Lição de casa da aula: Integrais de Linha de Campos Vetoriais Mathematics

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva com uma orientação.

Q1:

Suponha que 𝐢 Γ© o caminho dado por βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(𝑑,𝑑) para 0≀𝑑≀1, 𝐢 Γ© o caminho dado por βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(1βˆ’π‘‘,1βˆ’π‘‘) para 0≀𝑑≀1 e ⃗𝐹=π‘₯⃗𝑖+(𝑦+1)βƒ—π‘—οŠ¨ln. Sem calcular os integrais, qual das seguintes opçáes Γ© verdadeira?

  • Aο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ>ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd
  • Bο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ=ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd
  • Cο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ<ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd

Q2:

Na figura, a curva 𝐢 de 𝑃 a 𝑄 consiste em dois quartos de circunferΓͺncias unitΓ‘rias, uma com centro (1, 0) e outra com centro (3, 0). Calcule o integral de linha ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d, em que ⃗𝐹=ο€»π‘₯2𝑦2sensenβƒ—π‘–βˆ’ο€»π‘₯2𝑦2⃗𝑗coscos.

  • A2ο€Ό12οˆο€Ό32+2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen
  • Bβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό12οˆβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen
  • Cβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό32οˆβˆ’2ο€Ό32οˆο€Ό12sencoscossen
  • Dβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό12+2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen
  • E2ο€Ό12οˆο€Ό32+2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen

Q3:

Seja 𝑃 o arco de uma circunferΓͺncia unitΓ‘ria no plano π‘₯𝑦 atravessado no sentido anti-horΓ‘rio a partir de (0;1) a (1;0). Determine o valor exato da integral de linha do campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯;𝑦;𝑧)=3π‘₯𝑒⃗𝑖+2𝑦𝑧𝑒⃗𝑗+π‘¦π‘’βƒ—π‘˜οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™ο—οŠ°ο˜ο™οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘ sobre 𝑃.

  • A1+𝑒
  • B1+2𝑒
  • C1βˆ’π‘’
  • Dπ‘’βˆ’1
  • E1βˆ’2𝑒

Q4:

NΓ³s exploramos um exemplo onde um campo vetorial ⃗𝐹=(𝐹,𝐹) satisfaz πœ•πΉπœ•π‘¦βˆ’πœ•πΉπœ•π‘₯=0 mas nΓ£o vem de um potencial. No plano com a origem removida, considere o campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯,𝑦)=ο€½βˆ’π‘¦π‘₯+𝑦,π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨.

No meio plano (aberto) π‘₯>0, podemos definir a função de Γ’ngulo πœƒ(π‘₯,𝑦)=𝑦π‘₯arctan. Isso Γ© bem definido e dΓ‘ um valor entre βˆ’πœ‹2 e πœ‹2. Qual Γ© o gradiente βˆ‡πœƒ?

  • A𝑦π‘₯+𝑦,βˆ’π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • Bο€½βˆ’π‘¦π‘₯+𝑦,π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • Cο€½βˆ’π‘₯π‘₯+𝑦,𝑦π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • D𝑦π‘₯+𝑦,π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • Eο€½βˆ’π‘¦π‘₯+𝑦,βˆ’π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨

Usando a figura mostrada, use πœƒ acima para definir a função do Γ’ngulo πœƒ(π‘₯,𝑦) na regiΓ£o 𝑦>0 por uma composição adequada com uma rotação de πœ‹2.

  • Aπœƒ(π‘₯,𝑦)=πœƒ(βˆ’π‘¦,π‘₯)
  • Bπœƒ(π‘₯,𝑦)=πœƒ(βˆ’π‘¦,π‘₯)+πœ‹2
  • Cπœƒ(π‘₯,𝑦)=πœƒ(𝑦,βˆ’π‘₯)
  • Dπœƒ(π‘₯,𝑦)=πœƒ(βˆ’π‘¦,βˆ’π‘₯)+πœ‹2
  • Eπœƒ(π‘₯,𝑦)=πœƒ(𝑦,βˆ’π‘₯)+πœ‹2

Qual Γ© βˆ‡πœƒ(π‘₯,𝑦)?

  • A𝑦π‘₯+𝑦,βˆ’π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • B𝑦π‘₯+𝑦,π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • Cο€½βˆ’π‘¦π‘₯+𝑦,π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • Dο€½βˆ’π‘¦π‘₯+𝑦,βˆ’π‘₯π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨
  • Eο€½βˆ’π‘₯π‘₯+𝑦,𝑦π‘₯+π‘¦ο‰οŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨

Desde que πœƒ e πœƒοŠ§ concorda com o quadrante π‘₯>0, 𝑦>0, podemos definir o Γ’ngulo 𝑇(π‘₯,𝑦) em cada ponto da uniΓ£o com valores entre βˆ’πœ‹2 e 3πœ‹2. Use as funçáes πœƒ e πœƒοŠ§ para encontrar ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d, onde 𝐢 Γ© o arco do cΓ­rculo unitΓ‘rio de ο€Ώ12,βˆ’βˆš32 a ο€Ώβˆ’1√2,1√2? Responda em termos de πœ‹.

  • A3πœ‹5
  • B13πœ‹12
  • Cπœ‹12
  • Dπœ‹5
  • E12πœ‹13

Da mesma forma, podemos definir πœƒοŠ¨ no meio-plano π‘₯<0 e πœƒοŠ© em 𝑦<0. EntΓ£o, calcule a integral de linha ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d ao redor do cΓ­rculo de raio √2, comeΓ§ando de 𝑃(1,βˆ’1) e indo no sentido anti-horΓ‘rio de volta para 𝑃, afirmando sua resposta em termos de πœ‹.

  • Aπœ‹βˆš2
  • Bπœ‹2
  • Cπœ‹
  • D√2πœ‹
  • E2πœ‹

Q5:

Suponha que F Γ© o gradiente da função 𝑓(π‘₯;𝑦)=2π‘₯βˆ’π‘¦οŠ©οŠ¨ e que nos dΓ£o os pontos 𝑃(0;0);𝑄(1;0);𝑅(0;1);𝑆(1;1) e 𝑇(βˆ’1;βˆ’1). Seleciona um ponto inicial e um final deste conjunto para maximizar o integral ο„Έβ‹…οŒ’Frd, em que 𝐢 Γ© a reta entre os pontos selecionados.

  • Ade 𝑆 a 𝑄
  • Bde 𝑅 a 𝑇
  • Cde 𝑇 a 𝑄
  • Dde 𝑃 a 𝑅
  • Ede 𝑄 a 𝑇

Q6:

Vamos considerar duas parametrizaçáes diferentes para a integral de linha ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ«d onde 𝐿 Γ© o segmento de reta 𝑦=π‘₯ de (0,0) a (1,1) e ⃗𝐹=6π‘₯⃗𝑖+(π‘₯+𝑦)βƒ—π‘—οŠ¨.

Calcule a integral usando βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(𝑑,𝑑) sobre 0≀𝑑≀1.

  • A236
  • B53
  • C6
  • D1
  • E3112

Calcule a integral usando βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=𝑒,π‘’ο…οοŠ±οŠ§οοŠ±οŠ§ sobre 0≀𝑑≀2ln.

  • A13βˆ’1222ln
  • B236
  • C182βˆ’343ln
  • D12(1βˆ’2)ln
  • E1

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