Atividade: Modelo de Crescimento Exponencial

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Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar o modelo de crescimento exponencial em aplicações e explicaremos o conceito do tempo de duplicação.

Q1:

Um modelo matemático prevê que a população de um país, 𝑦 milhões, será dado pela fórmula 𝑦=17,1(1,02), onde 𝑥 é o número de anos desde 2015. Use este modelo para prever a população do país, para o milhão mais próximo, em ambos 2021 e 2022.

  • A18 milhões, 19 milhões
  • B19 milhões, 20 milhões
  • C19 milhões, 21 milhões
  • D18 milhões, 20 milhões
  • E18 milhões, 21 milhões

Q2:

A Diana pretende investir algum dinheiro. Ela gostaria que o valor do seu investimento duplicasse em 10 anos. Escreva uma equação que possa ser utilizada para determinar 𝑟, a taxa anual requerida. Assuma que o juro é composto anualmente.

  • A ( 1 + 𝑟 ) = 2
  • B 1 + 𝑟 1 0 0 = 1 2
  • C 1 + 𝑟 1 0 0 = 2
  • D ( 1 + 𝑟 ) = 1 2
  • E 𝑟 1 0 0 = 2

Q3:

A população de Malaui, em milhões, é modelada pela função exponencial 𝑃(𝑡)=3,621,029, em que 𝑡 é o tempo em anos a partir de 1 de janeiro de 1960.

Indicando a resposta em anos e meses, quanto tempo demora para que a população duplicasse?

  • A 21 anos e 4 meses
  • B 27 anos e 2 meses
  • C 21 anos
  • D 24 anos e 3 meses
  • E 26 anos

Qual será o primeiro ano a iniciar com uma população de mais de 20 milhões?

Determine a função que representa o mesmo modelo exponencial, mas com o objeto 𝑡 sendo o tempo em anos desde 1 de janeiro de 2000. Escreva esta função utilizando a base 2 em vez da anterior utilizada, 1,029.

  • A 𝑃 ( 𝑡 ) = 1 1 , 3 6 2
  • B 𝑃 ( 𝑡 ) = 2
  • C 𝑃 ( 𝑡 ) = 1 1 , 3 6 2
  • D 𝑃 ( 𝑡 ) = 1 1 , 3 6 2
  • E 𝑃 ( 𝑡 ) = 1 4 , 6 5 2

Q4:

Seja a população de uma cidade 𝑥. Se a população aumenta 13% a cada ano, qual será a população da cidade em nove anos?

  • A 0 , 2 8 6 𝑥
  • B l o g ( 𝑥 + 0 , 1 3 )
  • C 1 , 1 7 𝑥
  • D 3 , 0 0 4 𝑥
  • E l o g ( 𝑥 + 0 , 1 3 )

Q5:

O número de utilizadores de um novo motor de busca está a aumentar mensalmente e esse pode ser determinado utilizando a equação 𝑦=500(1,19), em que 𝑦 representa o número de utilizadores e 𝑥 representa o número de meses desde o lançamento do motor de busca. Se o motor de busca foi lançado a 1 de março, em que mês tem 2000 utilizadores?

  • Aoutubro
  • Bjunho
  • Cagosto
  • Dsetembro
  • Enovembro

Q6:

O número de turistas que visitam um parque temático aumenta todos os anos e o seu número pode ser determinado utilizando a equação 𝑦=1,1(1,045), em que 𝑦 milhões é o número de visitantes 𝑡 anos após 2010. Se o número de visitantes continuar a aumentar à mesma taxa, em que ano o parque atingirá os 2 milhões de visitantes?

Q7:

Reescreva 𝑃(𝑡)=3,62(1,029) na forma 𝑃(𝑡)=𝑃(2), com 𝑘 aproximado a duas casas decimais. Qual é o significado do número 𝑘?

