Atividade: Fórmula de Recorrência de uma Sucessão

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Nesta atividade, nós vamos praticar a definição por recorrência de uma sucessão.

Q1:

Encontre a fórmula recursiva para a sequência 486,162,54,18,6,2,23.

  • A 𝑎 = 1 3
  • B 𝑎 = 1 2
  • C 𝑎 = 1 3 𝑎
  • D 𝑎 = 1 3
  • E 𝑎 = 1 2

Q2:

Escreva uma fórmula recursiva para que a seguinte seqüência seja válida para 𝑛≥2:1,2,3,4,5,…

  • A 𝑎 = 𝑎 + 1
  • B 𝑎 = 𝑎
  • C 𝑎 = 𝑎
  • D 𝑎 = 𝑎 − 1
  • E 𝑎 = 𝑎 − 1

Q3:

Usando a função de valor absoluto, escreva uma fórmula recursiva para a seguinte seqüência que é válida para 𝑛≥2:−1,2,−3,4,−5,…

  • A 𝑎 = ( 1 ) ( | 𝑎 | − 1 )
  • B 𝑎 = ( 1 ) ( | 𝑎 | + 1 )
  • C 𝑎 = ( − 1 ) ( | 𝑎 | + 1 )
  • D 𝑎 = ( − 1 ) ( | 𝑎 | + 1 )
  • E 𝑎 = ( − 1 ) ( | 𝑎 | − 1 )

Q4:

Encontre uma fórmula recursiva para a sequência 𝑎=5+1.

  • A 𝑎 = 5 𝑎 + 6 , 𝑎 = 6
  • B 𝑎 = 5 𝑎 − 4 , 𝑎 = 6
  • C 𝑎 = 5 𝑎 + 4 , 𝑎 = 6
  • D 𝑎 = − 5 𝑎 + 4 , 𝑎 = 6
  • E 𝑎 = 5 𝑎 − 6 , 𝑎 = 6

Encontre uma fórmula recursiva para a sequência 𝑎=2(5)+1.

  • A 𝑎 = 5 𝑎 + 6 , 𝑎 = 1 1
  • B 𝑎 = − 5 𝑎 + 4 , 𝑎 = 1 1
  • C 𝑎 = 5 𝑎 − 4 , 𝑎 = 1 1
  • D 𝑎 = 5 𝑎 + 4 , 𝑎 = 1 1
  • E 𝑎 = 5 𝑎 − 6 , 𝑎 = 1 1

Encontre uma fórmula recursiva para a sequência 𝑎=13(5)+1.

  • A 𝑎 = 5 𝑎 − 6 , 𝑎 = 8 3
  • B 𝑎 = 5 𝑎 − 4 , 𝑎 = 8 3
  • C 𝑎 = 5 𝑎 + 4 , 𝑎 = 8 3
  • D 𝑎 = 5 𝑎 + 6 , 𝑎 = 8 3
  • E 𝑎 = − 4 𝑎 + 5 , 𝑎 = 8 3

Encontre uma fórmula recursiva para a sequência 𝑎=5𝑎+1 e 𝑎=376.

  • A 𝑎 = 3 , 0 0 8 ( 5 ) + 1
  • B 𝑎 = 3 , 0 8 ( 5 ) + 4
  • C 𝑎 = 3 ( 5 ) + 1
  • D 𝑎 = 3 ( 5 ) + 4
  • E 𝑎 = 2 , 9 3 6 ( 5 ) + 1

Q5:

Encontre os primeiros cinco termos da sequência com termo geral 𝑢=𝑢+5, onde 𝑛≥1 e 𝑢=−13.

  • A ( − 8 , − 3 , 2 , 7 , 1 2 )
  • B ( − 1 8 , − 2 3 , − 2 8 , − 3 3 , − 3 8 )
  • C ( − 1 3 , − 1 8 , − 2 3 , − 2 8 , − 3 3 )
  • D ( − 1 3 , − 8 , − 3 , 2 , 7 )

Q6:

O 𝑛th termo em uma seqüência é dado por 𝑢=𝑢+𝑢. Encontre os seis primeiros termos desta sequência, dado que 𝑢=0 e 𝑢=1.

