Atividade: Equação de uma Reta em Três Dimensões

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar o vetor de direção e a equação de uma reta em três dimensões.

Q1:

Suponha que as retas βƒ— π‘Ÿ = ( 5 , βˆ’ 3 , 4 ) + 𝑑 ( βˆ’ 3 , βˆ’ 1 , 𝑔 ) e π‘₯ βˆ’ 5 β„Ž = 𝑦 βˆ’ 4 βˆ’ 4 = 𝑧 βˆ’ 2 4 sΓ£o paralelas, qual valor de 𝑔 e β„Ž ?

  • A 𝑔 = βˆ’ 1 , β„Ž = βˆ’ 1 2
  • B 𝑔 = βˆ’ 1 2 , β„Ž = 1
  • C 𝑔 = 1 , β„Ž = 1 2
  • D 𝑔 = 1 , β„Ž = βˆ’ 1 2
  • E 𝑔 = 1 2 , β„Ž = βˆ’ 1

Q2:

Para quais valores de π‘˜ a reta 𝐿 ∢ π‘₯ βˆ’ 8 2 = 𝑦 βˆ’ 1 0 5 = 𝑧 + 1 3  seria paralela com a reta 𝐿 ∢ π‘₯ βˆ’ 2 1 0 = 𝑦 βˆ’ 2 π‘˜ + 2 = 𝑧 βˆ’ 6 1 5  ?

Q3:

DΓͺ a equação cartesiana da reta atravΓ©s do ponto ( βˆ’ 2 , 5 , 2 ) e com vetor de direção ( 3 , βˆ’ 5 , βˆ’ 4 ) .

  • A π‘₯ βˆ’ 2 3 = 𝑦 + 5 βˆ’ 5 = 𝑧 + 2 βˆ’ 4
  • B π‘₯ βˆ’ 3 βˆ’ 2 = 𝑦 + 5 5 = 𝑧 + 4 2
  • C π‘₯ + 3 βˆ’ 2 = 𝑦 βˆ’ 5 5 = 𝑧 βˆ’ 4 2
  • D π‘₯ + 2 3 = 𝑦 βˆ’ 5 βˆ’ 5 = 𝑧 βˆ’ 2 βˆ’ 4

Q4:

Encontre a forma cartesiana da equação da reta passando pelo ponto ( βˆ’ 4 , 1 , 2 ) e faz Γ’ngulos iguais com os eixos de coordenadas.

  • A π‘₯ βˆ’ 1 βˆ’ 4 = 𝑦 βˆ’ 1 1 = 𝑧 βˆ’ 1 2
  • B π‘₯ βˆ’ 4 = 𝑦 1 = 𝑧 2
  • C π‘₯ + 4 √ 3 = 𝑦 βˆ’ 1 √ 3 = 𝑧 βˆ’ 2 3
  • D π‘₯ + 4 1 = 𝑦 βˆ’ 1 1 = 𝑧 βˆ’ 2 1

Q5:

Dado que as retas π‘₯ βˆ’ 8 3 = 𝑦 + 4 5 = 𝑧 + 6 βˆ’ 2 e π‘₯ βˆ’ 1 0 βˆ’ 5 = 𝑦 + 7 9 = 𝑧 βˆ’ 3 π‘š sΓ£o perpendiculares, quanto Γ© π‘š ?

Q6:

Dado que o vetor βƒ— 𝐴 = ( 2 , π‘˜ , 6 ) Γ© paralelo a reta π‘₯ βˆ’ 6 3 = 𝑦 βˆ’ 5 6 = 𝑧 + 4 9 , encontre π‘˜ .

Q7:

Dado que 𝐿 ∢ π‘₯ + 9 βˆ’ 7 = 𝑦 βˆ’ 3 7 = 𝑧 + 8 6  Γ© perpendicular a 𝐿 ∢ π‘₯ βˆ’ 2 βˆ’ 9 = 𝑦 βˆ’ 1 0 π‘˜ = 𝑧 + 3 π‘š  , quanto Γ© 7 π‘˜ + 6 π‘š ?

