Atividade: Comprimento de uma Curva Polar

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar a fórmula do comprimento de um arco polar numa curva paramétrica para determinar o seu comprimento.

Q1:

Escreva a integral para o comprimento do arco da espiral π‘Ÿ=πœƒ entre πœƒ=0 e πœƒ=πœ‹. NΓ£o calcule a integral.

  • A ο„Έ √ 1 + 𝑒 𝑑 πœƒ οŽ„   
  • B ο„Έ √ 1 βˆ’ πœƒ 𝑑 πœƒ οŽ„  
  • C ο„Έ √ 1 βˆ’ 𝑒 𝑑 πœƒ οŽ„   
  • D ο„Έ √ 1 + πœƒ 𝑑 πœƒ οŽ„  

Q2:

O objetivo desta questΓ£o Γ© obter estimativas aprimoradas sobre o comprimento de uma curva em espiral.

Utilize o fato de que π‘₯<1+π‘₯<(1+π‘₯) quando π‘₯>0 para encontrar limites inferiores e superiores para o comprimento 𝐿 da espiral π‘Ÿ=πœƒ entre πœƒ=0 e πœƒ=πœ‹. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 6 , 5 0 5 6
  • B 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6
  • C 9 , 8 6 9 6 < 𝐿 < 1 7 , 1 5 2 7
  • D 8 , 0 7 6 4 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6
  • E 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 8 , 0 7 6 4

Comparando √1+π‘₯ para a mΓ©dia de π‘₯ e 1+π‘₯ quando π‘₯>0, encontre os melhores limites para estimar 𝐿. DΓͺ sua resposta para 4 casas decimais.

  • A 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6
  • B 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 8 , 0 7 6 4
  • C 4 , 9 3 4 8 < 𝐿 < 6 , 5 0 5 6
  • D 6 , 5 0 5 6 < 𝐿 < 8 , 0 7 6 4
  • E 6 , 5 0 5 6 < 𝐿 < 1 0 , 8 6 9 6

Q3:

Encontre o comprimento total do arco de π‘Ÿ=3πœƒsen.

  • A6
  • B 9 πœ‹
  • C 6 πœ‹
  • D 3 πœ‹
  • E3

Q4:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ=πœƒ+πœƒsencos, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,πœ‹].

  • A 2 πœ‹
  • B 2 √ 2
  • C √ 2 πœ‹
  • D 4 πœ‹
  • E 2 √ 2 πœ‹

Q5:

Considere a curva polar π‘Ÿ=1πœƒ, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹]. Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco dessa curva.

  • A ο„Έ √ πœƒ βˆ’ 1 πœƒ πœƒ  οŽ„  d
  • B ο„Έ √ πœƒ + 1 πœƒ πœƒ  οŽ„    d
  • C ο„Έ πœƒ + 1 πœƒ πœƒ  οŽ„    d
  • D0
  • E ο„Έ √ πœƒ βˆ’ 1 πœƒ πœƒ  οŽ„    d

Q6:

Considere a curva polar π‘Ÿ=1+πœƒsen, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹]. Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco dessa curva.

  • A ο„Έ √ 2 + 2 πœƒ πœƒ  οŽ„  s e n d
  • B ο„Έ ( 1 + πœƒ + πœƒ ) πœƒ  οŽ„  s e n c o s d
  • C ο„Έ ( 2 + 2 πœƒ ) πœƒ  οŽ„  s e n d
  • D ο„Έ √ 1 + πœƒ βˆ’ πœƒ πœƒ  οŽ„  s e n c o s d
  • E ο„Έ √ 1 + πœƒ + πœƒ πœƒ  οŽ„  s e n c o s d

Q7:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ=5, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹].

  • A √ 2 ( 2 5 βˆ’ 1 ) οŽ„
  • B √ 1 + ( 5 ) 5 ( 2 5 βˆ’ 1 ) l n l n  οŽ„
  • C 2 √ 1 + ( 5 ) 5 ( 2 5 βˆ’ 1 ) l n l n  οŽ„
  • D 2 5 √ 1 + ( 5 ) 5 οŽ„  l n l n
  • E √ 1 + ( 5 ) ( 2 5 βˆ’ 1 ) l n  οŽ„

Q8:

Determine um integral definido que represente o comprimento de arco de π‘Ÿ=1+πœƒsen no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€2πœ‹.