  • A ( 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 )
  • B ( 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 )
  • C ( 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 )
  • D ( 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 4 )

Q7:

Dada a sucessão definida por 𝑢=𝑢+𝑛𝑥, em que 𝑢=27 e 𝑢=−78, determine o valor de 𝑥.

Q8:

Encontre 𝑢+𝑢+𝑢 dados 𝑢=−3 e 𝑢=𝑢+58.

  • A − 9 2 1 8
  • B − 2 6 7 8
  • C 6 9 4
  • D 1 2 3 8

Q9:

Dado que 𝑢=8 e que 𝑢=12𝑢 para 𝑛≥1, encontre a fórmula para 𝑢 em termos de 𝑛.

  • A 𝑢 = 2
  • B 𝑢 = 2
  • C 𝑢 = 1 2
  • D 𝑢 = 2
  • E 𝑢 = 8 2

Q10:

Encontre a progressão aritmética em que 𝑢=−100 e 𝑢=4𝑢.

  • A ( − 1 0 0 , − 3 0 0 , − 5 0 0 , ⋯ )
  • B ( − 1 0 0 , − 3 0 0 , − 4 0 0 , ⋯ )
  • C ( − 1 0 0 , − 4 0 0 , − 5 0 0 , ⋯ )
  • D ( − 1 0 0 , − 2 0 0 , − 3 0 0 , ⋯ )

Q11:

O gráfico representa a função de onda triangular 𝑇(𝑥), que é periódica, linear por ramos e definida para todos os números reais.

Indique os valores de 𝑇(0), 𝑇(−1) e 𝑇(1234).

  • A0, −1, 1
  • B0, 0, 0
  • C1, 1, 1
  • D1, −1, 0
  • E0, 1, 1

Indique os valores de 𝑇12, 𝑇32, 𝑇52 e 𝑇12332.

  • A − 1 , − 1 , 1, 1
  • B1, −1, 1, 1
  • C1, 1, 1, 1
  • D1, −1, 1, −1
  • E1, 1, −1, 1

Quanto é 𝑇−49332?

  • Anão definido
  • B0
  • C1
  • D − 1

Se nos é dado 𝑇(𝑏) negativo, o que podemos concluir sobre o número 𝑏?

  • A Existe um inteiro 𝑛 para o qual 2𝑛<𝑏<2𝑛+1.
  • B 𝑏 é um inteiro par.
  • C Existe um inteiro 𝑛 para o qual 2𝑛+1<𝑏<2𝑛+2.
  • D 𝑏 é um inteiro ímpar.

Determine a equação da reta à qual o ponto (𝜋,𝑇(𝜋)) pertence.

  • A 𝑦 = − 4 ( 𝑥 − 3 )
  • B 𝑦 = − 1 2 ( 𝑥 − 1 2 )
  • C 𝑦 = − 2 ( 𝑥 − 3 )
  • D 𝑦 = − 2 ( 𝑥 + 3 )
  • E 𝑦 = 2 ( 3 𝑥 − 1 )

Por fim, determine o valor de 𝑇(𝜋) arredondado a 3 casas decimais.

  • A − 0 , 5 6 6
  • B − 0 , 2 8 3
  • C4,429
  • D12,283
  • E16,850

Q12:

Encontre, em termos de 𝑛 o termo geral da progressão que satisfaz a relação 𝑢=22𝑢, onde 𝑛≥1 e 𝑢=22.

  • A − 2 2 𝑛
  • B 2 2 𝑛
  • C ( − 2 2 )
  • D ( 2 2 )

Q13:

Considere a sequência dada por 𝑓(0)=0,𝑓(𝑛+1)=1−𝑓(𝑛).

Liste os números nas posições 2, 3 e 4.

  • A0, 0, 1
  • B0, 1, 0
  • C0, 1, 1
  • D1, 1, 0
  • E1, 0, 1

Qual é o número na posição 12‎ ‎341?

Qual é a imagem dessa sequência?

  • A { 0 , 1 }
  • B { 2 , 3 , 4 }
  • C { 0 , 1 , 2 }
  • D { 1 , 2 }

Q14:

Determine a relação entre os termos da sucessão (26,26,52,78,130,208,338,…).

