Atividade: Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Nesta atividade, nós vamos praticar a definir a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva orientada diferenciável no plano.

Q1:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e para curva 𝐢 , onde βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯ βƒ— πš₯ , 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , e 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

  • A 2 πœ‹
  • B0
  • C πœ‹ 2
  • D βˆ’ 2 πœ‹
  • E βˆ’ πœ‹ 2

Q2:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e para curva 𝐢 , onde βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή π‘₯ 𝑦  βƒ— 𝚀 + ο€Ή π‘₯ 𝑦  βƒ— πš₯   e 𝐢 Γ© o caminho poligonal de ( 0 , 0 ) para ( 1 , 0 ) para ( 0 , 1 ) para ( 0 , 0 ) .

  • A0
  • B 1 3 0
  • C 7 1 5
  • D βˆ’ 1 3 0
  • E βˆ’ 7 1 5

Q3:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e a curva 𝐢 , onde βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— πš₯ , 𝐢 π‘₯ = 3 𝑑 : , 𝑦 = 2 𝑑 , e 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

Q4:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑦 βƒ— 𝚀 βˆ’ π‘₯ βƒ— πš₯ + 𝑧 βƒ— π‘˜ e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , 𝑧 = 𝑑 , 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

  • A 2 πœ‹ ( πœ‹ βˆ’ 1 ) 
  • B 2 πœ‹ 
  • C 2 πœ‹ ( πœ‹ + 1 )
  • D 2 πœ‹ ( πœ‹ βˆ’ 1 )
  • E 2 πœ‹ ( πœ‹ + 1 ) 

Q5:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e a curva 𝐢 , onde βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ βƒ— 𝚀 βˆ’ 𝑦 βƒ— πš₯ , 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , e 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

Q6:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e a curva 𝐢 , onde βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή π‘₯ + 𝑦  βƒ— 𝚀   , 𝐢 π‘₯ = 2 + 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , e 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

Q7:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e curva 𝐢 , onde βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€Ή π‘₯ βˆ’ 𝑦  βƒ— 𝚀 + ο€Ή π‘₯ βˆ’ 𝑦  βƒ— πš₯   ; 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

  • A0
  • B βˆ’ 2 πœ‹
  • C 2 3 + 2 πœ‹
  • D 2 πœ‹
  • E βˆ’ ο€Ό 2 3 + 2 πœ‹ 

Q8:

Na figura, a curva 𝐢 de 𝑃 a 𝑄 consiste em dois quartos de circunferΓͺncias unitΓ‘rias, uma com centro (1, 0) e outra com centro (3, 0). Calcule o integral de linha ο„Έ β‹…  F r d , em que F = ο€» π‘₯ 2  ο€» 𝑦 2  s e n s e n i j βˆ’ ο€» π‘₯ 2  ο€» 𝑦 2  c o s c o s .

  • A 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 3 2  + 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • B βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • C βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  + 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • D 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 3 2  + 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • E βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 3 2  βˆ’ 2 ο€Ό 3 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n

Q9:

Seja 𝑃 o arco de uma circunferΓͺncia unitΓ‘ria no plano π‘₯ 𝑦 atravessado no sentido anti-horΓ‘rio a partir de ( 0 , 1 ) a ( 1 , 0 ) . Determine o valor exato da integral de linha do campo vetorial βƒ— 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 3 π‘₯ 𝑒 βƒ— 𝚀 + 2 𝑦 𝑧 𝑒 βƒ— πš₯ + 𝑦 𝑒 βƒ— π‘˜ 2 π‘₯ + 𝑦 𝑧 π‘₯ + 𝑦 𝑧 2 π‘₯ + 𝑦 𝑧 3 2 3 2 3 2 sobre 𝑃 .

