Atividade: Integrais de Linha de Campos Vetoriais

Nesta atividade, nós vamos praticar a definir a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva orientada diferenciável no plano.

Q1:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) e para curva 𝐢, onde ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘¦βƒ—πš€βˆ’π‘₯βƒ—πš₯, 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sen, e 0≀𝑑≀2πœ‹.

  • A βˆ’ πœ‹ 2
  • B πœ‹ 2
  • C0
  • D βˆ’ 2 πœ‹
  • E 2 πœ‹

Q2:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) e para curva 𝐢, onde ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=ο€Ήπ‘₯π‘¦ο…βƒ—πš€+ο€Ήπ‘₯𝑦⃗πš₯ e 𝐢 Γ© o caminho poligonal de (0,0) para (1,0) para (0,1) para (0,0).

  • A 7 1 5
  • B0
  • C βˆ’ 7 1 5
  • D 1 3 0
  • E βˆ’ 1 3 0

Q3:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) e a curva 𝐢, onde ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯, 𝐢π‘₯=3𝑑:, 𝑦=2𝑑, e 0≀𝑑≀1.

Q4:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘¦βƒ—πš€βˆ’π‘₯βƒ—πš₯+π‘§βƒ—π‘˜ e a curva 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sen, 𝑧=𝑑, 0≀𝑑≀2πœ‹.

  • A 2 πœ‹ ( πœ‹ + 1 ) 
  • B 2 πœ‹ ( πœ‹ + 1 )
  • C 2 πœ‹ ( πœ‹ βˆ’ 1 ) 
  • D 2 πœ‹ 
  • E 2 πœ‹ ( πœ‹ βˆ’ 1 )

Q5:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) e a curva 𝐢, onde ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=π‘₯βƒ—πš€βˆ’π‘¦βƒ—πš₯, 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sen, e 0≀𝑑≀2πœ‹.

Q6:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) e a curva 𝐢, onde ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=ο€Ήπ‘₯+π‘¦ο…βƒ—πš€οŠ¨οŠ¨, 𝐢π‘₯=2+𝑑:cos, 𝑦=𝑑sen, e 0≀𝑑≀2πœ‹.

Q7:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦) e curva 𝐢, onde ⃗𝑓(π‘₯,𝑦)=ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘¦ο…βƒ—πš€+ο€Ήπ‘₯βˆ’π‘¦ο…βƒ—πš₯; 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sen, 0≀𝑑≀2πœ‹.

  • A βˆ’ ο€Ό 2 3 + 2 πœ‹ 
  • B0
  • C 2 πœ‹
  • D βˆ’ 2 πœ‹
  • E 2 3 + 2 πœ‹

Q8:

Na figura, a curva 𝐢 de 𝑃 a 𝑄 consiste em dois quartos de circunferΓͺncias unitΓ‘rias, uma com centro (1, 0) e outra com centro (3, 0). Calcule o integral de linha ο„Έβ‹…οŒ’Frd, em que F=ο€»π‘₯2𝑦2sensenijβˆ’ο€»π‘₯2𝑦2coscos.

  • A 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 3 2  + 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • B βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 3 2  βˆ’ 2 ο€Ό 3 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • C βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  + 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • D 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 3 2  + 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n
  • E βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  βˆ’ 2 ο€Ό 1 2  ο€Ό 1 2  s e n c o s c o s s e n

Q9:

Seja 𝑃 o arco de uma circunferΓͺncia unitΓ‘ria no plano π‘₯𝑦 atravessado no sentido anti-horΓ‘rio a partir de (0,1) a (1,0). Determine o valor exato da integral de linha do campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯,𝑦,𝑧)=3π‘₯π‘’βƒ—πš€+2𝑦𝑧𝑒⃗πš₯+π‘¦π‘’βƒ—π‘˜οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™ο—οŠ°ο˜ο™οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘ sobre 𝑃.

  • A 1 + 𝑒
  • B 1 βˆ’ 2 𝑒
  • C 1 + 2 𝑒
  • D 𝑒 βˆ’ 1
  • E 1 βˆ’ 𝑒

Q10:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetorial ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=βƒ—πš€βˆ’βƒ—πš₯+βƒ—π‘˜ e a curva 𝐢∢π‘₯=3𝑑, 𝑦=2𝑑, 𝑧=𝑑, 0≀𝑑≀1.