  • A 𝑃 ( 𝑡 ) = 3 , 6 2 ( 2 ) , 𝑘 é o número de anos que leva para a população triplicar
  • B 𝑃 ( 𝑡 ) = 3 , 6 2 ( 2 ) , 𝑘 é o número de anos que leva para a população dobrar
  • C 𝑃 ( 𝑡 ) = 3 , 6 2 ( 2 ) , 𝑘 é o número de anos que leva para a população dobrar
  • D 𝑃 ( 𝑡 ) = 3 , 6 2 ( 2 ) , 𝑘 é o número de anos que leva para a população triplicar
  • E 𝑃 ( 𝑡 ) = ( 2 ) , 𝑘 é o número de anos que leva para a população dobrar

Q8:

A 5 de julho, foram encontradas algas verdes no fundo de uma piscina cuja largura era 6 m e o comprimento era 12 m. Se a área, em mm2, coberta por algas 𝑡 dias mais tarde é dada por 𝐴=4,3⋅2, quando é que as algas cobrirão completamente o fundo da piscina?

  • A18 de julho
  • B15 de julho
  • C22 de agosto
  • D15 de setembro
  • E18 de agosto

Q9:

A conta bancária do Lourenço dá-lhe 5,6% de juro no seu saldo todos os meses. Ele modela o seu saldo passados 𝑚≥1 meses com a fórmula de recorrência 𝑎=(1+0,056)𝑎. Se o seu depósito inicial é de 450,00, passados quantos meses o seu saldo será maior que $600?

Q10:

A função 𝑃(𝑡)=𝐴𝑏 representa uma população, em milhões, 𝑡 anos após 1‎ ‎970; que está crescendo a uma taxa anual de 3,5% e começou com 13;2 milhões em 1‎ ‎970. Qual é o valor de 𝑏?

Q11:

O valor de um carro deprecia a uma taxa de 15% a cada ano.

Escreva uma equação que possa ser usada para calcular 𝑉, o valor de um carro, em dólares, 𝑡 anos depois que foi comprado por 𝐶dólares.

  • A 𝑉 = 𝐶 ( 0 , 8 5 )
  • B 𝑉 = 𝐶 ( 1 , 8 5 )
  • C 𝑉 = 𝐶 ( 0 , 7 5 )
  • D 𝑉 = 𝐶 ( 0 , 1 5 )
  • E 𝑉 = 𝐶 ( 1 , 1 5 )

Qual é a depreciação total no valor do carro sobre 6 anos? Dê sua resposta para a porcentagem mais próxima.

Q12:

O número, em milhões, de carros na estrada em todo o mundo no ano 𝑡 pode ser modelado por 𝑁=10⋅𝑒. Em que ano o modelo prevê que haveria 1,4 bilhão de carros em todo o mundo?

  • A2029
  • B2066
  • C2065
  • D2037
  • E2027

Q13:

Seja 𝐹(𝑡) a população de bactérias em uma cultura. No tempo 𝑡=0, a população é de 4 milhões. Suponha que, depois de 𝑡 horas, as bactérias crescem à taxa instantânea de variação de 3 milhões de bactérias por hora. Estime o número de bactérias no momento 𝑡=1 em milhões, com duas casas decimais.

  • A2,18 milhões
  • B4,82 milhões
  • C5,82 milhões
  • D3,59 milhões
  • E6,73 milhões

Q14:

A taxa na qual uma substância radioativa decai é proporcional ao número restante de átomos. A equação diferencial que pode ser usada para descrever este processo segue dd𝑁𝑡=−𝜆𝑁, onde 𝑁 representa o número de átomos restantes após 𝑡 segundos. A constante de proporcionalidade 𝜆 é considerada a constante de decaimento para este processo. E se 𝑁 representa o número de átomos restantes em 𝑡=0 segundos, encontre a solução geral.

  • A 𝑁 = 𝑁 𝑒
  • B 𝑁 = 𝑁 𝑒
  • C 𝑁 = 𝑁 𝑒
  • D 𝑁 = 𝑁 𝑒

Q15:

Lúcia e Leandro estão jogando um jogo onde rolam dados de 6 lados, e então eles removem todos os dados que mostram um 1. Então eles rolam os dados restantes e removem todos os dados que mostram 1 novamente, e assim por diante.

