Atividade: Programação Linear

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a solução ideal de um sistema linear que tenha uma função objetiva e várias restrições.

Q1:

Determine os valores de 𝑥 e 𝑦 que maximizem a função 𝑝=5𝑥+2𝑦. Escreva a sua resposta como um ponto (𝑥,𝑦).

  • A ( 0 , 8 )
  • B ( 7 , 0 )
  • C ( 3 , 0 )
  • D ( 7 , 8 )

Q2:

Encontre o valor máximo da função objetivo 𝑝=2𝑥+6𝑦 dadas as restrições 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦6, 3𝑥+𝑦9, e 𝑥+2𝑦8.

Q3:

Dada a representação gráfica em baixo e 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦7, e 𝑦5, determine em que ponto a função 𝑝=3𝑥𝑦 atinge o seu máximo utilizando programação linear.

  • A 𝐶
  • B 𝐴
  • C 𝐵
  • D 𝐷

Q4:

Usando programação linear, encontre os valores de mínimo e máximo da função 𝑝=4𝑥3𝑦 dados que 𝑥0, 𝑦0, 𝑥+𝑦9, e 𝑦5 .

  • AO valor de mínimo é 27, e o valor de máximo é 1.
  • BO valor de mínimo é 15, e o valor de máximo é 1.
  • CO valor de mínimo é 27, e o valor de máximo é 15.
  • DO valor de mínimo é 0, e o valor de máximo é 9.

Q5:

Minimize 𝑧=𝑥+𝑥 restringido pelas condições 𝑥+𝑥2, 𝑥+3𝑥20 e 𝑥+𝑥18.

  • A2
  • B16
  • C9
  • D1
  • E7

Q6:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥, and 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥2,𝑥+2𝑥+𝑥7. Determinando os possíveis valores de máximo e mínimo de 𝑧=𝑥2𝑥+𝑥 restringido por aquelas condições.

  • Amínimo: 112, máximo: 5
  • Bmínimo: 7, máximo: 7
  • Cmínimo: 72, máximo: 7
  • Dmínimo: 132, máximo: 5
  • Emínimo: 7, máximo: 5

Q7:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥8,𝑥+𝑥+3𝑥1,𝑥+𝑥+𝑥7. Determine os possíveis valores de máximo e mínimo de 𝑧=𝑥2𝑥3𝑥 restringido por aquelas inequações.

  • Amínimo: 20, máximo: 7
  • Bmínimo: 20, máximo: 6
  • Cmínimo: 21, máximo: 6
  • Dmínimo: 21, máximo: 7

Q8:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Determine os possíveis valores de máximo e mínimo de 𝑧=2𝑥+𝑥 restringido por aquelas inequações.

  • Amínimo: 0, máximo: 7
  • Bmínimo: 1, máximo: 7
  • Cmínimo: 1, máximo: 14
  • Dmínimo: 0, máximo: 14

Q9:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥+𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Determine os possíveis valores de máximo e mínimo 𝑧=𝑥2𝑥 restringidos por aquelas condições.

  • Amínimo: 7, máximo: 7
  • Bmínimo: 72, máximo: 7
  • Cmínimo: 132, máximo: 6
  • Dmínimo: 7, máximo: 6

Q10:

Considere as seguintes inequações nas variáveis não negativas 𝑥, 𝑥 e 𝑥: 𝑥𝑥+𝑥10,𝑥+𝑥+𝑥1,𝑥+2𝑥+𝑥7. Determine os valores possíveis de máximo e mínimo de 𝑧=𝑥+2𝑥 restringido por aquelas inequações.

  • Amínimo: 1, máximo: 7
  • Bmínimo: 1, máximo: 272
  • Cmínimo: 0, máximo: 272
  • Dmínimo: 0, máximo: 7

Q11:

Um restaurante de frutos do mar vende dois tipos de peixe cozido; bacalhau e enguia. O restaurante vende NÃO MENOS do que 40 peixes todos os dias mas não usa mais do que 30 bacalhaus e não mais do que 45 enguias. O preço de um bacalhau é LE 6 e de uma enguia é LE 8. Seja que 𝑥 representa a quantidade de bacalhau adquirida por dia e 𝑦 representa a quantidade de enguia. Dado que o gerente quer minimizar o preço total, 𝑝, do peixe, dê a função objetivo e as inequações que ajudarão o gerente do restaurante a decidir quantos peixes comprar.

