Atividade: Séries de Maclaurin

Nesta atividade, nós vamos praticar a representação de funções exponenciais e trigonométricas como séries de potências, a determinação da expansão em torno de zero e a determinação do intervalo de convergência da série.

Q1:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=𝑒.

Encontre 𝑓(π‘₯).

  • A 𝑒 π‘₯    l n
  • B 𝑒   
  • C 𝑒 π‘₯  l n
  • D 𝑒 
  • E l n π‘₯

Encontre 𝑓(π‘₯)(), onde 𝑓() representa a 𝑛 (enΓ©sima) derivada de 𝑓 em relação a π‘₯.

  • A 𝑒   
  • B 𝑒 π‘₯ + 𝑒 ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯        (    ) l n para 𝑛>1
  • C 𝑒 
  • D 𝑒 π‘₯ + 𝑒 ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯    (    ) l n para 𝑛>1
  • E ( βˆ’ 1 ) ( 𝑛 βˆ’ 2 ) ! π‘₯  (    ) para 𝑛>1

E entΓ£o, derive a sΓ©rie Maclaurin para 𝑒.

  • A 𝑒 = ο„š π‘₯ 𝑛 !  ∞    
  • B 𝑒 = ο„š π‘₯ 𝑛 !  ∞    
  • C 𝑒 = ο„š 𝑓 ( π‘Ž ) ( π‘₯ βˆ’ π‘Ž ) 𝑛 !  ∞    (  ) 
  • D 𝑒 = ο„š 𝑓 ( π‘Ž ) ( π‘₯ βˆ’ π‘Ž ) 𝑛 !  ∞    (  ) 
  • E 𝑒 = ο„š 𝑒 𝑛 !  ∞    

Qual Γ© o raio de convergΓͺncia 𝑅 da sΓ©rie Maclaurin para 𝑒?

  • A 𝑅 = 1
  • B 𝑅 = 1 0 0
  • C 𝑅 = 𝑒
  • DNΓ£o converge.
  • E 𝑅 = + ∞

Q2:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=π‘₯sen.

Quais sΓ£o as quatro primeiras derivadas de 𝑓 em relação a π‘₯?

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , e 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯(οŠͺ)sen
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen

Escreva a fΓ³rmula geral para a 𝑛 (enΓ©sima) derivada de 𝑓 em relação a π‘₯.

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 𝑛 πœ‹ ) (  ) s e n
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s

E entΓ£o, derive a sΓ©rie Maclaurin para senπ‘₯.

  • A ∞       ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 ) !
  • B ∞            ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • C ∞         ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • D ∞       ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • E ∞      ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !

Qual Γ© o raio 𝑅 de convergΓͺncia da sΓ©rie Maclaurin para senπ‘₯?

  • A 𝑅 = πœ‹ 2
  • B 𝑅 = πœ‹
  • C 𝑅 = + ∞
  • D 𝑅 = 2 πœ‹
  • E 𝑅 = 1

Q3:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=π‘₯cos.

Quais sΓ£o as primeiras quatro derivadas de 𝑓 em ordem a π‘₯?

  • A 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos
  • B 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos
  • C 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ c o s e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)sen
  • D 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = βˆ’ π‘₯ s e n e 𝑓(π‘₯)=βˆ’π‘₯(οŠͺ)cos
  • E 𝑓 β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n , 𝑓 β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ c o s , 𝑓 β€² β€² β€² ( π‘₯ ) = π‘₯ s e n e 𝑓(π‘₯)=π‘₯(οŠͺ)cos

Escreva a forma geral da 𝑛-Γ©sima derivada de 𝑓 em ordem a π‘₯.

  • A 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n
  • B 𝑓 ( π‘₯ ) = ( π‘₯ + 𝑛 πœ‹ ) (  ) c o s
  • C 𝑓 ( π‘₯ ) = βˆ’ ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s
  • D 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) c o s
  • E 𝑓 ( π‘₯ ) = ο€» π‘₯ + 𝑛 πœ‹ 2  (  ) s e n

Por fim, derive a sΓ©rie de Maclaurin de cosπ‘₯.

  • A ∞        ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 ) !
  • B ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 ) !
  • C ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • D ∞      ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • E ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ ( 2 𝑛 + 1 ) !

Qual Γ© o raio 𝑅 de convergΓͺncia da sΓ©rie de Maclaurin de cosπ‘₯?

  • A 𝑅 = πœ‹ 2
  • B 𝑅 = 2 πœ‹
  • C 𝑅 = 1
  • D 𝑅 = πœ‹
  • E 𝑅 = + ∞

Q4:

Encontre a sΓ©rie Maclaurin de cosh2π‘₯=𝑒+𝑒2οŠ¨ο—οŠ±οŠ¨ο—.