  • A ο„Έ 2 + 2 πœƒ πœƒ  οŽ„  s e n d
  • B ο„Έ √ 2 + 2 πœƒ πœƒ οŽ„  s e n d
  • C ο„Έ √ 2 πœƒ + 2 πœƒ πœƒ  οŽ„   s e n s e n d
  • D ο„Έ √ 2 + 2 πœƒ πœƒ  οŽ„  s e n d
  • E ο„Έ √ 1 + πœƒ πœƒ  οŽ„   c o s d

Q9:

Encontre o comprimento do arco da curva polar dada por π‘Ÿ=π‘’οŠ©οΌ no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€2.

  • A √ 1 0 3 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  
  • B 4 3 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  
  • C √ 1 0 3 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1   οŽ„
  • D √ 1 0 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1  
  • E 1 0 ο€Ή 𝑒 βˆ’ 1   

Q10:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=1βˆ’πœƒsen no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€2πœ‹.

Q11:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=6 tal que πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹2.

  • A 3 πœ‹ 2
  • B 6 πœ‹
  • C 3 πœ‹
  • D 1 8 πœ‹
  • E √ 6 πœ‹ 2

Q12:

Considere a curva polar π‘Ÿ=4πœƒcos, em que πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹2. Determine o integral definido que representa o comprimento de arco desta curva.

  • A ο„Έ 2 √ πœƒ βˆ’ πœƒ πœƒ ο‘½   c o s s e n d
  • B ο„Έ 2 √ πœƒ + πœƒ πœƒ ο‘½   c o s s e n d
  • C ο„Έ 1 6 πœƒ ο‘½   d
  • D ο„Έ 4 πœƒ ο‘½   d
  • E ο„Έ ( 4 πœƒ βˆ’ 4 πœƒ ) πœƒ ο‘½   c o s s e n d

Q13:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=6πœƒcos, em que πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹2.

  • A 6 πœ‹
  • B 3 πœ‹
  • C 1 8 πœ‹
  • D 3 2 πœ‹
  • E6

Q14:

Encontre o comprimento do arco do cardioide π‘Ÿ=2+2πœƒcos.

Q15:

Considere a curva polar π‘Ÿ=2πœƒsec para a qual πœƒ pertence ao intervalo 0,πœ‹3. Determine o integral definido que representa o comprimento de arco desta curva.

  • A ο„Έ 2 πœƒ πœƒ ο‘½    s e c d
  • B ο„Έ  4 πœƒ + 2 πœƒ πœƒ πœƒ ο‘½    s e c s e c t g d
  • C ο„Έ 4 πœƒ πœƒ ο‘½   οŠͺ s e c d
  • D ο„Έ  2 πœƒ βˆ’ 2 πœƒ πœƒ πœƒ ο‘½   s e c s e c t g d
  • E ο„Έ  2 πœƒ + 2 πœƒ πœƒ πœƒ ο‘½   s e c s e c t g d

Q16:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=8+8πœƒcos no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€πœ‹.

Q17:

Seja 𝑠 o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=2πœƒοŠ¨ no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€πœ‹. Escreva 𝑠 a forma de integral definido.

  • A 𝑠 = ο„Έ √ 2 πœƒ + 4 πœƒ πœƒ οŽ„   d
  • B 𝑠 = ο„Έ √ 1 + 4 πœƒ πœƒ οŽ„  d
  • C 𝑠 = ο„Έ √ 1 + 1 6 πœƒ πœƒ οŽ„   d
  • D 𝑠 = ο„Έ √ 2 πœƒ + 4 πœƒ πœƒ οŽ„  οŠͺ  d
  • E 𝑠 = ο„Έ 2 √ πœƒ + 4 πœƒ πœƒ οŽ„  οŠͺ  d

Utilizando uma calculadora, ou outra ferramenta, determine o valor de 𝑠, apresentando a resposta com 3 casas decimais.

Q18:

Seja 𝑠 o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=ο€½πœƒ2sen no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€πœ‹. Escreva 𝑠 na forma de integral definido.