  • A 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 > 6 𝑥 + 8 𝑦
  • B 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 < 3 0 , 𝑦 < 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦
  • C 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦
  • D 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 > 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦
  • E 𝑥 0 , 𝑦 0 , 𝑥 + 𝑦 4 0 , 𝑥 3 0 , 𝑦 4 5 , 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦

Q12:

Uma loja de doces vende sacos de marshmallows por LE 5 cada e sacos de doces de cola por LE 6 cada. Uma criança pretende comprar os dois tipos de doces e tem restrições na quantidade que pode comprar que está descrita na figura em baixo em que 𝑥 representa o número de sacos de marshmallows que pode comprar e 𝑦 representa o número de sacos de doces de cola. Qual o menor preço possível nesta situação?

Q13:

Uma pequena fábrica produz dois tipos de móveis de metal, 𝐴 e 𝐵. Eles podem produzir no máximo 25 peças de mobiliário de metal no total. O lucro do tipo 𝐴 é LE 60 e o lucro do tipo 𝐵 é LE 40. A fábrica vende pelo menos 2 vezes mais do tipo 𝐴 do que do tipo 𝐵. Indique a função objetivo e as inequações que ajudarão a encontrar o lucro máximo para a fábrica.

  • A 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 2 5 , 𝐴 2 𝐵 , 𝑝 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵
  • B 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 2 5 , 𝐴 = 2 𝐵 , 𝑝 = 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵
  • C 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 = 2 5 , 𝐴 2 𝐵 , 𝑝 = 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵
  • D 𝐴 0 , 𝐵 0 , 𝐴 + 𝐵 2 5 , 𝐴 2 𝐵 , 𝑝 = 6 0 𝐴 + 4 0 𝐵

Q14:

Uma fábrica de alimentos produz dois tipos de alimentos para bebés com diferentes valores nutricionais. O primeiro tipo, representado por 𝑥, custa LE 3 por um frasco que contém 3 unidades de vitamina A e 2 de vitamina B. O segundo tipo, representado por 𝑦, custa LE 4 por um frasco que contém 4 unidades de vitamina A e 3 de vitamina B. Uma criança necessita de pelo menos 120 unidades de vitamina A e 100 unidades de vitamina B para satisfazer as suas necessidades nutricionais. Indique a função objetivo e as restrições necessárias para determinar quantos frascos de cada tipo de deve comprar para satisfazer as necessidades nutricionais requeridas pelo menor custo possível.

  • A 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 4 𝑦 1 2 0 , 2 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑝 = 3 𝑥 + 4 𝑦
  • B 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 2 𝑦 1 2 0 , 4 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑝 = 3 𝑥 + 4 𝑦
  • C 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 4 𝑦 1 2 0 , 2 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑝 3 𝑥 + 4 𝑦
  • D 𝑥 0 , 𝑦 0 , 3 𝑥 + 4 𝑦 1 2 0 , 2 𝑥 + 3 𝑦 1 0 0 , 𝑝 = 3 𝑥 + 4 𝑦

Q15:

Uma fábrica de alimentos para bebés produz dois tipos de alimentos com diferentes valores nutricionais. Um frasco do primeiro tipo tem 2 unidades de vitamina A e 4 unidades de vitamina B, enquanto um frasco do segundo tipo tem 4 unidades de vitamina A e 2 unidades de vitamina B. Cada criança precisa de pelo menos 100 unidades de vitamina A e 140 unidades de vitamina B por mês. O primeiro tipo custa LE 6 por frasco enquanto o segundo tipo custa LE 4 por frasco. Recorrendo ao gráfico em baixo, determine a função objetivo e, em seguida, o menor custo possível necessário para suprir uma criança das suas necessidades nutricionais mensais.

  • A 𝑝 = 6 𝑥 + 4 𝑦 , e o menor custo possível é LE 220.
  • B 𝑝 = 2 𝑥 + 4 𝑦 , e o menor custo possível é LE 100.
  • C 𝑝 = 4 𝑥 + 6 𝑦 ; e o menor custo possível é LE 1‎ ‎800.
  • D 𝑝 = 4 𝑥 + 6 𝑦 , e o menor custo possível é LE 420.
  • E 𝑝 = 6 𝑥 + 4 𝑦 , e o menor custo possível é LE 280.

