Lição de casa da aula: Integrais de Linha de Campos Vetoriais Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva com uma orientação.

QuestΓ£o 1

Suponha que 𝐢 Γ© o caminho dado por βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(𝑑,𝑑) para 0≀𝑑≀1, 𝐢 Γ© o caminho dado por βƒ—π‘Ÿ(𝑑)=(1βˆ’π‘‘,1βˆ’π‘‘) para 0≀𝑑≀1 e ⃗𝐹=π‘₯⃗𝑖+(𝑦+1)βƒ—π‘—οŠ¨ln. Sem calcular os integrais, qual das seguintes opçáes Γ© verdadeira?

  • Aο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ>ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd
  • Bο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ=ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd
  • Cο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘Ÿ<ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’οŒ’οŽ οŽ‘dd

QuestΓ£o 2

Na figura, a curva 𝐢 de 𝑃 a 𝑄 consiste em dois quartos de circunferΓͺncias unitΓ‘rias, uma com centro (1, 0) e outra com centro (3, 0). Calcule o integral de linha ο„Έβƒ—πΉβ‹…βƒ—π‘ŸοŒ’d, em que ⃗𝐹=ο€»π‘₯2𝑦2sensenβƒ—π‘–βˆ’ο€»π‘₯2𝑦2⃗𝑗coscos.

  • A2ο€Ό12οˆο€Ό32+2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen
  • Bβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό12οˆβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen
  • Cβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό32οˆβˆ’2ο€Ό32οˆο€Ό12sencoscossen
  • Dβˆ’2ο€Ό12οˆο€Ό12+2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen
  • E2ο€Ό12οˆο€Ό32+2ο€Ό12οˆο€Ό12sencoscossen

QuestΓ£o 3

Seja 𝑃 o arco de uma circunferΓͺncia unitΓ‘ria no plano π‘₯𝑦 atravessado no sentido anti-horΓ‘rio a partir de (0;1) a (1;0). Determine o valor exato da integral de linha do campo vetorial ⃗𝐹(π‘₯;𝑦;𝑧)=3π‘₯𝑒⃗𝑖+2𝑦𝑧𝑒⃗𝑗+π‘¦π‘’βƒ—π‘˜οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™ο—οŠ°ο˜ο™οŠ¨ο—οŠ°ο˜ο™οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘οŽ’οŽ‘ sobre 𝑃.

  • A1+𝑒
  • B1+2𝑒
  • C1βˆ’π‘’
  • Dπ‘’βˆ’1
  • E1βˆ’2𝑒

QuestΓ£o 4

Suponha que F Γ© o gradiente da função 𝑓(π‘₯;𝑦)=2π‘₯βˆ’π‘¦οŠ©οŠ¨ e que nos dΓ£o os pontos 𝑃(0;0);𝑄(1;0);𝑅(0;1);𝑆(1;1) e 𝑇(βˆ’1;βˆ’1). Seleciona um ponto inicial e um final deste conjunto para maximizar o integral ο„Έβ‹…οŒ’Frd, em que 𝐢 Γ© a reta entre os pontos selecionados.

  • Ade 𝑆 a 𝑄
  • Bde 𝑅 a 𝑇
  • Cde 𝑇 a 𝑄
  • Dde 𝑃 a 𝑅
  • Ede 𝑄 a 𝑇

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