Lúcia e Leandro começaram com 42 dados. De acordo com a regra da probabilidade, encontre uma fórmula explícita para o número de dados restantes depois de 𝑟 rodadas do jogo.

  • A 𝑁 = 6 ⋅ 4 1 4 2
  • B 𝑁 = 4 2 ⋅ 5 6 𝑛
  • C 𝑁 = 6 ⋅ 1 4 2
  • D 𝑁 = 4 2 ⋅ 5 6
  • E 𝑁 = 4 2 ⋅ 1 6

Quantas rodadas são necessárias para remover aproximadamente 23 dos dados?

Q16:

O rinoceronte negro é uma espécie em extinção. Sua população global caiu de 65000 em 1970 a 2300 em 1993. Ao modelar o declínio como exponencial, responda às seguintes perguntas.

Escreva uma equação na forma 𝑃=𝑎𝑏, onde 𝑃 é a população de rinocerontes negros 𝑡 anos depois de 1970. Arredonde seus valores de 𝑎 e 𝑏 para 3 casas decimais, se necessário.

  • A 𝑃 = 5 6 2 2 5
  • B 𝑃 = 6 5 0 0 0 ( 0 , 8 6 5 )
  • C 𝑃 = 6 5 0 0 0 ( 𝑡 )
  • D 𝑃 = 6 5 0 0 0 ( 𝑡 )
  • E 𝑃 = 6 5 0 0 0 ( 1 , 8 6 5 )

De acordo com o modelo, qual era a população de rinocerontes negros em 1980?

De acordo com o modelo, quanto a população de rinocerontes negros caiu entre 1980 e 1990?

Q17:

Um médico injetou num paciente 13 miligramas um corante radioativo que decai exponencialmente. Após 12 minutos havia 4,75 miligramas de corante restante no sistema do paciente. Qual das seguintes opções apresenta um modelo adequado para a situação?

  • A 𝑓 ( 𝑡 ) = 1 3 ( 0 , 0 8 0 5 )
  • B 𝑓 ( 𝑡 ) = 4 , 7 5 1 + 1 3 𝑒
  • C 𝑓 ( 𝑡 ) = 1 3 𝑒 ( )
  • D 𝑓 ( 𝑡 ) = 1 3 𝑒

Q18:

Os resultados de um estudo médico mostraram que, em adultos saudáveis, a meia-vida da cafeína é 5,7 horas. Então, se um adulto consumir 250 mg de cafeína em seu café da manhã às 6 da manhã, ele terá aproximadamente 125 mg de cafeína em seu sistema às 11:40.

Se uma pessoa beber uma lata de cola contendo 30 mg de cafeína, a quantidade de cafeína, 𝐶, no seu sistema 𝑡 horas mais tarde pode ser encontrado utilizando a equação 𝐶=3012.

Escreva a equação na forma 𝐶=𝐴(𝑏), dando valores para 3 casas decimais, se necessário.

  • A 𝐶 = 3 0 ( 0 , 8 8 5 )
  • B 𝐶 = 3 0 ( 2 , 3 8 7 )
  • C 𝐶 = 3 0 ( 0 , 0 1 9 )
  • D 𝐶 = 1 5 ( 0 , 1 7 5 )
  • E 𝐶 = 1 5 ( 5 , 7 )

Q19:

O número de organismos marinhos em uma piscina, 𝑦, depois de 𝑛 semanas é dado pela fórmula 𝑦=563112. Quantos organismos marinhos haverá na piscina depois de 4 semanas? Dê sua resposta para o número inteiro mais próximo.

Q20:

No início de uma experiência, um cientista tem uma amostra que contém 250 miligramas de um isótopo radioativo. O isótopo radioativo decai exponencialmente, de tal forma que após 250 minutos já só resta 32,0 miligramas do isótopo.

Escreva a massa do isótopo em miligramas, 𝑀, como função do tempo em minutos, 𝑡, desde que a experiência teve início. Apresente a resposta na forma 𝑀(𝑡)=𝐴𝑒, arredondando 𝐴 às unidades e 𝑏 até aos primeiros três números não nulos.

