Atividade: Curvas Integrais de Campos Vetoriais

Nesta atividade, nós vamos praticar a determinação da curva integral de um campo vetorial.

Q1:

As figuras mostram o campo vetorial ο‡³βˆ’π‘¦,π‘₯+52𝑦, juntamente com vΓ‘rios dos seus fluxos.

Suponhamos que sabemos que para alguns nΓΊmeros π‘˜ as curvas integrais π‘₯=𝑓(𝑑),𝑦=𝑔(𝑑) sΓ£o tais que 𝑓 e 𝑔 sΓ£o combinaçáes lineares de alguns 𝑒. Quais sΓ£o os valores de π‘˜?

  • A 1 3 e 2
  • B 1 2 e 3
  • C 1 3 e 3
  • D 1 2 e 2
  • E 1 4 e 2

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (βˆ’1,0) quando 𝑑=0?

  • A π‘₯ = βˆ’ 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒 , 𝑦 = βˆ’ 2 3 𝑒 + 2 3 𝑒        
  • B π‘₯ = βˆ’ 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒 , 𝑦 = βˆ’ 2 3 𝑒 + 2 3 𝑒        
  • C π‘₯ = 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒 , 𝑦 = 2 3 𝑒 βˆ’ 2 3 𝑒        
  • D π‘₯ = βˆ’ 4 3 𝑒 + 1 3 𝑒 , 𝑦 = 2 3 𝑒 βˆ’ 2 3 𝑒        
  • E π‘₯ = 4 3 𝑒 βˆ’ 1 3 𝑒 , 𝑦 = βˆ’ 2 3 𝑒 + 2 3 𝑒        

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (0,2) quando 𝑑=0?

  • A π‘₯ = 4 3 𝑒 βˆ’ 4 3 𝑒 , 𝑦 = 2 3 𝑒 βˆ’ 8 3 𝑒        
  • B π‘₯ = 4 3 𝑒 + 4 3 𝑒 , 𝑦 = 2 3 𝑒 + 8 3 𝑒        
  • C π‘₯ = βˆ’ 4 3 𝑒 βˆ’ 4 3 𝑒 , 𝑦 = 2 3 𝑒 βˆ’ 8 3 𝑒        
  • D π‘₯ = 4 3 𝑒 βˆ’ 4 3 𝑒 , 𝑦 = βˆ’ 2 3 𝑒 + 8 3 𝑒        
  • E π‘₯ = 4 3 𝑒 + 4 3 𝑒 , 𝑦 = βˆ’ 2 3 𝑒 + 8 3 𝑒        

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (βˆ’1,1) quando 𝑑=0?

  • A π‘₯ = βˆ’ 2 3 𝑒 βˆ’ 𝑒 3 , 𝑦 = 𝑒 3 βˆ’ 2 3 𝑒        
  • B π‘₯ = 2 3 𝑒 + 𝑒 3 , 𝑦 = βˆ’ 𝑒 3 + 2 3 𝑒        
  • C π‘₯ = βˆ’ 2 3 𝑒 βˆ’ 𝑒 3 , 𝑦 = 𝑒 3 + 2 3 𝑒        
  • D π‘₯ = βˆ’ 2 3 𝑒 + 𝑒 3 , 𝑦 = 𝑒 3 βˆ’ 2 3 𝑒        
  • E π‘₯ = βˆ’ 2 3 𝑒 + 𝑒 3 , 𝑦 = βˆ’ 𝑒 3 + 2 3 𝑒        

Como π‘‘β†’βˆž e como π‘‘β†’βˆ’βˆž ao longo de uma curva integral, a secante entre (0, 0) e (𝑓(𝑑),𝑔(𝑑)) se aproxima de uma das retas 𝐿 e 𝐿 mostradas. Quais sΓ£o as inclinaçáes dessas duas retas?