Q11:

Calcule ο„Έβƒ—π‘“β‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d para o campo vetiral ⃗𝑓(π‘₯,𝑦,𝑧)=π‘₯βƒ—πš€+𝑦⃗πš₯+π‘§βƒ—π‘˜ e a curva 𝐢π‘₯=𝑑:cos, 𝑦=𝑑sen, 𝑧=2, 0≀𝑑≀2πœ‹.

Q12:

NΓ³s exploramos um exemplo onde um campo vetorial ⃗𝐹=(𝐹,𝐹) satisfaz πœ•πΉπœ•π‘¦βˆ’πœ•πΉπœ•π‘₯=0 mas nΓ£o vem de um potencial. No plano com a origem removida, considere o campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯,𝑦)=ο€½βˆ’π‘¦π‘₯+𝑦,π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨.

No meio plano (aberto) π‘₯>0, podemos definir a função de Γ’ngulo πœƒ(π‘₯,𝑦)=𝑦π‘₯arctan. Isso Γ© bem definido e dΓ‘ um valor entre βˆ’πœ‹2 e πœ‹2. Qual Γ© o gradiente βˆ‡πœƒ?

  • A ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • B ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • C ο€½ βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦 , 𝑦 π‘₯ + 𝑦     
  • D ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • E ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     

Usando a figura mostrada, use πœƒ acima para definir a função do Γ’ngulo πœƒ(π‘₯,𝑦) na regiΓ£o 𝑦>0 por uma composição adequada com uma rotação de πœ‹2.

  • A πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( βˆ’ 𝑦 , π‘₯ ) 
  • B πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( βˆ’ 𝑦 , π‘₯ ) + πœ‹ 2 
  • C πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( 𝑦 , βˆ’ π‘₯ ) 
  • D πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( βˆ’ 𝑦 , βˆ’ π‘₯ ) + πœ‹ 2 
  • E πœƒ ( π‘₯ , 𝑦 ) = πœƒ ( 𝑦 , βˆ’ π‘₯ ) + πœ‹ 2 

Qual Γ© βˆ‡πœƒ(π‘₯,𝑦)?

  • A ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • B ο€½ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • C ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • D ο€½ βˆ’ 𝑦 π‘₯ + 𝑦 , βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦     
  • E ο€½ βˆ’ π‘₯ π‘₯ + 𝑦 , 𝑦 π‘₯ + 𝑦     

Desde que πœƒ e πœƒοŠ§ concorda com o quadrante π‘₯>0, 𝑦>0, podemos definir o Γ’ngulo 𝑇(π‘₯,𝑦) em cada ponto da uniΓ£o com valores entre βˆ’πœ‹2 e 3πœ‹2. Use as funçáes πœƒ e πœƒοŠ§ para encontrar ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d, onde 𝐢 Γ© o arco do cΓ­rculo unitΓ‘rio de ο€Ώ12,βˆ’βˆš32 a ο€Ώβˆ’1√2,1√2? Responda em termos de πœ‹.

  • A 3 πœ‹ 5
  • B 1 3 πœ‹ 1 2
  • C πœ‹ 1 2
  • D πœ‹ 5
  • E 1 2 πœ‹ 1 3

Da mesma forma, podemos definir πœƒοŠ¨ no meio-plano π‘₯<0 e πœƒοŠ© em 𝑦<0. EntΓ£o, calcule a integral de linha ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d ao redor do cΓ­rculo de raio √2, comeΓ§ando de 𝑃(1,βˆ’1) e indo no sentido anti-horΓ‘rio de volta para 𝑃, afirmando sua resposta em termos de πœ‹.

  • A πœ‹ √ 2
  • B πœ‹ 2
  • C πœ‹
  • D √ 2 πœ‹
  • E 2 πœ‹

Q13:

Suponha que F Γ© o gradiente da função 𝑓(π‘₯,𝑦)=2π‘₯βˆ’π‘¦οŠ©οŠ¨ e que nos dΓ£o os pontos 𝑃(0,0),𝑄(1,0),𝑅(0,1),𝑆(1,1) e 𝑇(βˆ’1,βˆ’1). Seleciona um ponto inicial e um final deste conjunto para maximizar o integral ο„Έβ‹…οŒ’Frd, em que 𝐢 Γ© a reta entre os pontos selecionados.

  • Ade 𝑅 a 𝑇
  • Bde 𝑄 a 𝑇
  • Cde 𝑆 a 𝑄
  • Dde 𝑇 a 𝑄
  • Ede 𝑃 a 𝑅

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