  • A 𝑀 ( 𝑡 ) = 2 5 0 𝑒
  • B 𝑀 ( 𝑡 ) = 2 5 0 𝑒
  • C 𝑀 ( 𝑡 ) = 3 2 𝑒
  • D 𝑀 ( 𝑡 ) = 3 2 𝑒
  • E 𝑀 ( 𝑡 ) = 2 5 0 𝑒

Determine a meia-vida do isótopo, apresentando a resposta em minutos.

Q21:

A datação por carbono calcula a quantidade do isótopo carbono-14 que foi fixado da atmosfera quando um animal morreu e parou de absorvê-lo. A quantidade do isótopo é reduzida pela metade a cada 5730 anos. Seja a quantidade do isótopo após 𝑡 anos 𝐴(𝑡).

Escreva uma equação relacionando 𝐴(𝑡) para 𝐴(𝑡+5730).

  • A 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 ) = 1 4 𝐴 ( 𝑡 )
  • B 𝐴 ( 𝑡 ) = 1 2 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 )
  • C 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 ) = 1 2 𝐴 ( 𝑡 )
  • D 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 ) = 1 3 𝐴 ( 𝑡 )
  • E 𝐴 ( 𝑡 ) = 1 4 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 )

Escreva expressões para 𝐴(𝑡+11460) e 𝐴(𝑡+17190).

  • A 𝐴 ( 𝑡 + 1 1 4 6 0 ) = 1 4 𝐴 ( 𝑡 ) , 𝐴 ( 𝑡 + 1 7 1 9 0 ) = 1 8 𝐴 ( 𝑡 )
  • B 𝐴 ( 𝑡 ) = 1 2 𝐴 ( 𝑡 ) , 𝐴 ( 𝑡 ) = 1 9 𝐴 ( 𝑡 + 1 7 1 9 0 )
  • C 𝐴 ( 𝑡 + 1 1 4 6 0 ) = 1 3 𝐴 ( 𝑡 ) , 𝐴 ( 𝑡 + 1 7 1 9 0 ) = 1 9 𝐴 ( 𝑡 )
  • D 𝐴 ( 𝑡 ) = 1 4 𝐴 ( 𝑡 ) , 𝐴 ( 𝑡 ) = 1 8 𝐴 ( 𝑡 + 1 7 1 9 0 )
  • E 𝐴 ( 𝑡 + 1 1 4 6 0 ) = 1 2 𝐴 ( 𝑡 ) , 𝐴 ( 𝑡 + 1 7 1 9 0 ) = 1 7 𝐴 ( 𝑡 )

Escreva uma fórmula relacionando 𝐴(𝑡+5730𝑛) para 𝐴(𝑡) para um inteiro positivo 𝑛.

  • A 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 𝑛 ) = 1 3 𝐴 ( 𝑡 )
  • B 𝐴 ( 𝑡 ) = 𝑛 2 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 𝑛 )
  • C 𝐴 ( 𝑡 ) = 𝑛 2 𝐴 ( 2 𝑡 + 5 7 3 0 𝑛 )
  • D 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 𝑛 ) = 1 4 𝐴 ( 𝑡 )
  • E 𝐴 ( 𝑡 + 5 7 3 0 𝑛 ) = 1 2 𝐴 ( 𝑡 )

Suponha que, cada 57302 anos, o isótopo carbono-14 é reduzido pela mesma razão 𝑟. Escrevendo 5730 como 57302+57302, qual valor de 𝑟?

  • A 𝑟 = 1 3
  • B 𝑟 = 1 2
  • C 𝑟 = 1 3
  • D 𝑟 = 1 2
  • E 𝑟 = 1 4

Q22:

A concentração de aspirina no sangue de um ser humano 𝑡 horas após a toma da dose normal 𝑐 pode ser modelada pela função 𝑐=𝑐12.

Qual é a meia-vida da aspirina, isto é, o tempo que demora para que metade da sua dose inicial seja eliminada?

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