Lição de casa da aula: Séries de Maclaurin Matemática • Ensino Superior

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar a série de Maclaurin de uma função e encontrar o raio de convergência da série.

Questão 1

Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑒.

Encontre 𝑓(𝑥).

  • A𝑒𝑥ln
  • B𝑒
  • C𝑒
  • Dln𝑥
  • E𝑒𝑥ln

Encontre 𝑓(𝑥)(), onde 𝑓() representa a 𝑛-enésima derivada de 𝑓 em relação a 𝑥.

  • A𝑒
  • B𝑒
  • C𝑒𝑥+𝑒(1)(𝑛2)!𝑥()ln para 𝑛>1
  • D𝑒𝑥+𝑒(1)(𝑛2)!𝑥()ln para 𝑛>1
  • E(1)(𝑛2)!𝑥() para 𝑛>1

E então, derive a série de Maclaurin para 𝑒.

  • A𝑒=𝑥𝑛!
  • B𝑒=𝑥𝑛!
  • C𝑒=𝑒𝑛!
  • D𝑒=𝑓(𝑎)(𝑥𝑎)𝑛!()
  • E𝑒=𝑓(𝑎)(𝑥𝑎)𝑛!()

Qual é o raio de convergência 𝑅 da série de Maclaurin para 𝑒?

  • ANão converge.
  • B𝑅=𝑒
  • C𝑅=1
  • D𝑅=+
  • E𝑅=100

Questão 2

Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑥sen.

Quais são as quatro primeiras derivadas de 𝑓 em relação a 𝑥?

  • A𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, e 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • B𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, e 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • C𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, e 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • D𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, e 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • E𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, e 𝑓(𝑥)=𝑥()sen

Escreva a fórmula geral para a 𝑛 (enésima) derivada de 𝑓 em relação a 𝑥.

  • A𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos
  • B𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen
  • C𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen
  • D𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑛𝜋)()sen
  • E𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos

E então, derive a série Maclaurin para sen𝑥.

  • A(1)𝑥(2𝑛+1)!
  • B(1)𝑥(2𝑛)!
  • C(1)𝑥𝑛!
  • D(1)𝑥(2𝑛+1)!
  • E(1)𝑥𝑛!

Qual é o raio 𝑅 de convergência da série Maclaurin para sen𝑥?

  • A𝑅=+
  • B𝑅=𝜋2
  • C𝑅=2𝜋
  • D𝑅=1
  • E𝑅=𝜋

Questão 3

Considere a função 𝑓(𝑥)=𝑥cos.

Quais são as primeiras quatro derivadas de 𝑓 em ordem a 𝑥?

  • A𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen e 𝑓(𝑥)=𝑥()cos
  • B𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos e 𝑓(𝑥)=𝑥()sen
  • C𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen e 𝑓(𝑥)=𝑥()cos
  • D𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen e 𝑓(𝑥)=𝑥()cos
  • E𝑓(𝑥)=𝑥sen, 𝑓(𝑥)=𝑥cos, 𝑓(𝑥)=𝑥sen e 𝑓(𝑥)=𝑥()cos

Escreva a forma geral da 𝑛-ésima derivada de 𝑓 em ordem a 𝑥.

  • A𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen
  • B𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos
  • C𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()cos
  • D𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑛𝜋)()cos
  • E𝑓(𝑥)=𝑥+𝑛𝜋2()sen

Por fim, derive a série de Maclaurin de cos𝑥.

  • A(1)𝑥(2𝑛)!
  • B(1)𝑥𝑛!
  • C(1)𝑥(2𝑛+1)!
  • D(1)𝑥𝑛!
  • E(1)𝑥(2𝑛)!

Qual é o raio 𝑅 de convergência da série de Maclaurin de cos𝑥?

  • A𝑅=+
  • B𝑅=𝜋2
  • C𝑅=2𝜋
  • D𝑅=1
  • E𝑅=𝜋

Questão 4

Se a série Maclaurin da função 𝑓 é 𝑓(𝑥)=312𝑥+56𝑥1126𝑥+2180𝑥+, encontre 𝑓(0).

  • A56
  • B3313
  • C1126
  • D6340
  • E5

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