Atividade: Programação Linear

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a solução ideal de um sistema linear que tenha uma função objetiva e várias restrições.

Q1:

Determine os valores de 𝑥 e 𝑦 que maximizem a função 𝑝=5𝑥+2𝑦. Escreva a sua resposta como um ponto (𝑥,𝑦).

  • A(0,8)
  • B(7,0)
  • C(3,0)
  • D(7,8)

Q2:

Encontre o valor máximo da função objetivo 𝑝=2𝑥+6𝑦 dadas as restrições 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦6, 3𝑥+𝑦9, e 𝑥+2𝑦8.

Q3:

Dada a representação gráfica em baixo e 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦7, e 𝑦5, determine em que ponto a função 𝑝=3𝑥𝑦 atinge o seu máximo utilizando programação linear.

  • A𝐶
  • B𝐴
  • C𝐵
  • D𝐷

Q4:

Usando programação linear, encontre os valores de mínimo e máximo da função 𝑝=4𝑥3𝑦 dados que 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦9, e 𝑦5 .

  • AO valor de mínimo é 27, e o valor de máximo é 1.
  • BO valor de mínimo é 15, e o valor de máximo é 1.
  • CO valor de mínimo é 27, e o valor de máximo é 15.
  • DO valor de mínimo é 0, e o valor de máximo é 9.

Q5:

Um restaurante de frutos do mar vende dois tipos de peixe cozido; bacalhau e enguia. O restaurante vende NÃO MENOS do que 40 peixes todos os dias mas não usa mais do que 30 bacalhaus e não mais do que 45 enguias. O preço de um bacalhau é LE 6 e de uma enguia é LE 8. Seja que 𝑥 representa a quantidade de bacalhau adquirida por dia e 𝑦 representa a quantidade de enguia. Dado que o gerente quer minimizar o preço total, 𝑝, do peixe, dê a função objetivo e as inequações que ajudarão o gerente do restaurante a decidir quantos peixes comprar.

  • A𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝>6𝑥+8𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥<30, 𝑦<45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦>40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦
  • E𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦40, 𝑥30, 𝑦45, 𝑝=6𝑥+8𝑦

Q6:

Uma loja de doces vende sacos de marshmallows por LE 5 cada e sacos de doces de cola por LE 6 cada. Uma criança pretende comprar os dois tipos de doces e tem restrições na quantidade que pode comprar que está descrita na figura em baixo em que 𝑥 representa o número de sacos de marshmallows que pode comprar e 𝑦 representa o número de sacos de doces de cola. Qual o menor preço possível nesta situação?

Q7:

Uma pequena fábrica produz dois tipos de móveis de metal, 𝐴 e 𝐵. Eles podem produzir no máximo 25 peças de mobiliário de metal no total. O lucro do tipo 𝐴 é LE 60 e o lucro do tipo 𝐵 é LE 40. A fábrica vende pelo menos 2 vezes mais do tipo 𝐴 do que do tipo 𝐵. Indique a função objetivo e as inequações que ajudarão a encontrar o lucro máximo para a fábrica.

  • A𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴2𝐵, 𝑝60𝐴+40𝐵
  • B𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴=2𝐵, 𝑝=60𝐴+40𝐵
  • C𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵=25, 𝐴2𝐵, 𝑝=60𝐴+40𝐵
  • D𝐴0, 𝐵0, 𝐴+𝐵25, 𝐴2𝐵, 𝑝=60𝐴+40𝐵

Q8:

Uma fábrica de alimentos produz dois tipos de alimentos para bebés com diferentes valores nutricionais. O primeiro tipo, representado por 𝑥, custa LE 3 por um frasco que contém 3 unidades de vitamina A e 2 de vitamina B. O segundo tipo, representado por 𝑦, custa LE 4 por um frasco que contém 4 unidades de vitamina A e 3 de vitamina B. Uma criança necessita de pelo menos 120 unidades de vitamina A e 100 unidades de vitamina B para satisfazer as suas necessidades nutricionais. Indique a função objetivo e as restrições necessárias para determinar quantos frascos de cada tipo de deve comprar para satisfazer as necessidades nutricionais requeridas pelo menor custo possível.

  • A𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑝=3𝑥+4𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+2𝑦120, 4𝑥+3𝑦100, 𝑝=3𝑥+4𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑝3𝑥+4𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 3𝑥+4𝑦120, 2𝑥+3𝑦100, 𝑝=3𝑥+4𝑦

Q9:

Uma fábrica de alimentos para bebés produz dois tipos de alimentos com diferentes valores nutricionais. Um frasco do primeiro tipo tem 2 unidades de vitamina A e 4 unidades de vitamina B, enquanto um frasco do segundo tipo tem 4 unidades de vitamina A e 2 unidades de vitamina B. Cada criança precisa de pelo menos 100 unidades de vitamina A e 140 unidades de vitamina B por mês. O primeiro tipo custa LE 6 por frasco enquanto o segundo tipo custa LE 4 por frasco. Recorrendo ao gráfico em baixo, determine a função objetivo e, em seguida, o menor custo possível necessário para suprir uma criança das suas necessidades nutricionais mensais.

