Atividade: Matrizes de Rotação

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Nesta atividade, nós vamos praticar a determinação da matriz de uma transformação linear que roda todos os vetores em R^2 um dado ângulo.

Q1:

Determine a matriz da transformação linear que roda todos os vetores em ℝ um ângulo de 𝜋 3 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 1 2 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E − 1 0 0 − 1

Q2:

Determine a matriz da transformação linear que roda cada vetor de ℝ um ângulo de 𝜋 4 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E − 1 0 0 − 1

Q3:

Determine a matriz da transformação linear que roda cada vetor de ℝ um ângulo de 𝜋 1 2 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − √ 2 2 √ 2 − √ 3 2 √ 3 − √ 2 2 1 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 − √ 6 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 − √ 2 2 √ 3 − √ 2 2 √ 3 − √ 2 2 1 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 + √ 2 4 √ 2 − √ 6 4 √ 6 − √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q4:

Determine a matriz da transformação linear que roda todos os vetores de ℝ um ângulo de 2 𝜋 3 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 − 1 2 − 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 √ 3 2 √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 − 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q5:

Determine a matriz da transformação linear que roda cada vetor de ℝ um ângulo de 5 𝜋 1 2 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 − √ 2 2 √ 2 − √ 3 2 √ 3 − √ 2 2 − 1 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 − √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 − √ 2 2 √ 3 + √ 2 2 √ 3 − √ 2 2 − 1 − √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 − √ 2 4 − √ 2 − √ 6 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 − √ 2 4 − √ 2 − √ 6 4 − √ 2 − √ 6 4 √ 2 − √ 6 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q6:

Determine a matriz da transformação linear que roda todos os vetores de ℝ um ângulo de − 𝜋 3 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 1 2 − 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 − √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 3 2 − 1 2 − 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 − √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q7:

Determine, em relação a uma base canónica, a matriz que roda todos os vetores em ℝ no sentido anti-horário em torno da origem um ângulo de 𝜋 4 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 2 2 √ 2 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 2 − √ 2 2 √ 2 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q8:

Encontre, com relação à base padrão, a matriz que rotaciona cada vetor em ℝ no sentido anti-horário sobre a origem através de um ângulo de 𝜋 3 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 − 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 − √ 3 2 √ 3 2 1 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 3 2 1 2 − 1 2 √ 3 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q9:

Determine, em relação à base canónica, a matriz que roda todos os vetores em ℝ em sentido anti-horário em torno da origem um ângulo de 𝜋 1 2 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 + √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 √ 6 − √ 2 4 − √ 2 − √ 6 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 + √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 − √ 2 4 √ 2 − √ 6 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 + √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 √ 2 − √ 6 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 + √ 2 4 √ 2 − √ 6 4 √ 6 − √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 + √ 2 4 √ 2 − √ 6 4 √ 2 − √ 6 4 − √ 6 + √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q10:

Encontre, com relação à base padrão, a matriz que rotaciona cada vetor em ℝ no sentido anti-horário sobre a origem através de um ângulo de 5 𝜋 1 2 .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 − √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 − √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 6 − √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 − √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 + √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 6 − √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 √ 6 + √ 2 4 √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − √ 6 + √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 − √ 6 + √ 2 4 − √ 6 − √ 2 4 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q11:

Descreva o efeito geométrico da transformação produzida plea matriz ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .

  • Auma rotação de ângulo − 9 0 ∘
  • Buma rotação de ângulo − 4 5 ∘
  • Cuma rotação de ângulo 9 0 ∘
  • Duma rotação de ângulo 4 5 ∘
  • Euma rotação de ângulo 1 3 5 ∘

Q12:

Uma rotação com centro a origem envia o vetor 3 4 para 4 3 . Encontre a representação da matriz dessa rotação.

  • A 0 1 1 0
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 5 3 5 − 3 5 4 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 4 2 5 7 2 5 7 2 5 − 2 4 2 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 2 4 2 5 7 2 5 − 7 2 5 2 4 2 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
  • E ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 4 5 3 5 3 5 − 4 5 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

Q13:

Seja 𝐴 a matriz da transformação que gira todos os vetores em ℝ através de um ângulo de 𝜃 , onde 0 < 𝜃 ≤ 2 𝜋 . Para quais valores de 𝜃 faz 𝐴 ter um autovalor real?

  • A 𝜃 = 0 e 𝜃 = 3 𝜋 2
  • B 𝜃 = 0 e 𝜃 = 𝜋 2
  • C 𝜃 = 0 e 𝜃 = 𝜋 3
  • D 𝜃 = 0 e 𝜃 = 𝜋
  • E 𝜃 = 𝜋 2 e 𝜃 = 𝜋

Q14:

Considere a transformação linear 𝑇 ∶ ℝ → ℝ , que atua por rotação de um vetor 𝜃 ∘ em sentido anti-horário em torno da origem. Qual das seguintes é a matrizes da transformação linear?

  • A s e n 𝜃 − c o s 𝜃 c o s 𝜃 s e n 𝜃
  • B − c o s 𝜃 s e n 𝜃 − s e n 𝜃 c o s 𝜃
  • C s e n 𝜃 c o s 𝜃 c o s 𝜃 s e n 𝜃
  • D c o s 𝜃 − s e n 𝜃 s e n 𝜃 c o s 𝜃
  • E c o s 𝜃 s e n 𝜃 − s e n 𝜃 c o s 𝜃

Q15:

Considere a transformação linear 𝐿 ′ ∶ ℝ → ℝ , que roda todos os vetores 90 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O 𝑥 e, em seguida, roda 45 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O 𝑦 . Determine a representação na forma de matriz da base canónica de 𝐿 ′ .

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 − 1 √ 2 0 0 0 − 1 − 1 √ 2 1 √ 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 − 1 √ 2 0 0 0 − 1 − 1 1 √ 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 1 √ 2 0 1 0 − 1 1 √ 2 − 1 √ 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 √ 2 1 √ 2 0 0 0 − 1 − 1 √ 2 1 √ 2 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Q16:

Considere a transformação linear 𝐿 ′ ∶ ℝ → ℝ , que roda todos os vetores 45 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O 𝑥 e, em seguida, roda 90 graus em sentido anti-horário em torno do semieixo positivo O 𝑦 . Determine 𝐿 ′ 1 2 − 1 na base canónica.

  • A ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 + √ 2 2 − 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • B 1 2 − 1
  • C ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − 1 √ 2 + √ 2 − 1 √ 2 − √ 2 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
  • D ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 √ 2 + √ 2 1 − 1 √ 2 + √ 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

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