Atividade: Integrais de Linha no Plano

Nesta atividade, nós vamos praticar a integral de linha de uma função de 2 variáveis ao longo de uma curva parametrizada no plano.

Q1:

Calcule ο„Έ ο€Ή π‘₯ + 𝑦  π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 𝑦    d d , em que 𝐢 π‘₯ = 𝑑 , 𝑦 = 2 𝑑 : , 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 e 𝑑 = 𝑒 s e n para 0 ≀ 𝑒 ≀ πœ‹ 2 .

  • A26
  • B13
  • C 9 3
  • D 1 3 3
  • E9

Q2:

Calcule ο„Έ ο€Ή π‘₯ + 𝑦  π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 𝑦    d d , onde 𝐢 π‘₯ = 𝑑 , 𝑦 = 𝑑 : c o s s e n e 0 ≀ 𝑑 ≀ πœ‹ .

  • A0
  • B 2 3
  • C 2 πœ‹
  • D βˆ’ 2 3
  • E βˆ’ 2 πœ‹

Q3:

Calcule ο„Έ ο€Ή π‘₯ + 𝑦  π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 𝑦    d d , onde 𝐢 π‘₯ = 𝑑 , 𝑦 = 2 𝑑 :  e 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

  • A82
  • B21
  • C 3 2 1 5
  • D 1 3 3
  • E9

Q4:

Calcule ο„Έ ο€Ή π‘₯ + 𝑦  π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 𝑦    d d , em que 𝐢 π‘₯ = 𝑑 , 𝑦 = 2 𝑑 : e 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

  • A26
  • B13
  • C 9 3
  • D 1 3 3
  • E9

Q5:

Calcule ο„Έ  ο€Ή π‘₯  + 𝑦   d π‘₯ + 2 π‘₯ 𝑦 d 𝑦 , em que 𝐢 Γ© um caminho poligonal de ( 0 , 0 ) para ( 0 , 2 ) para ( 1 , 2 ) .

  • A2
  • B5
  • C 2 0 3
  • D 1 3 3
  • E10

Q6:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e a curva 𝐢 tais que 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 2 π‘₯ + 𝑦 e 𝐢 Γ© um caminho poligonal de ( 0 , 0 ) para ( 3 , 0 ) para ( 3 , 2 ) .

Q7:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e curva 𝐢 , onde 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ + 𝑦  e 𝐢 Γ© o caminho de ( 2 , 0 ) no sentido anti-horΓ‘rio ao longo do cΓ­rculo π‘₯ + 𝑦 = 4   ao ponto ( βˆ’ 2 , 0 ) e depois de volta para ( 2 , 0 ) ao longo do eixo π‘₯ .

  • A 4 ( πœ‹ + 1 )
  • B πœ‹
  • C πœ‹ + 4
  • D 4 πœ‹
  • E 8 πœ‹

Q8:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e a curva 𝐢 tais que 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ π‘₯ + 1  , 𝐢 π‘₯ = 𝑑 , 𝑦 = 0 : e 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

  • A t g t g     ( 2 ) βˆ’ ( 1 ) 2
  • B l n ( 2 )
  • C t g t g     ( 2 ) βˆ’ ( 1 )
  • D l n ( 2 ) 2
  • E2

Q9:

Suponha que F Γ© o gradiente da função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = 2 π‘₯ βˆ’ 𝑦   e que nos dΓ£o os pontos 𝑃 ( 0 , 0 ) , 𝑄 ( 1 , 0 ) , 𝑅 ( 0 , 1 ) , 𝑆 ( 1 , 1 ) e 𝑇 ( βˆ’ 1 , βˆ’ 1 ) . Seleciona um ponto inicial e um final deste conjunto para maximizar o integral ο„Έ β‹…  F r d , em que 𝐢 Γ© a reta entre os pontos selecionados.

  • Ade 𝑃 a 𝑅
  • Bde 𝑄 a 𝑇
  • Cde 𝑆 a 𝑄
  • Dde 𝑇 a 𝑄
  • Ede 𝑅 a 𝑇

Q10:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) e a curva 𝐢 tais que 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 ) = π‘₯ 𝑦 , 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n e 0 ≀ 𝑑 ≀ πœ‹ 2 .

  • A1
  • B βˆ’ 1 2
  • C βˆ’ 1
  • D 1 2
  • E βˆ’ 1 4

Q11:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑧 e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 : c o s , 𝑦 = 𝑑 s e n , 𝑧 = 𝑑 , 0 ≀ 𝑑 ≀ 2 πœ‹ .

  • A √ 2 πœ‹ 2 
  • B 2 πœ‹ 
  • C √ 2 πœ‹ 
  • D 2 √ 2 πœ‹ 
  • E 2 √ 2 πœ‹

Q12:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = π‘₯ 𝑦 + 𝑦 + 2 𝑦 𝑧 e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 :  , 𝑦 = 𝑑 , 𝑧 = 1 , 1 ≀ 𝑑 ≀ 2 .

  • A 5 6 3
  • B 1 4 ο€» 1 7 √ 1 7 βˆ’ 5 √ 5 
  • C14
  • D 1 3 ο€» 1 7 √ 1 7 βˆ’ 5 √ 5 
  • E 1 3 ο€» 1 7 √ 1 7 + 5 √ 5 

Q13:

Use uma integral de linha para encontrar a Γ‘rea da superfΓ­cie lateral da parte do cilindro π‘₯ + 𝑦 = 4   abaixo do plano π‘₯ + 2 𝑦 + 𝑧 = 6 e acima do plano π‘₯ 𝑦 .

  • A 4 ( 6 πœ‹ βˆ’ 3 )
  • B 6 πœ‹
  • C 6 πœ‹ βˆ’ 3
  • D 2 4 πœ‹
  • E 2 4 πœ‹ βˆ’ 3

Q14:

Calcule ο„Έ 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) 𝑠  d para a função 𝑓 ( π‘₯ , 𝑦 , 𝑧 ) = 𝑧  e a curva 𝐢 π‘₯ = 𝑑 𝑑 : s e n , 𝑦 = 𝑑 𝑑 c o s , 𝑧 = 2 √ 2 3 𝑑   , 0 ≀ 𝑑 ≀ 1 .

  • A 6 5
  • B 9 2 0
  • C βˆ’ 2 5
  • D 2 5
  • E0

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