  • A𝑝=6𝑥+4𝑦, e o menor custo possível é LE 220.
  • B𝑝=2𝑥+4𝑦, e o menor custo possível é LE 100.
  • C𝑝=4𝑥+6𝑦; e o menor custo possível é LE 1‎ ‎800.
  • D𝑝=4𝑥+6𝑦, e o menor custo possível é LE 420.
  • E𝑝=6𝑥+4𝑦, e o menor custo possível é LE 280.

Q10:

Uma fábrica de alimentos para bebês produz dois tipos de comida para bebês com diferentes valores nutricionais. Um frasco do primeiro tipo tem 4 unidades de vitamina A e 2 unidades de vitamina B, enquanto um frasco do segundo tipo tem 2 unidades de vitamina A e 3 unidades de vitamina B. Toda criança requer pelo menos de 120 unidades de vitamina A e 100 unidades de vitamina B por mês. O primeiro tipo custa LE 6 por frasco enquanto o segundo custa LE 4 por frasco. Utilizando o gráfico abaixo, determine quantos de cada tipo de frasco devem ser comprados para atender às necessidades mensais da criança com o menor custo possível.

  • A frascos do primeiro tipo =0, frascos do segundo tipo =60
  • B frascos do primeiro tipo =0, frascos do segundo tipo =33
  • C frascos do primeiro tipo =20, frascos do segundo tipo =20
  • D frascos do primeiro tipo =30, frascos do segundo tipo =0

Q11:

Em uma oficina, dois trabalhadores produzem dois tipos de mesas de ferro: tipo A e tipo B. Um trabalhador constrói as mesas e o outro pulveriza-as. Leva o primeiro trabalhador 4 horas para construir uma mesa do tipo A e 3 horas para construir uma mesa do tipo B. Leva o segundo trabalhador 3 horas para pulverizar uma mesa do tipo A e 4 horas para pulverizar uma mesa do tipo B. A primeira pessoa trabalha pelo menos 5 horas por dia, e o outro trabalha no máximo 7 horas por dia. Se a oficina ganha um lucro de LE 60 de cada mesa (de qualquer tipo), determine a função objetiva e as inequações necessárias para calcular o número de mesas de cada tipo a serem produzidas todos os dias para maximizar o lucro 𝑝.

  • A𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦>5, 3𝑥+4𝑦<7, 𝑝60𝑥+60𝑦
  • B𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝=60𝑥+60𝑦
  • C𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝=60𝑥+60𝑦
  • D𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦<5, 3𝑥+4𝑦>7, 𝑝=60𝑥+60𝑦
  • E𝑥0, 𝑦0, 4𝑥+3𝑦5, 3𝑥+4𝑦7, 𝑝60𝑥+60𝑦

Q12:

Uma fábrica produz dois tipos de secretárias em ferro: tipo A e tipo B. Um trabalhador constrói as secretárias e outro pulveriza-os. O primeiro trabalhador demora 3,5 horas para construir uma secretária do tipo A e 2 horas para construir uma secretária do tipo B. O segundo trabalhador demora 4 horas para pulverizar uma secretária do tipo A e 2 horas para pulverizar uma secretária do tipo B. A primeira pessoa trabalha pelo menos 5 horas por dia e a outra trabalha no máximo 8 horas por dia. Se a fábrica ganha um lucro de LE 50 por cada secretária (de cada tipo), determine quantas secretárias de cada tipo devem ser produzidas por dia para maximizar o lucro.

  • A0 secretárias do tipo A, 2 secretárias do tipo B
  • B2 secretárias do tipo A, 0 secretárias do tipo B
  • C0 secretárias do tipo A, 4 secretárias do tipo B
  • D4 secretárias do tipo A, 0 secretárias do tipo B

Q13:

Dois pacotes de suplementos alimentares estão disponíveis; o primeiro fornece 4 calorias e tem 6 unidades de vitamina C, e o segundo fornece 3 calorias e tem 4 unidades de vitamina C. Precisamos de pelo menos 37 calorias e 22 unidades de vitamina C. O primeiro custa LE 6 por pacote e os segundo custa LE 8 por pacote. Utilizando 𝑥 para representar a quantidade de pacotes do primeiro tipo e 𝑦 para representar o número de pacotes do segundo tipo, defina a função objetivo utilizada para determinar o custo mínimo de compra de pacotes para atender às necessidades de nutrientes.

  • A𝑝<6𝑥+8𝑦
  • B𝑝=6𝑥+8𝑦
  • C4𝑥+3𝑦37
  • D𝑝=37𝑥+22𝑦
  • E𝑝=6𝑥+4𝑦

Q14:

Um fazendeiro pode melhorar a qualidade de seus produtos se ele utilizar pelo menos 18 unidades de compostos à base de nitrogênio e pelo menos 6 unidades de compostos de fosfato. Ele pode usar dois tipos de fertilizantes: A e B. O custo e o conteúdo de cada fertilizante são mostrados na tabela.