  • A 𝑢 = 𝑢 + 𝑢
  • B 𝑢 = 𝑢 + 𝑢
  • C 𝑢 = 𝑢 + 𝑢
  • D 𝑢 = 𝑢 + 𝑢

Q15:

O gráfico representa a função onda triangular 𝑇(𝑥), que é periódica, linear por ramos e definida em todos os números reais.

Seja 𝑎 a 𝑛-ésima solução positiva da equação 𝑇(𝑥)=−1. Começando em 𝑎=32, escreva a fórmula de recorrência de 𝑎.

  • A 𝑎 = 𝑎 + 2 para 𝑛≥1. 𝑎=32
  • B 𝑎 = 𝑎 + 3 2 para 𝑛≥1. 𝑎=32
  • C 𝑎 = 𝑎 + 1 2 para 𝑛≥1. 𝑎=32
  • D 𝑎 = 𝑎 + 1 para 𝑛≥1. 𝑎=32
  • E 𝑎 = 𝑎 + 5 2 para 𝑛≥1. 𝑎=32

Qual é o conjunto dos números que satisfaz a equação 𝑇(𝑥)=1?

  • A … , − 7 2 , − 3 2 , 1 2 , 5 2 , …
  • B … , − 3 2 , − 1 2 , 0 , 1 2 , 5 2 , …
  • C … , − 7 2 , − 3 2 , 3 2 , 7 2 , …
  • D { … , − 2 , − 1 , 1 , 2 , … }
  • E … , − 5 2 , − 1 2 , 1 2 , 5 2 , …

A parte do gráfico que passa na origem (0,0) coincide com a reta 𝑦=2𝑥. Utilize isto para determinar uma solução para 𝑇(𝑥)=12. Utilize as simetrias do gráfico para determinar a solução positiva seguinte.

  • A 𝑥 = 1 4 . 𝑥 = 3 4
  • B 𝑥 = 1 2 . 𝑥 = 3 4
  • C 𝑥 = 1 4 . 𝑥 = 9 4
  • D 𝑥 = 3 4 . 𝑥 = 9 4
  • E 𝑥 = 1 2 . 𝑥 = 9 4

Determine as duas primeiras soluções positivas de 𝑇(𝑥)=−0,346.

  • A 1 , 3 4 6 , 1 , 6 5 4
  • B 1 , 1 7 3 , 1 , 8 2 7
  • C 1 , 3 4 6 , 3 , 3 4 6
  • D 1 , 1 7 3 , 3 , 1 7 3
  • E − 0 , 1 7 3 , 1 , 1 7 3

Determine o valor de 𝑇(𝑒), apresentando a sua resposta com 3 casas decimais.

Q16:

A sequência 1,1,−1,5,−17 é dada por uma fórmula recursiva da forma 𝑎=𝑆𝑎+𝑇𝑎 para 𝑛≥1. Determine essa fórmula.

  • A 𝑎 = 5 𝑎 − 3 𝑎
  • B 𝑎 = 4 𝑎 + 3 𝑎
  • C 𝑎 = 2 𝑎 − 3 𝑎
  • D 𝑎 = − 3 𝑎 + 2 𝑎
  • E 𝑎 = 𝑎 + 2 𝑎

Q17:

Determine os primeiros seis termos da sucessão que satisfaz a relação 𝑢=𝑢+𝑢, em que 𝑛≥1, 𝑢=−22 e 𝑢=−15.

  • A 2 2 , 1 5 , 3 7 , 5 2 , 8 9 , 1 4 1
  • B − 2 2 , − 1 5 , − 3 7 , − 5 2 , − 8 9 , − 1 4 1
  • C − 3 7 , − 5 2 , − 8 9 , − 1 4 1 , − 2 3 0 , − 3 7 1
  • D 2 2 , − 1 5 , 7 , − 8 , − 1 , − 9

Q18:

A função 𝑓 é definida por 𝑓(1)=1 e 𝑓(𝑛+1)=2𝑓(𝑛)−3 para 𝑛≥1. Complete a tabela.

𝑛 1 2 3 4
𝑓 ( 𝑛 )
  • A − 1 , − 5 , − 1 3 , − 2 9
  • B 1 , − 1 , − 5 , − 1 3
  • C − 1 , 1 , 5 , 1 3
  • D 1 , − 1 , 1 , 3
  • E − 1 , 1 , − 1 3 , − 5

Q19:

Encontre 𝑢 dados 𝑢=−14𝑛𝑢, 𝑛≥1, e 𝑢=−28.

