Atividade: Comprimento de uma Curva Polar

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a fórmula do comprimento de um arco polar numa curva paramétrica para determinar o seu comprimento.

Q1:

Escreva a integral para o comprimento do arco da espiral π‘Ÿ = πœƒ entre πœƒ = 0 e πœƒ = πœ‹ . NΓ£o calcule a integral.

  • A ο„Έ √ 1 βˆ’ πœƒ 𝑑 πœƒ πœ‹ 0 2
  • B ο„Έ √ 1 + 𝑒 𝑑 πœƒ πœ‹ 0 πœƒ 2
  • C ο„Έ √ 1 βˆ’ 𝑒 𝑑 πœƒ πœ‹ 0 πœƒ 2
  • D ο„Έ √ 1 + πœƒ 𝑑 πœƒ πœ‹ 0 2

Q2:

O objetivo desta questΓ£o Γ© obter estimativas aprimoradas sobre o comprimento de uma curva em espiral.

Utilize o fato de que π‘₯ < 1 + π‘₯ < ( 1 + π‘₯ ) 2 2 2 quando π‘₯ > 0 para encontrar limites inferiores e superiores para o comprimento 𝐿 da espiral π‘Ÿ = πœƒ entre πœƒ = 0 e πœƒ = πœ‹ . DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6
  • B 9 , 8 6 9 6 < 𝐿 < 1 7 , 1 5 2 7
  • C 8 , 0 7 6 4 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6
  • D 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 8 , 0 7 6 4
  • E 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 6 , 5 0 5 6

Comparando √ 1 + π‘₯ 2 para a mΓ©dia de π‘₯ e 1 + π‘₯ quando π‘₯ > 0 , encontre os melhores limites para estimar 𝐿 . DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 6 , 5 0 5 6
  • B 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6
  • C 6 , 5 0 5 6 < 𝐿 < 8 , 0 7 6 4
  • D 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 8 , 0 7 6 4
  • E 6 , 5 0 5 6 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6

Q3:

Encontre o comprimento total do arco de π‘Ÿ = 3 πœƒ s e n .

  • A 9 πœ‹
  • B 6 πœ‹
  • C6
  • D 3 πœ‹
  • E3

Q4:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ = πœƒ + πœƒ s e n c o s , onde πœƒ encontra-se no intervalo [ 0 , πœ‹ ] .

  • A 2 √ 2 πœ‹
  • B 2 √ 2
  • C 2 πœ‹
  • D √ 2 πœ‹
  • E 4 πœ‹

Q5:

Considere a curva polar π‘Ÿ = 1 πœƒ , onde πœƒ encontra-se no intervalo [ 0 , 2 πœ‹ ] . Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco dessa curva.

  • A ο„Έ √ πœƒ βˆ’ 1 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 d
  • B ο„Έ πœƒ + 1 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 2 2 d
  • C0
  • D ο„Έ √ πœƒ + 1 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 2 2 d
  • E ο„Έ √ πœƒ βˆ’ 1 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 2 2 d

Q6:

Considere a curva polar π‘Ÿ = 1 + πœƒ s e n , onde πœƒ encontra-se no intervalo [ 0 , 2 πœ‹ ] . Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco dessa curva.

  • A ο„Έ √ 1 + πœƒ + πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 s e n c o s d
  • B ο„Έ ( 2 + 2 πœƒ ) πœƒ 2 πœ‹ 0 s e n d
  • C ο„Έ ( 1 + πœƒ + πœƒ ) πœƒ 2 πœ‹ 0 s e n c o s d
  • D ο„Έ √ 2 + 2 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 s e n d
  • E ο„Έ √ 1 + πœƒ βˆ’ πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 s e n c o s d

Q7:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ = 5 πœƒ , onde πœƒ encontra-se no intervalo [ 0 , 2 πœ‹ ] .

  • A √ 1 + ( 5 ) ( 2 5 βˆ’ 1 ) l n 2 πœ‹
  • B √ 2 ( 2 5 βˆ’ 1 ) πœ‹
  • C 2 5 √ 1 + ( 5 ) 5 πœ‹ 2 l n l n
  • D √ 1 + ( 5 ) 5 ( 2 5 βˆ’ 1 ) l n l n 2 πœ‹
  • E 2 √ 1 + ( 5 ) 5 ( 2 5 βˆ’ 1 ) l n l n 2 πœ‹

Q8:

Determine um integral definido que represente o comprimento de arco de π‘Ÿ = 1 + πœƒ s e n no intervalo 0 ≀ πœƒ ≀ 2 πœ‹ .

  • A ο„Έ √ 1 + πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 2 c o s d
  • B ο„Έ √ 2 + 2 πœƒ πœƒ πœ‹ 0 s e n d
  • C ο„Έ 2 + 2 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 s e n d
  • D ο„Έ √ 2 + 2 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 s e n d
  • E ο„Έ √ 2 πœƒ + 2 πœƒ πœƒ 2 πœ‹ 0 2 s e n s e n d

Q9:

Encontre o comprimento do arco da curva polar dada por π‘Ÿ = 𝑒 3 πœƒ no intervalo 0 ≀ πœƒ ≀ 2 .

  • A √ 1 0 3 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  6 πœ‹
  • B 4 3 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  3
  • C 1 0 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  1 2
  • D √ 1 0 3 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  6
  • E √ 1 0 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  6

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