œƒ+๐œƒ๏Šฌ๏Šช๏Šจ๏Šจ๏Šช๏Šฌ, sencossencossencossen6๐œƒ=6๐œƒ๐œƒ+20๐œƒ๐œƒ+6๐œƒ๐œƒ๏Šซ๏Šฉ๏Šฉ๏Šซ
  • Ecoscoscossencossensen6๐œƒ=โˆ’๐œƒโˆ’15๐œƒ๐œƒโˆ’15๐œƒ๐œƒโˆ’๐œƒ๏Šฌ๏Šช๏Šจ๏Šจ๏Šช๏Šฌ, sencossencossencossen6๐œƒ=โˆ’6๐œƒ๐œƒโˆ’20๐œƒ๐œƒโˆ’6๐œƒ๐œƒ๏Šซ๏Šฉ๏Šฉ๏Šซ

Entรฃo, expresse tg6๐œƒ em termos de tg๐œƒ.

  • Atgtgtgtgtgtgtg6๐œƒ=6๐œƒ+20๐œƒ+6๐œƒ1+15๐œƒ+15๐œƒ+๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Btgtgtgtgtgtgtg6๐œƒ=1+15๐œƒโˆ’15๐œƒโˆ’๐œƒ6๐œƒ+20๐œƒโˆ’6๐œƒ๏Šจ๏Šช๏Šฌ๏Šฉ๏Šซ
  • Ctgtgtgtgtgtgtg6๐œƒ=โˆ’6๐œƒโˆ’20๐œƒโˆ’6๐œƒโˆ’1โˆ’15๐œƒโˆ’15๐œƒโˆ’๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Dtgtgtgtgtgtgtg6๐œƒ=6๐œƒ+20๐œƒโˆ’6๐œƒ1+15๐œƒโˆ’15๐œƒโˆ’๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šจ๏Šช๏Šฌ
  • Etgtgtgtgtgtgtg6๐œƒ=6๐œƒโˆ’20๐œƒ+6๐œƒ1โˆ’15๐œƒ+15๐œƒโˆ’๐œƒ๏Šฉ๏Šซ๏Šจ๏Šช๏Šฌ

Esta aula inclui 9 questões adicionais e 18 variações de questões adicionais para assinantes.

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