Q16:

Uma fábrica de alimentos para bebês produz dois tipos de comida para bebês com diferentes valores nutricionais. Um frasco do primeiro tipo tem 4 unidades de vitamina A e 2 unidades de vitamina B, enquanto um frasco do segundo tipo tem 2 unidades de vitamina A e 3 unidades de vitamina B. Toda criança requer pelo menos de 120 unidades de vitamina A e 100 unidades de vitamina B por mês. O primeiro tipo custa LE 6 por frasco enquanto o segundo custa LE 4 por frasco. Utilizando o gráfico abaixo, determine quantos de cada tipo de frasco devem ser comprados para atender às necessidades mensais da criança com o menor custo possível.

  • A frascos do primeiro tipo =0, frascos do segundo tipo =60
  • B frascos do primeiro tipo =0, frascos do segundo tipo =33
  • C frascos do primeiro tipo =20, frascos do segundo tipo =20
  • D frascos do primeiro tipo =30, frascos do segundo tipo =0

Q17:

Em uma oficina, dois trabalhadores produzem dois tipos de mesas de ferro: tipo A e tipo B. Um trabalhador constrói as mesas e o outro pulveriza-as. Leva o primeiro trabalhador 4 horas para construir uma mesa do tipo A e 3 horas para construir uma mesa do tipo B. Leva o segundo trabalhador 3 horas para pulverizar uma mesa do tipo A e 4 horas para pulverizar uma mesa do tipo B. A primeira pessoa trabalha pelo menos 5 horas por dia, e o outro trabalha no máximo 7 horas por dia. Se a oficina ganha um lucro de LE 60 de cada mesa (de qualquer tipo), determine a função objetiva e as inequações necessárias para calcular o número de mesas de cada tipo a serem produzidas todos os dias para maximizar o lucro 𝑝.

  • A 𝑥 0 , 𝑦 0 , 4 𝑥 + 3 𝑦 > 5 , 3 𝑥 + 4 𝑦 < 7 , 𝑝 6 0 𝑥 + 6 0 𝑦
  • B 𝑥 0 , 𝑦 0 , 4 𝑥 + 3 𝑦 5 , 3 𝑥 + 4 𝑦 7 , 𝑝 = 6 0 𝑥 + 6 0 𝑦
  • C 𝑥 0 , 𝑦 0 , 4 𝑥 + 3 𝑦 5 , 3 𝑥 + 4 𝑦 7 , 𝑝 = 6 0 𝑥 + 6 0 𝑦
  • D 𝑥 0 , 𝑦 0 , 4 𝑥 + 3 𝑦 < 5 , 3 𝑥 + 4 𝑦 > 7 , 𝑝 = 6 0 𝑥 + 6 0 𝑦
  • E 𝑥 0 , 𝑦 0 , 4 𝑥 + 3 𝑦 5 , 3 𝑥 + 4 𝑦 7 , 𝑝 6 0 𝑥 + 6 0 𝑦

Q18:

Uma fábrica produz dois tipos de secretárias em ferro: tipo A e tipo B. Um trabalhador constrói as secretárias e outro pulveriza-os. O primeiro trabalhador demora 3,5 horas para construir uma secretária do tipo A e 2 horas para construir uma secretária do tipo B. O segundo trabalhador demora 4 horas para pulverizar uma secretária do tipo A e 2 horas para pulverizar uma secretária do tipo B. A primeira pessoa trabalha pelo menos 5 horas por dia e a outra trabalha no máximo 8 horas por dia. Se a fábrica ganha um lucro de LE 50 por cada secretária (de cada tipo), determine quantas secretárias de cada tipo devem ser produzidas por dia para maximizar o lucro.