Q8:

DΓͺ a equação paramΓ©trica da reta atravΓ©s da origem com vetor de direção ( 5 , βˆ’ 1 , 4 ) .

  • A π‘₯ = 4 𝑑 , 𝑦 = βˆ’ 𝑑 , 𝑧 = 5 𝑑
  • B π‘₯ = 5 , 𝑦 = βˆ’ 1 , 𝑧 = 4
  • C π‘₯ = βˆ’ 𝑑 , 𝑦 = 4 𝑑 , 𝑧 = 5 𝑑
  • D π‘₯ = 5 𝑑 , 𝑦 = βˆ’ 𝑑 , 𝑧 = 4 𝑑

Q9:

Apresente as equaçáes para o eixo O 𝑧 no espaΓ§o.

  • A 𝑧 = 1
  • B π‘₯ = 0 , 𝑧 = 0
  • C 𝑧 = 0
  • D π‘₯ = 0 , 𝑦 = 0
  • E π‘₯ = 1

Q10:

Apresente as equaçáes do eixo O 𝑦 no espaΓ§o.

  • A 𝑦 = 1
  • B π‘₯ = 0 , 𝑦 = 0
  • C 𝑦 = 0
  • D π‘₯ = 0 , 𝑧 = 0
  • E 𝑧 = 1

Q11:

Qual dos seguintes Γ© um vetor diretor de uma reta perpendicular ao eixo O π‘₯ ?

  • A βƒ— πš₯ = ( 0 , 1 )
  • B βƒ— 𝚀 = ( 1 , 0 )

Q12:

Encontre as equaçáes paramΓ©tricas da linha reta que passa pelo ponto 𝐴 ( βˆ’ 1 , 4 , βˆ’ 1 ) e isso Γ© paralela Γ  bissetriz do segundo quadrante do plano 𝑦 𝑧 .

  • A π‘₯ = βˆ’ 1 + 1 2 𝑑 , 𝑦 = 4 + 1 2 𝑑 , 𝑧 = βˆ’ 1 + 1 2 𝑑
  • B π‘₯ = βˆ’ 1 + 𝑑 , 𝑦 = 4 + 𝑑 , 𝑧 = βˆ’ 1 + 𝑑
  • C π‘₯ = βˆ’ 1 + 𝑑 , 𝑦 = 4 + 1 2 𝑑 , 𝑧 = βˆ’ 1 + 1 2 𝑑
  • D π‘₯ = βˆ’ 1 , 𝑦 = 4 βˆ’ 𝑑 , 𝑧 = βˆ’ 1 + 𝑑

Q13:

Escreva a equação da reta 𝐿 passando pelos pontos 𝑃 = ( 1 , βˆ’ 2 , βˆ’ 3 )  e 𝑃 = ( 3 , 5 , 5 )  em forma paramΓ©trica.

  • A π‘₯ = 1 + 3 𝑑 , 𝑦 = βˆ’ 2 + 5 𝑑 , 𝑧 = βˆ’ 3 + 5 𝑑 , para βˆ’ ∞ < 𝑑 < ∞
  • B π‘₯ = 1 + 2 𝑑 , 𝑦 = βˆ’ 2 βˆ’ 7 𝑑 , 𝑧 = βˆ’ 3 βˆ’ 8 𝑑 , para βˆ’ ∞ < 𝑑 < ∞
  • C π‘₯ = 3 + 2 𝑑 , 𝑦 = 5 + 7 𝑑 , 𝑧 = 5 + 8 𝑑 , para βˆ’ ∞ < 𝑑 < ∞
  • D π‘₯ = 1 + 2 𝑑 , 𝑦 = βˆ’ 2 + 7 𝑑 , 𝑧 = βˆ’ 3 + 8 𝑑 , para βˆ’ ∞ < 𝑑 < ∞
  • E π‘₯ = 3 βˆ’ 2 𝑑 , 𝑦 = 5 βˆ’ 7 𝑑 , 𝑧 = 5 βˆ’ 8 𝑑 , para βˆ’ ∞ < 𝑑 < ∞

Q14:

Qual das seguintes opçáes Γ© um vetor de direção da reta π‘Ž π‘₯ + 𝑏 𝑦 + 𝑐 = 0 ?