  • Ainclinação de 𝐿=βˆ’12, inclinação de 𝐿=βˆ’2
  • Binclinação de 𝐿=βˆ’12, inclinação de 𝐿=2
  • Cinclinação de 𝐿=12, inclinação de 𝐿=2
  • Dinclinação de 𝐿=14, inclinação de 𝐿=2
  • Einclinação de 𝐿=βˆ’14, inclinação de 𝐿=βˆ’2

Q2:

Considere a curva paramΓ©trica π‘₯=𝑒(𝑏𝑑)cos, 𝑦=𝑒(𝑏𝑑)sen com constantes π‘Ž e 𝑏. A figura mostra o caso π‘Ž=15 e 𝑏=5 para βˆ’πœ‹β‰€π‘‘β‰€2πœ‹.

Determine o campo vetorial tal que a curva π‘₯=𝑒(𝑏𝑑)cos e 𝑦=𝑒(𝑏𝑑)sen Γ© a sua curva integral.

  • A ⟨ π‘Ž π‘₯ + 𝑏 𝑦 , 𝑏 π‘₯ βˆ’ π‘Ž 𝑦 ⟩
  • B ⟨ π‘Ž π‘₯ βˆ’ 𝑏 𝑦 , π‘Ž π‘₯ + 𝑏 𝑦 ⟩
  • C ⟨ π‘Ž π‘₯ βˆ’ 𝑏 𝑦 , 𝑏 π‘₯ + π‘Ž 𝑦 ⟩
  • D ⟨ 𝑏 π‘₯ βˆ’ π‘Ž 𝑦 , 𝑏 π‘₯ + π‘Ž 𝑦 ⟩
  • E ⟨ 𝑏 π‘₯ + π‘Ž 𝑦 , π‘Ž π‘₯ βˆ’ 𝑏 𝑦 ⟩

Determine a equação diferencial linear de segunda ordem satisfeita por π‘₯.

  • A π‘₯ β€² β€² βˆ’ π‘Ž π‘₯ β€² + ο€Ή 2 π‘Ž + 𝑏  π‘₯ = 0  
  • B π‘₯ β€² β€² βˆ’ π‘Ž π‘₯ β€² + ο€Ή π‘Ž + 2 𝑏  π‘₯ = 0  
  • C π‘₯ β€² β€² + π‘Ž π‘₯ β€² + ο€Ή π‘Ž βˆ’ 𝑏  π‘₯ = 0  
  • D 2 π‘₯ β€² β€² + π‘Ž π‘₯ β€² + ο€Ή π‘Ž βˆ’ 𝑏  π‘₯ = 0  
  • E π‘₯ β€² β€² βˆ’ 2 π‘Ž π‘₯ β€² + ο€Ή π‘Ž + 𝑏  π‘₯ = 0  

Pode verificar que π‘₯=𝑒(𝑏𝑑)sen Γ© tambΓ©m uma solução desta equação diferencial e, portanto, qualquer π‘₯=𝑓(𝑑)=𝑃𝑒(𝑏𝑑)+𝑄𝑒(𝑏𝑑)cossen de constantes 𝑃 e 𝑄. Utilizando o campo vetorial, determine a função correspondente 𝑦=𝑔(𝑑) tal que π‘₯=𝑓(𝑑) e 𝑦=𝑔(𝑑) Γ© uma curva integral.

  • A βˆ’ 𝑄 𝑒 ( 𝑏 𝑑 ) + 𝑃 𝑒 ( 𝑏 𝑑 )     c o s s e n
  • B βˆ’ 𝑄 𝑒 ( π‘Ž 𝑑 ) + 𝑃 𝑒 ( π‘Ž 𝑑 )     c o s s e n
  • C 𝑄 𝑒 ( 𝑏 𝑑 ) + 𝑃 𝑒 ( 𝑏 𝑑 )     c o s s e n
  • D 𝑄 𝑒 ( π‘Ž 𝑑 ) + 𝑃 𝑒 ( π‘Ž 𝑑 )     c o s s e n
  • E βˆ’ 𝑄 𝑒 ( 𝑏 𝑑 ) + 𝑃 𝑒 ( π‘Ž 𝑑 )     c o s s e n

Para o caso π‘Ž=15 e 𝑏=5, determine equaçáes paramΓ©tricas para a curva integral que comeΓ§a no ponto (3,2) para 𝑑=0.