  • A 𝑠 = ο„Έ ο€½ πœƒ 2  ο„Ÿ 1 + 3 ο€½ πœƒ 2  πœƒ οŽ„   s e n c o s d
  • B 𝑠 = ο„Έ ο€½ πœƒ 2  πœƒ οŽ„  s e n d
  • C 𝑠 = ο„Έ ο„Ÿ ο€½ πœƒ 2  + ο€½ πœƒ 2  ο€½ πœƒ 2  πœƒ οŽ„  s e n s e n c o s d
  • D 𝑠 = ο„Έ ο„Ÿ 1 + ο€½ πœƒ 2  ο€½ πœƒ 2  πœƒ οŽ„    s e n c o s d
  • E 𝑠 = ο„Έ ο„Ÿ 1 + ο€½ πœƒ 2  ο€½ πœƒ 2  πœƒ οŽ„  s e n c o s d

Utilizando uma calculadora, ou outra ferramenta, determine o valor de 𝑠, apresentando a resposta com 4 casas decimais.

Q19:

Seja 𝑠 o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=2πœƒ no intervalo πœ‹β‰€πœƒβ‰€2πœ‹. Escreva 𝑠 na forma de integral definido.

  • A 𝑠 = ο„Έ ο„ž 2 πœƒ + 2 πœƒ πœƒ  οŽ„ οŽ„  οŠͺ d
  • B 𝑠 = ο„Έ ο„ž 2 πœƒ + 2 πœƒ πœƒ  οŽ„ οŽ„  d
  • C 𝑠 = ο„Έ 2 ο„ž πœƒ + 1 πœƒ πœƒ  οŽ„ οŽ„  οŠͺ d
  • D 𝑠 = ο„Έ ο„ž 1 + 4 πœƒ πœƒ  οŽ„ οŽ„ οŠͺ d
  • E 𝑠 = ο„Έ ο„ž 1 + 2 πœƒ πœƒ  οŽ„ οŽ„  d

Utilizando uma calculadora, ou outra ferramenta, determine o valor de 𝑠, apresentando a resposta com 4 casas decimais.

Q20:

Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco de π‘Ÿ=4πœƒcos no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€πœ‹2.

  • A ο„Έ 4 πœƒ  οŽ„  d
  • B ο„Έ √ 1 + 1 6 πœƒ πœƒ ο‘½    s e n d
  • C 2 ο„Έ √ πœƒ + πœƒ πœƒ ο‘½   c o s s e n d
  • D ο„Έ 4 πœƒ ο‘½   d
  • E ο„Έ 4 √ 2 πœƒ πœƒ ο‘½   c o s d

Q21:

Determine o comprimento de arco da curva polar π‘Ÿ=6πœƒ+8πœƒsencos, em que πœƒ pertence ao intervalo [0,πœ‹].

  • A 2 0 0 πœ‹
  • B 5 πœ‹
  • C 1 0 πœ‹
  • D 2 0 πœ‹
  • E 1 0 0 πœ‹

Q22:

Encontre o comprimento do arco da curva polar π‘Ÿ=πœƒοŠ¨, onde πœƒ encontra-se no intervalo [0,2πœ‹].

  • A 4 3  ο€Ή πœ‹ + 1  βˆ’ 1    
  • B 8 3  ο€Ή πœ‹ + 1  βˆ’ 1    
  • C 9 6 πœ‹ + 1 6 0 πœ‹ 1 5  
  • D 1 3  ο€Ή 4 πœ‹ + 1  βˆ’ 1    
  • E 1 6 3  ο€Ή πœ‹ + 1  βˆ’ 1    

Q23:

Encontre uma integral definida que represente o comprimento do arco de π‘Ÿ=𝑒 no intervalo 0β‰€πœƒβ‰€1.

  • A ο„Έ √ 2 𝑒 πœƒ    d
  • B ο„Έ √ 2 𝑒 πœƒ  οŽ„   d
  • C ο„Έ √ 1 + 𝑒 πœƒ     d
  • D ο„Έ √ 2 𝑒 πœƒ    d
  • E ο„Έ √ 1 βˆ’ 𝑒 πœƒ     d

Q24:

Considere a curva polar π‘Ÿ=πœƒ, em que πœƒ pertence ao intervalo [0,2πœ‹]. Determine o integral definido que representa o comprimento de arco desta curva.

  • A  οŽ„   √ πœƒ + 1 πœƒ
  • B  οŽ„   √ πœƒ βˆ’ 1 πœƒ
  • C  οŽ„   ο€Ή πœƒ + 1  πœƒ
  • D  οŽ„  ( πœƒ + 1 ) πœƒ
  • E  οŽ„  √ πœƒ + 1 πœƒ

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