  • A ( π‘Ž , βˆ’ 𝑏 )
  • B ( 𝑏 , π‘Ž )
  • C ( π‘Ž , 𝑏 )
  • D ( 𝑏 , βˆ’ π‘Ž )
  • E ( βˆ’ π‘Ž , βˆ’ 𝑏 )

Q15:

Determine a equação da reta que passa pela origem que interseta a reta βƒ— π‘Ÿ = ( βˆ’ 1 , 2 , 3 ) + 𝑑 ( 3 , βˆ’ 5 , 1 )   ortogonalmente.

  • A βƒ— π‘Ÿ = 𝑑 ( 1 9 , βˆ’ 3 1 , 1 3 )  
  • B βƒ— π‘Ÿ = 𝑑 ( βˆ’ 1 3 , 2 4 , 1 9 )  
  • C βƒ— π‘Ÿ = 𝑑 ( βˆ’ 2 3 , 3 9 , βˆ’ 1 )  
  • D βƒ— π‘Ÿ = 𝑑 ( βˆ’ 1 , 4 , 2 3 )  

Q16:

DΓͺ a equação vetorial da reta atravΓ©s do ponto ( 3 , 7 , βˆ’ 7 ) com direção vetorial de ( 0 , βˆ’ 5 , 7 ) .

  • A βƒ— π‘Ÿ = ( 3 , 7 , βˆ’ 7 ) + 𝑑 ( 3 , 7 , βˆ’ 7 )
  • B βƒ— π‘Ÿ = ( 0 , βˆ’ 5 , 7 ) + 𝑑 ( 3 , 7 , βˆ’ 7 )
  • C βƒ— π‘Ÿ = ( 0 , βˆ’ 5 , 7 ) + 𝑑 ( 0 , βˆ’ 5 , 7 )
  • D βƒ— π‘Ÿ = ( 3 , 7 , βˆ’ 7 ) + 𝑑 ( 0 , βˆ’ 5 , 7 )

Q17:

Determine o vetor diretor da reta que passa por 𝐴 ( 1 , βˆ’ 2 , 7 ) e 𝐡 ( 4 , βˆ’ 1 , 3 ) .

  • A βƒ— 𝑑 = ( 5 , βˆ’ 3 , 1 0 )
  • B βƒ— 𝑑 = ( βˆ’ 3 , 1 , 4 )
  • C βƒ— 𝑑 = ( 3 , βˆ’ 1 , βˆ’ 4 )
  • D βƒ— 𝑑 = ( 3 , 1 , βˆ’ 4 )

Q18:

DΓͺ um vetor de direção da reta atravΓ©s da origem e do ponto ( 6 , 6 , 1 ) .

  • A βƒ— 𝑑 = ( 0 , 0 , 0 )
  • B βƒ— 𝑑 = ( βˆ’ 6 , 6 , βˆ’ 1 )
  • C βƒ— 𝑑 = ( 6 , βˆ’ 6 , 1 )
  • D βƒ— 𝑑 = ( 6 , 6 , 1 )

Q19:

Para que valor de π‘Ž as retas π‘₯ βˆ’ 5 = 𝑦 βˆ’ 2 βˆ’ 1 = 𝑧 βˆ’ 2 e π‘₯ βˆ’ 1 π‘Ž = 𝑦 + 2 4 = 𝑧 + 1 4 se intersetam?

Q20:

Apresente as equaçáes do eixo O π‘₯ no espaΓ§o.

  • A π‘₯ = 1
  • B 𝑦 = 0 , π‘₯ = 0
  • C π‘₯ = 0
  • D 𝑦 = 0 , 𝑧 = 0
  • E 𝑧 = 1

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