  • A π‘₯ = 3 𝑒 ( 5 𝑑 ) + 2 𝑒 ( 5 𝑑 )     c o s s e n , 𝑦 = 2 𝑒 ( 5 𝑑 ) βˆ’ 3 𝑒 ( 5 𝑑 )     c o s s e n
  • B π‘₯ = 2 𝑒 ( 5 𝑑 ) + 2 𝑒 ( 5 𝑑 )      c o s s e n , 𝑦 = 3 𝑒 ( 5 𝑑 ) + 3 𝑒 ( 5 𝑑 )     c o s s e n
  • C π‘₯ = 3 𝑒 ( 5 𝑑 ) βˆ’ 2 𝑒 ( 5 𝑑 )     c o s s e n , 𝑦 = 2 𝑒 ( 5 𝑑 ) + 3 𝑒 ( 5 𝑑 )     c o s s e n
  • D π‘₯ = 𝑒 ( 5 𝑑 ) βˆ’ 2 𝑒 ( 5 𝑑 )     c o s s e n , 𝑦 = 3 𝑒 ( 5 𝑑 ) + 3 𝑒 ( 5 𝑑 )     c o s s e n
  • E π‘₯ = 2 𝑒 ( 5 𝑑 ) βˆ’ 2 𝑒 ( 5 𝑑 )      c o s s e n , 𝑦 = 3 𝑒 ( 5 𝑑 ) + 3 𝑒 ( 5 𝑑 )      c o s s e n

Q3:

As figuras mostram o campo vetorial βŸ¨βˆ’9𝑦,π‘₯+6π‘¦βŸ©, juntamente com vΓ‘rios dos seus fluxos.

Suponhamos que sabemos que, para alguns nΓΊmeros π‘˜, as curvas integrais π‘₯=𝑓(𝑑) e 𝑦=𝑔(𝑑) sΓ£o tais que 𝑓 e 𝑔 sΓ£o combinaçáes lineares de alguns 𝑒. Quais sΓ£o os valores de π‘˜?

Neste caso, onde π‘˜ Γ© uma raiz repetida, combinaçáes lineares de 𝑑𝑒 e 𝑒 sΓ£o usadas. Portanto, encontre as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (0,2) quando 𝑑=0.

  • A π‘₯ = βˆ’ 3 𝑑 𝑒   , 𝑦 = 2 𝑒 + 2 𝑑 𝑒    
  • B π‘₯ = βˆ’ 1 8 𝑑 𝑒   , 𝑦 = 2 𝑒 + 6 𝑑 𝑒    
  • C π‘₯ = βˆ’ 9 𝑑 𝑒   , 𝑦 = 2 𝑒 + 3 𝑑 𝑒    
  • D π‘₯ = 1 8 𝑑 𝑒   , 𝑦 = 2 𝑒 βˆ’ 6 𝑑 𝑒    
  • E π‘₯ = βˆ’ 9 𝑒   , 𝑦 = 2 𝑒 βˆ’ 3 𝑑 𝑒    

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (βˆ’1,1) quando 𝑑=0?

  • A π‘₯ = βˆ’ 𝑒 βˆ’ 6 𝑑 𝑒     , 𝑦 = 𝑒 + 2 𝑑 𝑒    
  • B π‘₯ = βˆ’ 𝑒 + 6 𝑑 𝑒     , 𝑦 = 𝑒 βˆ’ 2 𝑑 𝑒    
  • C π‘₯ = 𝑒 βˆ’ 6 𝑑 𝑒     , 𝑦 = 𝑒 βˆ’ 2 𝑑 𝑒    
  • D π‘₯ = βˆ’ 𝑒 βˆ’ 6 𝑑 𝑒     , 𝑦 = 𝑒 + 2 𝑑 𝑒    
  • E π‘₯ = βˆ’ 𝑒 βˆ’ 2 𝑑 𝑒     , 𝑦 = 𝑒 + 𝑑 𝑒    

Quais sΓ£o as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral que estΓ‘ em (βˆ’1,0) quando 𝑑=0?

