Lição de casa da aula: Curvas Integrais de Campos Vetoriais Matemática

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinação da curva integral de um campo vetorial.

QuestΓ£o 1

As figuras mostram o campo vetorial ο€Όβˆ’π‘¦;π‘₯+52π‘¦οˆ, juntamente com vΓ‘rios dos seus fluxos.

Suponhamos que sabemos que para alguns nΓΊmeros π‘˜ as curvas integrais π‘₯=𝑓(𝑑);𝑦=𝑔(𝑑) sΓ£o tais que 𝑓 e 𝑔 sΓ£o combinaçáes lineares de alguns 𝑒. Quais sΓ£o os valores de π‘˜?

  • A13 e 2
  • B12 e 3
  • C13 e 3
  • D12 e 2
  • E14 e 2

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (βˆ’1;0) quando 𝑑=0?

  • Aπ‘₯=βˆ’43𝑒+13𝑒;𝑦=βˆ’23𝑒+23π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Bπ‘₯=βˆ’43𝑒+13𝑒;𝑦=βˆ’23𝑒+23π‘’ο‘‰οŽ’ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Cπ‘₯=43𝑒+13𝑒;𝑦=23π‘’βˆ’23π‘’ο‘‰οŽ’ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Dπ‘₯=βˆ’43𝑒+13𝑒;𝑦=23π‘’βˆ’23π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Eπ‘₯=43π‘’βˆ’13𝑒;𝑦=βˆ’23𝑒+23π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (0;2) quando 𝑑=0?

  • Aπ‘₯=43π‘’βˆ’43𝑒;𝑦=23π‘’βˆ’83π‘’ο‘‰οŽ’ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Bπ‘₯=43𝑒+43𝑒;𝑦=23𝑒+83π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Cπ‘₯=βˆ’43π‘’βˆ’43𝑒;𝑦=23π‘’βˆ’83π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Dπ‘₯=43π‘’βˆ’43𝑒;𝑦=βˆ’23𝑒+83π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Eπ‘₯=43𝑒+43𝑒;𝑦=βˆ’23𝑒+83π‘’ο‘‰οŽ’ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (βˆ’1;1) quando 𝑑=0?

  • Aπ‘₯=βˆ’23π‘’βˆ’π‘’3;𝑦=𝑒3βˆ’23π‘’ο‘‰οŽ’ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Bπ‘₯=23𝑒+𝑒3;𝑦=βˆ’π‘’3+23π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Cπ‘₯=βˆ’23π‘’βˆ’π‘’3;𝑦=𝑒3+23π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Dπ‘₯=βˆ’23𝑒+𝑒3;𝑦=𝑒3βˆ’23π‘’ο‘‰οŽ‘ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο
  • Eπ‘₯=βˆ’23𝑒+𝑒3;𝑦=βˆ’π‘’3+23π‘’ο‘‰οŽ’ο‘‰οŽ‘οŠ¨οοŠ¨ο

Como π‘‘β†’βˆž e como π‘‘β†’βˆ’βˆž ao longo de uma curva integral, a secante entre (0;0) e (𝑓(𝑑);𝑔(𝑑)) se aproxima de uma das retas 𝐿 e 𝐿 mostradas. Quais sΓ£o as inclinaçáes dessas duas retas?

  • Ainclinação de 𝐿=βˆ’12, inclinação de 𝐿=βˆ’2
  • Binclinação de 𝐿=βˆ’12, inclinação de 𝐿=2
  • Cinclinação de 𝐿=12, inclinação de 𝐿=2
  • Dinclinação de 𝐿=14, inclinação de 𝐿=2
  • Einclinação de 𝐿=βˆ’14, inclinação de 𝐿=βˆ’2

QuestΓ£o 2

Considere a curva paramΓ©trica π‘₯=𝑒(𝑏𝑑)cos, 𝑦=𝑒(𝑏𝑑)sen com constantes π‘Ž e 𝑏. A figura mostra o caso π‘Ž=15 e 𝑏=5 para βˆ’πœ‹β‰€π‘‘β‰€2πœ‹.