O FertilizanteNúmero de Unidades de Compostos Baseados em Nitrogênio por QuilogramaNúmero de Unidades de Compostos Fosfatados por QuilogramaCusto para cada Quilograma (LE)
A32170
B61120

Dado que o gráfico representa os constrangimentos nesta situação, encontre o menor custo que o agricultor pode pagar pelo fertilizante enquanto fornece quantidades suficientes de ambos os compostos.

Q15:

Uma fábrica produz cadeiras e mesas e está tentando decidir quantas de cada uma delas precisa produzir para maximizar seu lucro.

Eles determinaram as restrições e desenharam a região viável como mostrado, onde 𝑥 representa o número de cadeiras e 𝑦 representa o número de mesas.

Se eles encontrarem um comprador que concorda em pagar uma taxa de tal forma que eles recebam 150 de lucro para cada cadeira e 200 de lucro para cada mesa, o que eles podem esperar que seu lucro máximo seja?

Se eles só podem garantir um lucro de 50 por cadeira e 180 por mesa, quantas de cada uma devem produzir para maximizar seu lucro?

  • A32 cadeiras, 0 mesas
  • B45 cadeiras, 0 mesas
  • C38 cadeiras, 18 mesas
  • D18 cadeiras, 38 mesas
  • E0 cadeiras, 32 mesas

Q16:

Uma pequena empresa tinge camisas para ser de cor sólida ou tie-dye, e eles querem decidir quantas camisas de cada cor devem ser preparadas para uma próxima venda. Eles têm um orçamento de $ 240. Comprar cada camisa custa $ 2. Custa $ 0,50 para tingir uma camisa com uma cor sólida e $ 1,50 para produzir uma camiseta tie-dye. Eles só têm 8 horas para preparar todas as camisas, e é preciso 2 minutos para tingir uma camisa de cor sólida e 10 minutos para tingir uma camiseta tie-dye.

Eles querem maximizar seu lucro, sabendo que podem vender camisas de cor sólida por $ 8 cada uma e camisas tie-dye por $ 10 cada.

Seja que 𝑥 representa o número de camisas de cor sólida e 𝑦 representa o número de camisas tie-dye. Qual das seguintes opções mostra a região viável?

  • A
  • B
  • C
  • D

Indique a função objetivo.

  • A𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+1,5𝑦+240
  • B𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+10𝑦480
  • C𝑓(𝑥;𝑦)=8𝑥+10𝑦
  • D𝑓(𝑥;𝑦)=2,5𝑥+3,5𝑦240
  • E𝑓(𝑥;𝑦)=2𝑥+1,5𝑦

Quantas de cada tipo de camisa a empresa deve produzir para maximizar o lucro?

  • A0 camisas de cor sólida e 48 camisas tie-dye
  • B89 camisas de cor sólida e 69 camisas tie-dye
  • C69 camisas de cor sólida e 40 camisas tie-dye
  • D40 camisas de cor sólida e 40 camisas tie-dye
  • E48 camisas de cor sólida e 0 camisas tie-dye

Q17:

O que é uma função objetivo?

Q18:

Indique uma limitação das técnicas de otimização da programação linear.

Q19:

O que é a programação linear?

Q20:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10;𝑥+𝑥+𝑥1;𝑥+2𝑥+𝑥7. Determine os possíveis valores de máximo e mínimo de 𝑧=2𝑥+𝑥 restringido por aquelas inequações.

  • Amínimo: 1, máximo: 14
  • Bmínimo: 1, máximo: 7
  • Cmínimo: 0, máximo: 14
  • Dmínimo: 0, máximo: 7

Q21:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Determine os possíveis valores de máximo e mínimo 𝑧=𝑥2𝑥 restringidos por aquelas condições.

  • Amínimo: 7, máximo: 7
  • Bmínimo: 72, máximo: 7
  • Cmínimo: 132, máximo: 6
  • Dmínimo: 7, máximo: 6

Q22:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Determine os valores possíveis de máximo e mínimo de 𝑧=𝑥+2𝑥 restringido por aquelas inequações.

  • Amínimo: 1, máximo: 7
  • Bmínimo: 1, máximo: 272
  • Cmínimo: 0, máximo: 272
  • Dmínimo: 0, máximo: 7

Q23:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥8;𝑥+𝑥+3𝑥1;𝑥+𝑥+𝑥7. Determine os possíveis valores de máximo e mínimo de 𝑧=𝑥2𝑥3𝑥 restringido por aquelas inequações.

  • Amínimo: 21, máximo: 6
  • Bmínimo: 20, máximo: 6
  • Cmínimo: 21, máximo: 7
  • Dmínimo: 20, máximo: 7

Q24:

Minimize 𝑧=𝑥+𝑥 restringido pelas condições 𝑥+𝑥2, 𝑥+3𝑥20 e 𝑥+𝑥18.

Q25:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥, and 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥2,𝑥+2𝑥+𝑥7. Determinando os possíveis valores de máximo e mínimo de 𝑧=𝑥2𝑥+𝑥 restringido por aquelas condições.

  • Amínimo: 112, máximo: 5
  • Bmínimo: 7, máximo: 7
  • Cmínimo: 72, máximo: 7
  • Dmínimo: 132, máximo: 5
  • Emínimo: 7, máximo: 5

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