Lição de casa da aula: Transformações de Möbius Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a interpretar a transformação de möbius no plano complexo.

Questão 1

Uma transformação que leva o plano 𝑧 ao plano 𝑤 é definida por 𝑇𝑧1𝑧, onde 𝑧0.

Encontre uma equação para a imagem de |𝑧|=2 sob a transformação.

  • A|𝑤|=1
  • B|𝑤|=12
  • C𝑤=2
  • D𝑤=12
  • E|𝑤|=2

Encontre uma equação para a imagem de arg(𝑧)=3𝜋4.

  • Aarg(𝑤)=𝜋4
  • Barg(𝑤)=3𝜋4
  • Carg(𝑤)=43𝜋
  • Darg(𝑤)=𝜋4
  • Earg(𝑤)=3𝜋4

Encontre uma equação cartesiana para a imagem de Im(𝑧)=2.

  • A𝑢+𝑣+14=116
  • B𝑢+𝑣+12=14
  • C2𝑢+2𝑣+14=116
  • D𝑣=0
  • E𝑣=12

Encontre uma equação cartesiana para a imagem de |𝑧𝑖|=12.

  • A𝑢+𝑣+43=49
  • B𝑢+𝑣+83=0
  • C𝑢+𝑣+43=0
  • D𝑢+𝑣=0
  • E𝑢+𝑣+43=49

Questão 2

Uma transformação, 𝑇, que leva o plano 𝑧 para o plano 𝑤 é dada por 𝑇(𝑧)=(2+𝑖)𝑧+4𝑧𝑖, onde 𝑧𝑖.

Encontre uma equação cartesiana para a imagem do eixo imaginário sob a transformação 𝑇.

  • A(𝑢1)+𝑣+52=134
  • B𝑣=432𝑢
  • C𝑣=32𝑢4
  • D𝑣=32𝑢+4
  • E(𝑢1)+𝑣+52=12

Agora encontre a imagem da região Im(𝑧)>0 sob a transformação 𝑇.

  • A𝑣>432𝑢
  • B(𝑢1)+𝑣+52>134
  • C𝑣<432𝑢
  • D𝑣>32𝑢4
  • E(𝑢1)+𝑣+52<134

Questão 3

Suponha que 𝐿 é uma transformação linear. Qual é o valor de 𝐿(0)?

Questão 4

Qual das seguintes transformações de Möbius, 𝑇, leva 2 a 0, 0 a 3, e tem lim𝑇(𝑧)=3𝑖?

  • A𝑇(𝑧)=𝑖𝑧33𝑧+6
  • B𝑇(𝑧)=𝑧+2𝑖3𝑖𝑧6𝑖
  • C𝑇(𝑧)=3𝑖𝑧6𝑖𝑧+2𝑖
  • D𝑇(𝑧)=3𝑧+6𝑖𝑧3
  • E𝑇(𝑧)=𝑧+

Questão 5

Encontre a equação para a imagem de arg(𝑧)=𝜋2 sob a transformação 𝑤=𝑧7𝑧2𝑖, 𝑧2𝑖7, que leva o plano 𝑧 ao plano 𝑤.

  • Aarg(𝑤)=𝜋2
  • Barg(𝑤)=𝜋2
  • Carg(𝑤)=0
  • Darg(𝑤)=2𝜋3
  • Earg(𝑤)=𝜋6

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