Determine o campo vetorial tal que a curva π‘₯=𝑒(𝑏𝑑)cos e 𝑦=𝑒(𝑏𝑑)sen Γ© a sua curva integral.

  • AβŸ¨π‘π‘₯βˆ’π‘Žπ‘¦,𝑏π‘₯+π‘Žπ‘¦βŸ©
  • BβŸ¨π‘Žπ‘₯+𝑏𝑦,𝑏π‘₯βˆ’π‘Žπ‘¦βŸ©
  • CβŸ¨π‘Žπ‘₯βˆ’π‘π‘¦,𝑏π‘₯+π‘Žπ‘¦βŸ©
  • DβŸ¨π‘Žπ‘₯βˆ’π‘π‘¦,π‘Žπ‘₯+π‘π‘¦βŸ©
  • EβŸ¨π‘π‘₯+π‘Žπ‘¦,π‘Žπ‘₯βˆ’π‘π‘¦βŸ©

Determine a equação diferencial linear de segunda ordem satisfeita por π‘₯.

  • Aπ‘₯β€²β€²βˆ’2π‘Žπ‘₯β€²+ο€Ήπ‘Ž+𝑏π‘₯=0
  • B2π‘₯β€²β€²+π‘Žπ‘₯β€²+ο€Ήπ‘Žβˆ’π‘ο…π‘₯=0
  • Cπ‘₯β€²β€²βˆ’π‘Žπ‘₯β€²+ο€Ή2π‘Ž+𝑏π‘₯=0
  • Dπ‘₯β€²β€²βˆ’π‘Žπ‘₯β€²+ο€Ήπ‘Ž+2𝑏π‘₯=0
  • Eπ‘₯β€²β€²+π‘Žπ‘₯β€²+ο€Ήπ‘Žβˆ’π‘ο…π‘₯=0

Pode verificar que π‘₯=𝑒(𝑏𝑑)sen Γ© tambΓ©m uma solução desta equação diferencial e, portanto, qualquer π‘₯=𝑓(𝑑)=𝑃𝑒(𝑏𝑑)+𝑄𝑒(𝑏𝑑)cossen de constantes 𝑃 e 𝑄. Utilizando o campo vetorial, determine a função correspondente 𝑦=𝑔(𝑑) tal que π‘₯=𝑓(𝑑) e 𝑦=𝑔(𝑑) Γ© uma curva integral.

  • Aβˆ’π‘„π‘’(𝑏𝑑)+𝑃𝑒(𝑏𝑑)cossen
  • Bβˆ’π‘„π‘’(𝑏𝑑)+𝑃𝑒(π‘Žπ‘‘)cossen
  • C𝑄𝑒(𝑏𝑑)+𝑃𝑒(𝑏𝑑)cossen
  • Dβˆ’π‘„π‘’(π‘Žπ‘‘)+𝑃𝑒(π‘Žπ‘‘)cossen
  • E𝑄𝑒(π‘Žπ‘‘)+𝑃𝑒(π‘Žπ‘‘)cossen

Para o caso π‘Ž=15 e 𝑏=5, determine equaçáes paramΓ©tricas para a curva integral que comeΓ§a no ponto (3,2) para 𝑑=0.