  • A0 secretárias do tipo A, 2 secretárias do tipo B
  • B2 secretárias do tipo A, 0 secretárias do tipo B
  • C0 secretárias do tipo A, 4 secretárias do tipo B
  • D4 secretárias do tipo A, 0 secretárias do tipo B

Q19:

Dois pacotes de suplementos alimentares estão disponíveis; o primeiro fornece 4 calorias e tem 6 unidades de vitamina C, e o segundo fornece 3 calorias e tem 4 unidades de vitamina C. Precisamos de pelo menos 37 calorias e 22 unidades de vitamina C. O primeiro custa LE 6 por pacote e os segundo custa LE 8 por pacote. Utilizando 𝑥 para representar a quantidade de pacotes do primeiro tipo e 𝑦 para representar o número de pacotes do segundo tipo, defina a função objetivo utilizada para determinar o custo mínimo de compra de pacotes para atender às necessidades de nutrientes.

  • A 𝑝 < 6 𝑥 + 8 𝑦
  • B 𝑝 = 6 𝑥 + 8 𝑦
  • C 4 𝑥 + 3 𝑦 3 7
  • D 𝑝 = 3 7 𝑥 + 2 2 𝑦
  • E 𝑝 = 6 𝑥 + 4 𝑦

Q20:

Um fazendeiro pode melhorar a qualidade de seus produtos se ele utilizar pelo menos 18 unidades de compostos à base de nitrogênio e pelo menos 6 unidades de compostos de fosfato. Ele pode usar dois tipos de fertilizantes: A e B. O custo e o conteúdo de cada fertilizante são mostrados na tabela.

O Fertilizante Número de Unidades de Compostos Baseados em Nitrogênio por Quilograma Número de Unidades de Compostos Fosfatados por Quilograma Custo para cada Quilograma (LE)
A 3 2 170
B 6 1 120

Dado que o gráfico representa os constrangimentos nesta situação, encontre o menor custo que o agricultor pode pagar pelo fertilizante enquanto fornece quantidades suficientes de ambos os compostos.

Q21:

Uma fábrica produz cadeiras e mesas e está tentando decidir quantas de cada uma delas precisa produzir para maximizar seu lucro.

Eles determinaram as restrições e desenharam a região viável como mostrado, onde 𝑥 representa o número de cadeiras e 𝑦 representa o número de mesas.

Se eles encontrarem um comprador que concorda em pagar uma taxa de tal forma que eles recebam 150 de lucro para cada cadeira e 200 de lucro para cada mesa, o que eles podem esperar que seu lucro máximo seja?

Se eles só podem garantir um lucro de 50 por cadeira e 180 por mesa, quantas de cada uma devem produzir para maximizar seu lucro?

  • A38 cadeiras, 18 mesas
  • B18 cadeiras, 38 mesas
  • C45 cadeiras, 0 mesas
  • D32 cadeiras, 0 mesas
  • E0 cadeiras, 32 mesas

Q22:

Uma pequena empresa tinge camisas para ser de cor sólida ou tie-dye, e eles querem decidir quantas camisas de cada cor devem ser preparadas para uma próxima venda. Eles têm um orçamento de $ 240. Comprar cada camisa custa $ 2. Custa $ 0,50 para tingir uma camisa com uma cor sólida e $ 1,50 para produzir uma camiseta tie-dye. Eles só têm 8 horas para preparar todas as camisas, e é preciso 2 minutos para tingir uma camisa de cor sólida e 10 minutos para tingir uma camiseta tie-dye.

Eles querem maximizar seu lucro, sabendo que podem vender camisas de cor sólida por $ 8 cada uma e camisas tie-dye por $ 10 cada.

Seja que 𝑥 representa o número de camisas de cor sólida e 𝑦 representa o número de camisas tie-dye. Qual das seguintes opções mostra a região viável?

  • A
  • B
  • C
  • D

Indique a função objetivo.

  • A 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 2 𝑥 + 1 , 5 𝑦 + 2 4 0
  • B 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 2 𝑥 + 1 , 5 𝑦
  • C 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 2 𝑥 + 1 0 𝑦 4 8 0
  • D 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 8 𝑥 + 1 0 𝑦
  • E 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) = 2 , 5 𝑥 + 3 , 5 𝑦 2 4 0

Quantas de cada tipo de camisa a empresa deve produzir para maximizar o lucro?

  • A48 camisas de cor sólida e 0 camisas tie-dye
  • B40 camisas de cor sólida e 40 camisas tie-dye
  • C0 camisas de cor sólida e 48 camisas tie-dye
  • D89 camisas de cor sólida e 69 camisas tie-dye
  • E69 camisas de cor sólida e 40 camisas tie-dye

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