  • A π‘₯ = βˆ’ 𝑒 βˆ’ 2 𝑑 𝑒     , 𝑦 = βˆ’ 𝑑 𝑒  
  • B π‘₯ = βˆ’ 𝑒 βˆ’ 3 𝑑 𝑒     , 𝑦 = 𝑑 𝑒  
  • C π‘₯ = βˆ’ 𝑒 βˆ’ 3 𝑑 𝑒     , 𝑦 = 𝑑 𝑒  
  • D π‘₯ = βˆ’ 𝑒 βˆ’ 𝑒     , 𝑦 = 𝑑 𝑒  
  • E π‘₯ = βˆ’ 𝑒 + 3 𝑑 𝑒     , 𝑦 = βˆ’ 𝑑 𝑒  

Como π‘‘β†’βˆž e π‘‘β†’βˆ’βˆž ao longo de uma curva integral, a secante entre (0, 0) e (𝑓(𝑑),𝑔(𝑑)) aproxima-se da reta tracejada mostrada. Qual Γ© a inclinação dessa reta?

  • A βˆ’ 1 4
  • B 1 3
  • C βˆ’ 1 2
  • D βˆ’ 1 3
  • E 1 2

Q4:

Se π‘₯=𝑓(𝑑) parametriza uma curva integral do campo vetorial 𝑉(π‘₯,𝑦)=(𝑦,π‘₯), entΓ£o 𝑓′′=𝑓. Isso significa que 𝑓 Γ© uma combinação linear de 𝑒 e π‘’οŠ±ο.

Encontre o parΓ’metro π‘₯ da função 𝑓(𝑑) para a curva integral para este campo vetorial que comeΓ§a no ponto (2,3).

  • A 𝑓 ( 𝑑 ) = 5 2 𝑒 + 1 2 𝑒   
  • B 𝑓 ( 𝑑 ) = 1 2 𝑒 βˆ’ 5 2 𝑒   
  • C 𝑓 ( 𝑑 ) = 5 2 𝑒 βˆ’ 1 2 𝑒   
  • D 𝑓 ( 𝑑 ) = 3 2 𝑒 βˆ’ 2 3 𝑒   
  • E 𝑓 ( 𝑑 ) = 1 2 𝑒 + 5 2 𝑒   

Encontre a equação cartesiana da curva integral determinada acima.

Dica: Γ‰ uma hipΓ©rbole.

  • A π‘₯ + 𝑦 = βˆ’ 5  
  • B π‘₯ βˆ’ 2 𝑦 = βˆ’ 5  
  • C π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 5  
  • D π‘₯ + 𝑦 = 5  
  • E π‘₯ βˆ’ 𝑦 = βˆ’ 5  

Encontre a equação cartesiana da curva integral para este campo vetorial que começa no ponto (2,2).

  • A 𝑦 = π‘₯ + 2
  • B 𝑦 = βˆ’ π‘₯
  • C 𝑦 = π‘₯ 
  • D 𝑦 = π‘₯
  • E 𝑦 = βˆ’ π‘₯ 

Q5:

Uma curva integral (ou fluxo) de um campo vetorial 𝑉 Γ© uma curva paramΓ©trica π‘₯=𝑓(𝑑),𝑦=𝑔(𝑑) com βŸ¨π‘“(𝑑),𝑔(𝑑)⟩=𝑉(𝑓(𝑑),𝑔(𝑑)) para cada 𝑑 quando 𝑓 e 𝑔 sΓ£o definidos.

Resolvendo as equaçáes 𝑓(𝑑)=1 e 𝑔(𝑑)=2, encontre uma curva integral para o campo vetorial 𝑉(π‘₯,𝑦)=⟨1,2⟩ que tambΓ©m satisfaz (𝑓(0),𝑔(0))=(βˆ’1,1).

  • A 𝑓 ( 𝑑 ) = 𝑑 βˆ’ 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 βˆ’ 1
  • B 𝑓 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 βˆ’ 1 𝑔 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 + 1 ,
  • C 𝑓 ( 𝑑 ) = 𝑑 βˆ’ 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 + 1
  • D 𝑓 ( 𝑑 ) = 𝑑 + 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 + 1
  • E 𝑓 ( 𝑑 ) = 2 𝑑 + 1 𝑔 ( 𝑑 ) = 𝑑 βˆ’ 1 ,

Considere o campo vetorial 𝑉(π‘₯,𝑦)=⟨1,2⟩. Encontre a equação cartesiana da curva integral de campo vetorial que estΓ‘ no ponto (2,βˆ’3) quando 𝑑=0.