  • A 1 βˆ’ 𝑒
  • B 1 βˆ’ 2 𝑒
  • C 1 + 𝑒
  • D 𝑒 βˆ’ 1
  • E 1 + 2 𝑒

Q10:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetorial βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = βƒ— 𝚀 βˆ’ βƒ— πš₯ + βƒ— π‘˜ e a curva 𝐢 ∢ π‘₯ = 3 𝑑 , 𝑦 = 2 𝑑 , 𝑧 = 𝑑 , 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

Q11:

Calcule ο„Έ βƒ— 𝑓 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d para o campo vetiral βƒ— 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ βƒ— 𝚀 + 𝑦 βƒ— πš₯ + 𝑧 βƒ— π‘˜ e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , 𝑧 = 2 , 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

Q12:

NΓ³s exploramos um exemplo onde um campo vetorial βƒ— 𝐹 = ( 𝐹 , 𝐹 )   satisfaz πœ• 𝐹 πœ• 𝑦 βˆ’ πœ• 𝐹 πœ• π‘₯ = 0   mas nΓ£o vem de um potencial. No plano com a origem removida, considere o campo vetorial βƒ— 𝐹 ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦      .

No meio plano (aberto) π‘₯ > 0 , podemos definir a função de Γ’ngulo πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = ο€» 𝑦 π‘₯  a r c t a n . Isso Γ© bem definido e dΓ‘ um valor entre βˆ’ πœ‹ 2 e πœ‹ 2 . Qual Γ© o gradiente βˆ‡ πœƒ ?

  • A ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • B ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • C ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • D ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • E ο€½ βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦 , 𝑦 π‘₯ + 𝑦     

Usando a figura mostrada, use πœƒ acima para definir a função do Γ’ngulo πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 )  na regiΓ£o 𝑦 > 0 por uma composição adequada com uma rotação de πœ‹ 2 .

  • A πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( 𝑦 , βˆ’ π‘₯ ) + πœ‹ 2 
  • B πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( βˆ’ 𝑦 , π‘₯ ) 
  • C πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( βˆ’ 𝑦 , π‘₯ ) + πœ‹ 2 
  • D πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( 𝑦 , βˆ’ π‘₯ ) 
  • E πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( βˆ’ 𝑦 , βˆ’ π‘₯ ) + πœ‹ 2 

Qual Γ© βˆ‡ πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 )  ?

  • A ο€½ βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦 , 𝑦 π‘₯ + 𝑦     
  • B ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • C ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • D ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • E ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     

Desde que πœƒ e πœƒ  concorda com o quadrante π‘₯ > 0 , 𝑦 > 0 , podemos definir o Γ’ngulo 𝑇 ( π‘₯ , 𝑦 ) em cada ponto da uniΓ£o com valores entre βˆ’ πœ‹ 2 e 3 πœ‹ 2 . Use as funçáes πœƒ e πœƒ  para encontrar ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d , onde 𝐢 Γ© o arco do cΓ­rculo unitΓ‘rio de ο€Ώ 1 2 , βˆ’ √ 3 2  a ο€Ώ βˆ’ 1 √ 2 , 1 √ 2  ? Responda em termos de πœ‹ .

  • A 1 3 πœ‹ 1 2
  • B 1 2 πœ‹ 1 3
  • C πœ‹ 1 2
  • D 3 πœ‹ 5
  • E πœ‹ 5

Da mesma forma, podemos definir πœƒ  no meio-plano π‘₯ < 0 e πœƒ  em 𝑦 < 0 . EntΓ£o, calcule a integral de linha ο„Έ βƒ— 𝐹 β‹… βƒ— π‘Ÿ  d ao redor do cΓ­rculo de raio √ 2 , comeΓ§ando de 𝑃 ( 1 , βˆ’ 1 ) e indo no sentido anti-horΓ‘rio de volta para 𝑃 , afirmando sua resposta em termos de πœ‹ .

  • A √ 2 πœ‹
  • B πœ‹ 2
  • C πœ‹
  • D 2 πœ‹
  • E πœ‹ √ 2

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