Q20:

Determine os primeiros cinco termos da sucessão 𝑢, sabendo que 𝑢=1𝑢, 𝑛≥1 e 𝑢=499.

  • A − 4 9 9 , − 1 4 9 9 , − 4 9 9 , − 1 4 9 9 , − 4 9 9
  • B 1 4 9 9 , 4 9 9 , 1 4 9 9 , 4 9 9 , 1 4 9 9
  • C 4 9 9 , 1 4 9 9 , 4 9 9 , 1 4 9 9 , 4 9 9
  • D − 1 4 9 9 , − 4 9 9 , − 1 4 9 9 , − 4 9 9 , − 1 4 9 9

Q21:

Considere a sequência 𝑎=𝑝3+𝑞.

Encontre uma fórmula recursiva para essa sequência.

  • A 𝑎 = 3 𝑎 − 2 𝑞
  • B 𝑎 = 3 𝑎 − 2 𝑞 + 3 𝑝
  • C 𝑎 = 3 𝑎 + 𝑞 + 3 𝑝
  • D 𝑎 = 3 𝑎 + 𝑞

A fórmula recursiva 𝑎=3𝑎+5, onde 𝑎=1, pode ser explícita com uma fórmula na forma 𝑎=𝑝3+𝑞 para números adequados 𝑝 e 𝑞. Encontre os valores de 𝑝 e 𝑞.

  • A 𝑝 = − 7 6 e 𝑞=52
  • B 𝑝 = 7 6 e 𝑞=−52
  • C 𝑝 = 3 5 e 𝑞=−52
  • D 𝑝 = − 5 2 e 𝑞=76
  • E 𝑝 = 7 6 e 𝑞=5

Q22:

Uma sequência é definida pela fórmula recursiva 𝑎=3𝑎−2,𝑎=−2.

Encontre os seis primeiros termos desta sequência.

  • A − 2 , − 8 , − 2 6 , − 8 0 , − 2 4 2 , − 7 2 6
  • B − 2 , − 8 , − 2 6 , − 8 0 , − 2 4 0 , − 7 2 2
  • C − 2 , − 6 , − 1 8 , − 7 8 , − 2 3 6 , − 7 1 0
  • D − 2 , − 8 , − 2 7 , − 8 0 , − 2 4 2 , − 7 2 8
  • E − 2 , − 8 , − 2 6 , − 8 0 , − 2 4 2 , − 7 2 8

Que tipo de sequência é essa?

  • Anem geométrica nem aritmética
  • Baritmética
  • Cgeométrica
  • Dambas geométrica e aritmética

Encontre uma fórmula explícita para 𝑏, onde 𝑏=𝑎−1.

  • A 𝑏 = ( − 1 ) 3
  • B 𝑏 = − 3 𝑛
  • C 𝑏 = ( − 1 ) 3
  • D 𝑏 = ( − 3 )
  • E 𝑏 = 3

Utilizando sua resposta da parte anterior, encontre uma fórmula explícita para 𝑎.

  • A 𝑎 = 1 − 3
  • B 𝑎 = 1 − 3
  • C 𝑎 = ( − 3 ) + 1
  • D 𝑎 = − 3 𝑛 + 1
  • E 𝑎 = 1 + 3

Considere a sequência definida pela fórmula recursiva 𝑐=7𝑐+4𝑐=2,. Encontre o valor de 𝑘 para que cada 𝑑=𝑐+𝑘 seja uma sequência geométrica com razão comum 7.

  • A 𝑘 = 2 3
  • B 𝑘 = 4
  • C 𝑘 = 3 2
  • D 𝑘 = − 4 7
  • E 𝑘 = − 4

Utilizando sua resposta da parte anterior, obtenha uma fórmula explícita para 𝑐.

  • A 𝑐 = 4 3 7 + 2 3
  • B 𝑐 = 7 − 4
  • C 𝑐 = 7 − 2 3
  • D 𝑐 = 8 3 7 − 2 3
  • E 𝑐 = 7 − 5

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