  • A 𝑦 + 2 π‘₯ = βˆ’ 7
  • B 2 𝑦 βˆ’ π‘₯ = βˆ’ 7
  • C 𝑦 βˆ’ 2 π‘₯ = βˆ’ 7
  • D 𝑦 βˆ’ 2 π‘₯ = 7
  • E 𝑦 βˆ’ π‘₯ = βˆ’ 7

Encontre a equação cartesiana da curva integral para 𝑉(π‘₯,𝑦)=⟨1,π‘₯⟩ que comeΓ§a no ponto (2, 2).

  • A 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 5 π‘₯ + 1 0 2 
  • B 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + 8 2 
  • C 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 2 
  • D 𝑦 = π‘₯ 2 
  • E 𝑦 = π‘₯ 3 

Encontre a equação cartesiana da curva integral para 𝑉(π‘₯,𝑦)=⟨π‘₯,π‘₯⟩ que comeΓ§a no ponto (2, 2).

  • A 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 4 π‘₯ + 8 2 
  • B 𝑦 = π‘₯ 3 
  • C 𝑦 = π‘₯ βˆ’ 2 
  • D 𝑦 = π‘₯ 2 
  • E 𝑦 = ( π‘₯ βˆ’ 1 ) 2 + 2 ( π‘₯ βˆ’ 1 ) + ( π‘₯ βˆ’ 1 ) βˆ’ 1 2  l n

Encontre as equaçáes paramΓ©tricas da curva integral para 𝑉(π‘₯,𝑦)=⟨π‘₯,π‘₯⟩ que comeΓ§a no ponto (0, 2).

  • A 𝑓 ( 𝑑 ) = 0 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 3
  • B 𝑓 ( 𝑑 ) = 0 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2
  • C 𝑓 ( 𝑑 ) = 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 0
  • D 𝑓 ( 𝑑 ) = βˆ’ 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 3
  • E 𝑓 ( 𝑑 ) = βˆ’ 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2

As curvas integrais dos campos vetoriais ⟨1,π‘₯⟩ e ⟨π‘₯,π‘₯⟩ comeΓ§ando em (0, 2) descrevem o mesmo conjunto em β„οŠ¨ para 𝑑β‰₯0?

  • AnΓ£o
  • Bsim

As curvas integrais dos campos vetoriais ⟨1,π‘₯⟩ e ⟨π‘₯,π‘₯⟩ comeΓ§ando em (2,2) descrevem o mesmo conjunto em β„οŠ¨ para 𝑑β‰₯0?

  • Asim
  • BnΓ£o

As curvas integrais para ⟨1,π‘₯⟩ e ⟨π‘₯,π‘₯⟩ que comeΓ§am ambas em (βˆ’2,4) estΓ£o dentro da curva 𝑦=π‘₯2+2 mas vΓ£o em direçáes opostas. Determine as equaçáes paramΓ©tricas que integram o campo vetorial ⟨π‘₯,π‘₯⟩ e comeΓ§a em (βˆ’2,4).

  • A 𝑓 ( 𝑑 ) = βˆ’ 2 𝑑 + 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2 ( 𝑑 + 1 ) + 5 
  • B 𝑓 ( 𝑑 ) = βˆ’ 2 2 𝑑 + 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 3 ( 2 𝑑 + 3 ) + 5 
  • C 𝑓 ( 𝑑 ) = βˆ’ 2 2 𝑑 + 1 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2 ( 2 𝑑 + 1 ) + 2 
  • D 𝑓 ( 𝑑 ) = βˆ’ 3 2 𝑑 + 3 , 𝑔 ( 𝑑 ) = 2 ( 2 𝑑 + 1 ) + 2 

As curvas integrais dos campos vetoriais ⟨1,π‘₯⟩ e ⟨π‘₯,π‘₯⟩ comeΓ§ando em (0, 2) descrevem o mesmo conjunto em β„οŠ¨ para 𝑑β‰₯0?

  • AnΓ£o
  • Bsim

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