Atividade: Comprimento de uma Curva Polar

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a fórmula do comprimento de um arco polar numa curva paramétrica para determinar o seu comprimento.

Q1:

Escreva a integral para o comprimento do arco da espiral π‘Ÿ=πœƒ entre πœƒ=0 e πœƒ=πœ‹. NΓ£o calcule a integral.

  • Aο„Έβˆš1+π‘’π‘‘πœƒοŽ„οŠ¦οΌοŽ‘
  • Bο„Έβˆš1βˆ’πœƒπ‘‘πœƒοŽ„οŠ¦οŠ¨
  • Cο„Έβˆš1βˆ’π‘’π‘‘πœƒοŽ„οŠ¦οΌοŽ‘
  • Dο„Έβˆš1+πœƒπ‘‘πœƒοŽ„οŠ¦οŠ¨

Q2:

O objetivo desta questΓ£o Γ© obter estimativas aprimoradas sobre o comprimento de uma curva em espiral.

Utilize o fato de que π‘₯<1+π‘₯<(1+π‘₯) quando π‘₯>0 para encontrar limites inferiores e superiores para o comprimento 𝐿 da espiral π‘Ÿ=πœƒ entre πœƒ=0 e πœƒ=πœ‹. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A4,9348<𝐿<6,5056
  • B4,9348<𝐿<10,8696
  • C9,8696<𝐿<17,1527
  • D8,0764<𝐿<10,8696
  • E4,9348<𝐿<8,0764

Comparando √1+π‘₯ para a mΓ©dia de π‘₯ e 1+π‘₯ quando π‘₯>0, encontre os melhores limites para estimar 𝐿. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A4,9348<𝐿<10,8696
  • B4,9348<𝐿<8,0764
  • C4,9348<𝐿<6,5056
  • D6,5056<𝐿<8,0764
  • E6,5056<𝐿<10,8696

Q3:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ=πœƒ+πœƒsencos, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,πœ‹].

  • A2√2πœ‹
  • B2πœ‹
  • C2√2
  • D4πœ‹
  • E√2πœ‹

Q4:

Considere a curva polar π‘Ÿ=1πœƒ, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹]. Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco dessa curva.

  • Aο„Έβˆšπœƒβˆ’1πœƒπœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦d
  • B0
  • Cο„Έβˆšπœƒ+1πœƒπœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦οŠ¨οŠ¨d
  • Dο„Έβˆšπœƒβˆ’1πœƒπœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦οŠ¨οŠ¨d
  • Eο„Έπœƒ+1πœƒπœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦οŠ¨οŠ¨d

Q5:

Considere a curva polar π‘Ÿ=1+πœƒsen, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹]. Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco dessa curva.

  • Aο„Έβˆš1+πœƒ+πœƒπœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦sencosd
  • Bο„Έβˆš1+πœƒβˆ’πœƒπœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦sencosd
  • Cο„Έ(1+πœƒ+πœƒ)πœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦sencosd
  • Dο„Έ(2+2πœƒ)πœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦send
  • Eο„Έβˆš2+2πœƒπœƒοŠ¨οŽ„οŠ¦send

Q6:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ=5, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹].

  • A25√1+(5)5οŽ„οŠ¨lnln
  • B√1+(5)5(25βˆ’1)lnlnοŠ¨οŽ„
  • C√2(25βˆ’1)οŽ„
  • D2√1+(5)5(25βˆ’1)lnlnοŠ¨οŽ„
  • E√1+(5)(25βˆ’1)lnοŠ¨οŽ„

Q7:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=6 tal que πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹2.

  • A3πœ‹2
  • B6πœ‹
  • C3πœ‹
  • D18πœ‹
  • E√6πœ‹2

Q8:

Considere a curva polar π‘Ÿ=4πœƒcos, em que πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹2. Determine o integral definido que representa o comprimento de arco desta curva.