  • Aπ‘₯=2𝑒(5𝑑)βˆ’2𝑒(5𝑑)οŠ¨ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen, 𝑦=3𝑒(5𝑑)+3𝑒(5𝑑)οŠ¨ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen
  • Bπ‘₯=3𝑒(5𝑑)+2𝑒(5𝑑)ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen, 𝑦=2𝑒(5𝑑)βˆ’3𝑒(5𝑑)ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen
  • Cπ‘₯=3𝑒(5𝑑)βˆ’2𝑒(5𝑑)ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen, 𝑦=2𝑒(5𝑑)+3𝑒(5𝑑)ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen
  • Dπ‘₯=𝑒(5𝑑)βˆ’2𝑒(5𝑑)ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen, 𝑦=3𝑒(5𝑑)+3𝑒(5𝑑)ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen
  • Eπ‘₯=2𝑒(5𝑑)+2𝑒(5𝑑)οŠ¨ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen, 𝑦=3𝑒(5𝑑)+3𝑒(5𝑑)ο‘‰οŽ€ο‘‰οŽ€cossen

QuestΓ£o 3

As figuras mostram o campo vetorial (βˆ’9𝑦;π‘₯+6𝑦), juntamente com vΓ‘rios de seus fluxos.

Suponha que sabemos que, para alguns nΓΊmeros π‘˜, as curvas integrais π‘₯=𝑓(𝑑) e 𝑦=𝑔(𝑑) sΓ£o tais que 𝑓 e 𝑔 sΓ£o combinaçáes lineares de alguns 𝑒. Quais sΓ£o os valores de π‘˜?

Nesse caso, onde π‘˜ Γ© uma raiz repetida, combinaçáes lineares de 𝑑𝑒 e 𝑒 sΓ£o usadas. Portanto, encontre as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ£o em (0;2) quando 𝑑=0.

  • Aπ‘₯=βˆ’9π‘‘π‘’οŠ©ο, 𝑦=2𝑒+3π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο
  • Bπ‘₯=βˆ’9π‘’οŠ©ο, 𝑦=2π‘’βˆ’3π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο
  • Cπ‘₯=βˆ’3π‘‘π‘’οŠ©ο, 𝑦=2𝑒+2π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο
  • Dπ‘₯=βˆ’18π‘‘π‘’οŠ©ο, 𝑦=2𝑒+6π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο
  • Eπ‘₯=18π‘‘π‘’οŠ©ο, 𝑦=2π‘’βˆ’6π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ£o em (βˆ’1;1) quando 𝑑=0?

  • Aπ‘₯=βˆ’π‘’βˆ’2π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=𝑒+π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο
  • Bπ‘₯=π‘’βˆ’6π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=π‘’βˆ’2π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο
  • Cπ‘₯=βˆ’π‘’βˆ’6π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=𝑒+2π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο
  • Dπ‘₯=βˆ’π‘’+6π‘‘π‘’οŠ¨οοŠ¨ο, 𝑦=π‘’βˆ’2π‘‘π‘’οŠ¨οοŠ¨ο
  • Eπ‘₯=βˆ’π‘’βˆ’6π‘‘π‘’οŠ¨οοŠ¨ο, 𝑦=𝑒+2π‘‘π‘’οŠ¨οοŠ¨ο

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ£o em (βˆ’1;0) quando 𝑑=0?

  • Aπ‘₯=βˆ’π‘’+3π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=βˆ’π‘‘π‘’οŠ©ο
  • Bπ‘₯=βˆ’π‘’βˆ’3π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=π‘‘π‘’οŠ©ο
  • Cπ‘₯=βˆ’π‘’βˆ’2π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=βˆ’π‘‘π‘’οŠ©ο
  • Dπ‘₯=βˆ’π‘’βˆ’π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=π‘‘π‘’οŠ©ο
  • Eπ‘₯=βˆ’π‘’βˆ’3π‘‘π‘’οŠ©οοŠ©ο, 𝑦=π‘‘π‘’οŠ©ο

Como π‘‘β†’βˆž e π‘‘β†’βˆ’βˆž ao longo de uma curva integral, a secante entre (0, 0) e (𝑓(𝑑);𝑔(𝑑)) se aproxima da linha tracejada mostrada. Qual Γ© a inclinação desta linha?

  • Aβˆ’13
  • B13
  • C12
  • Dβˆ’12
  • Eβˆ’14

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