  • A ∞      ο„š ( 2 π‘₯ ) ( 2 𝑛 ) !
  • B ∞        ο„š ( 2 π‘₯ ) ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • C ∞      ο„š ( 2 π‘₯ ) ( 2 𝑛 )
  • D ∞     ο„š ( 2 π‘₯ ) 𝑛 !
  • E ∞        ο„š ( 2 π‘₯ ) ( 2 𝑛 + 1 )

Q5:

Considere a função 𝑓(π‘₯)=ο€Ή1+π‘₯ln.

Derive a sΓ©rie Maclaurin para 𝑓.

  • A ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛
  • B ∞     ο„š π‘₯ 𝑛 !
  • C ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛 !
  • D ∞      ο„š π‘₯ 𝑛 !
  • E ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) π‘₯ 𝑛

Usando a sΓ©rie Maclaurin, encontre ln1,04 para 5 casas decimais.

Q6:

Encontre a sΓ©rie Maclaurin de 31+π‘₯. Escreva sua resposta em notação sigma.

  • A 3 ο„š ( βˆ’ 1 ) ( π‘₯ ) ∞     
  • B ∞      ο„š ( π‘₯ )
  • C ∞      ο„š ( βˆ’ 1 ) ( 3 π‘₯ )
  • D ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) ( π‘₯ )
  • E 3 ο„š ( π‘₯ ) ∞    

Q7:

Encontre a sΓ©rie de Maclaurin de arctan5π‘₯.

  • A ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) ( 5 π‘₯ ) ( 2 𝑛 + 1 )
  • B ∞      ο„š ( 5 π‘₯ ) ( 2 𝑛 ) !
  • C ∞       ο„š ( βˆ’ 1 ) ( 5 π‘₯ ) ( 2 𝑛 )
  • D ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) ( 5 π‘₯ ) ( 2 𝑛 + 1 ) !
  • E ∞        ο„š ( 5 π‘₯ ) ( 2 𝑛 + 1 )

Q8:

Encontre a sΓ©rie de Maclaurin de π‘₯π‘’οŠ©οŠ¨ο—.

  • A ∞        ο„š 2 𝑛 π‘₯
  • B ∞      ο„š ( βˆ’ 1 ) 1 𝑛 ! π‘₯
  • C ∞         ο„š ( βˆ’ 1 ) 2 𝑛 ! π‘₯
  • D ∞      ο„š 2 𝑛 ! π‘₯
  • E ∞        ο„š 2 𝑛 ! π‘₯

Q9:

Se a sΓ©rie Maclaurin da função 𝑓 Γ© 𝑓(π‘₯)=3βˆ’12π‘₯+56π‘₯βˆ’1126π‘₯+2180π‘₯+β‹―οŠ¨οŠ©οŠͺ, encontre 𝑓(0).

  • A 5
  • B βˆ’ 1 1 2 6
  • C 6 3 4 0
  • D 5 6
  • E βˆ’ 3 3 1 3

Q10:

Se a sΓ©rie Maclaurin da função 𝑓 Γ© 𝑓(π‘₯)=2βˆ’16π‘₯+524π‘₯βˆ’760π‘₯+380π‘₯+β‹―οŠ¨οŠ©οŠͺ, encontre a equação da tangente Γ  curva de 𝑓 em π‘₯=0.

  • A 𝑦 = βˆ’ 1 6 π‘₯ + 2
  • B 𝑦 = 1 6 π‘₯ + 2
  • C 𝑦 = 2 π‘₯ βˆ’ 1 6
  • D 𝑦 = 2 π‘₯ + 5 2 4
  • E 𝑦 = βˆ’ 1 6 π‘₯ + 5 2 4

Q11:

Encontre o raio de convergΓͺncia para a sΓ©rie de Maclaurin para 𝑓(π‘₯)=2π‘₯cos.

  • A 1 2
  • B 2 πœ‹
  • C ∞
  • D1
  • E πœ‹

Q12:

Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero da expansΓ£o Maclaurin para 𝑓(π‘₯)=11π‘₯π‘’οŠ¨ο— em potΓͺncias ascendentes de π‘₯.

  • A 2 2 π‘₯ + 4 4 π‘₯ + 4 4 π‘₯ + 8 8 π‘₯ 3   οŠͺ
  • B 1 1 π‘₯ + 2 2 π‘₯ + 2 2 π‘₯ + 4 4 π‘₯ 3   οŠͺ 
  • C βˆ’ 2 2 π‘₯ βˆ’ 4 4 π‘₯ βˆ’ 4 4 π‘₯ βˆ’ 8 8 π‘₯ 3   οŠͺ
  • D 1 1 π‘₯ + 2 2 π‘₯ + 2 2 π‘₯ + 4 4 π‘₯ 3   οŠͺ
  • E βˆ’ 1 1 π‘₯ βˆ’ 2 2 π‘₯ βˆ’ 2 2 π‘₯ βˆ’ 4 4 π‘₯ 3   οŠͺ

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