  • Aο„Έ2βˆšπœƒβˆ’πœƒπœƒο‘½οŽ‘οŠ¦cossend
  • Bο„Έ2βˆšπœƒ+πœƒπœƒο‘½οŽ‘οŠ¦cossend
  • Cο„Έ16πœƒο‘½οŽ‘οŠ¦d
  • Dο„Έ4πœƒο‘½οŽ‘οŠ¦d
  • Eο„Έ(4πœƒβˆ’4πœƒ)πœƒο‘½οŽ‘οŠ¦cossend

Q9:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=6πœƒcos, em que πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹2.

  • A6πœ‹
  • B3πœ‹
  • C18πœ‹
  • D32πœ‹
  • E6

Q10:

Considere a curva polar π‘Ÿ=2πœƒsec para a qual πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹3. Determine o integral definido que representa o comprimento de arco desta curva.

  • Aο„Έ2πœƒπœƒο‘½οŽ’οŠ¦οŠ¨secd
  • B4πœƒ+2πœƒπœƒπœƒο‘½οŽ’οŠ¦οŠ¨secsectgd
  • Cο„Έ4πœƒπœƒο‘½οŽ’οŠ¦οŠͺsecd
  • D2πœƒβˆ’2πœƒπœƒπœƒο‘½οŽ’οŠ¦secsectgd
  • E2πœƒ+2πœƒπœƒπœƒο‘½οŽ’οŠ¦secsectgd

Q11:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=6πœƒ+8πœƒsencos, em que πœƒ pertence ao intervalo [0,πœ‹].

  • A200πœ‹
  • B5πœ‹
  • C10πœ‹
  • D20πœ‹
  • E100πœ‹

Q12:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ=πœƒοŠ¨, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹].

  • A43ο•ο€Ήπœ‹+1ο…βˆ’1
  • B83ο•ο€Ήπœ‹+1ο…βˆ’1
  • C96πœ‹+160πœ‹15
  • D134πœ‹+1ο…βˆ’1
  • E163ο•ο€Ήπœ‹+1ο…βˆ’1

Q13:

Considere a curva polar π‘Ÿ=πœƒ, em que πœƒ pertence ao intervalo [0,2πœ‹]. Determine o integral definido que representa o comprimento de arco desta curva.

  • AοŠ¨οŽ„οŠ¦οŠ¨βˆšπœƒ+1πœƒ
  • BοŠ¨οŽ„οŠ¦οŠ¨βˆšπœƒβˆ’1πœƒ
  • CοŠ¨οŽ„οŠ¦οŠ¨ο€Ήπœƒ+1ο…πœƒ
  • DοŠ¨οŽ„οŠ¦(πœƒ+1)πœƒ
  • EοŠ¨οŽ„οŠ¦βˆšπœƒ+1πœƒ

Q14:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ=π‘’οŠ©οΌ, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2].

  • A√23ο€Ήπ‘’βˆ’1ο…οŠ¬
  • B√103ο€Ήπ‘’βˆ’1ο…οŠ¬
  • C23ο€Ήπ‘’βˆ’1ο…οŠ¬
  • D√10𝑒3
  • E√10ο€Ήπ‘’βˆ’1ο…οŠ¬

Q15:

Considere a curva polar π‘Ÿ=𝑒 para a qual πœƒ pertence ao intervalo [0,1]. Determine o integral definido que representa o comprimento de arco desta curva.

  • Aο„Έ2π‘’πœƒοŠ§οŠ¦οΌd
  • Bο„Έβˆš2π‘’πœƒοŠ§οŠ¦οΌd
  • Cο„Έβˆš2π‘’πœƒοŠ§οŠ¦οΌd
  • Dο„Έ2π‘’πœƒοŠ§οŠ¦οŠ¨οΌd
  • Eο„Έβˆš2π‘’πœƒοŠ§οŠ¦οΌοŽ‘d

Q16:

Encontre o comprimento do arco do cardioide com equação polar π‘Ÿ=2+2πœƒcos.

Q17:

Encontre o comprimento do arco do cardioide com equação polar π‘Ÿ=1+πœƒsen.

A Nagwa usa cookies para garantir que vocΓͺ tenha a melhor experiΓͺncia em nosso site. Saiba mais sobre nossa PolΓ­tica de privacidade.