Atividade: Aplicações de Taxas Relacionadas

Nesta atividade, nós vamos praticar a utilizar taxas relacionadas para resolver problemas contextualizados na realidade.

Q1:

Se 𝑉 é o volume de um cubo com aresta de comprimento 𝑥 e o cubo expande-se à medida que o tempo passa, apresenta uma expressão para d d 𝑉 𝑡 .

  • A 3 𝑥
  • B 𝑥 𝑥 𝑡 d d
  • C 𝑥 𝑥 𝑡 d d
  • D 3 𝑥 𝑥 𝑡 d d
  • E 𝑥

Q2:

Um triângulo com lados 𝑎 , 𝑏 , e contendo o ângulo 𝜃 tem área 𝐴 = 1 2 𝑎 𝑏 𝜃 s e n . Suponha que 𝑎 = 4 , 𝑏 = 5 , e o ângulo 𝜃 está aumentando em 0,6 rad/s. Quão rápido a área está mudando quando 𝜃 = 𝜋 3 ?

Q3:

Dado um foguetão de massa 26 toneladas queimar combustível a uma taxa constante de 80 kg/s, determine a massa do foguetão 25 segundos após a descolagem.

Q4:

A área de um disco circular aumenta 1 5 cm2/s. Qual é a taxa de crescimento do seu raio quando o raio é 6 cm? Utilize 𝜋 = 2 2 7 para simplificar a resposta.

  • A 7 2 2 0 cm/s
  • B 7 1 3 2 0 cm/s
  • C 7 6 6 0 cm/s
  • D 7 1 3 2 0 cm/s

Q5:

Uma partícula está se movendo ao longo da curva 6 𝑦 + 2 𝑥 2 𝑥 + 5 𝑦 1 3 = 0 2 2 . Se a taxa de variação de sua coordenada 𝑥 em relação ao tempo enquanto passa pelo ponto ( 1 ; 3 ) é 2, encontre a taxa de variação de sua coordenada 𝑦 em relação ao tempo no mesmo ponto.

  • A 1 3 6
  • B 2 0 7
  • C 8 2 3
  • D 1 2 4 1

Q6:

Um balão esférico liberta hélio a uma taxa de 48 cm3/s. Qual é a taxa de variação da área da sua superfície quando o seu raio é 41 cm?

  • A 4 8 4 1 cm2/s
  • B 4 8 4 1 cm2/s
  • C 1 2 4 1 cm2/s
  • D 9 6 4 1 cm2/s

Q7:

Num certo instante, o raio de um círculo aumenta a uma taxa de 17 cm/min e a sua área aumenta a uma taxa de 8 5 𝜋 cm2/min. Determine o raio do círculo naquele momento.

Q8:

A altura de um cilindro é igual ao diâmetro da sua base. O cilindro expande-se de tal forma que a taxa de aumento da área da sua superfície é 3 2 𝜋 cm2/s em relação ao tempo. Calcule a taxa de aumento do seu raio quando a sua base é 18 cm.

  • A 2 9 cm/s
  • B 8 2 7 cm/s
  • C 8 4 5 cm/s
  • D 4 2 7 cm/s

Q9:

Uma lâmina tem a forma de um trapézio isósceles. Os seus lados paralelos são 𝑥 cm e 3 𝑥 cm e um dos seus vértices faz um ângulo de 4 5 . A lâmina encolhe enquanto preserva a sua forma. Determine a taxa de variação da sua área em relação a 𝑥 quando a sua altura é 3 cm.

  • A 6 cm2/cm
  • B 12 cm2/cm
  • C 6 cm2/cm
  • D 1 2 cm2/cm

Q10:

Um cano de água, denotado por 𝐴 𝐵 , tem um comprimento de 5 metros e é colocado com a sua extremidade 𝐴 num solo horizontal, encostado na borda de uma parede vertical de comprimento3 metros no ponto 𝐷 . Sabendo que a extremidade 𝐴 desliza afastando-se da parede a uma taxa de 8 5 m/min, determine a taxa a que a extremidade 𝐵 desliza até alcançar o solo.

  • A 1 9 2 1 2 5 m/min
  • B 9 6 1 2 5 m/min
  • C 1 2 1 2 5 m/min
  • D 9 6 1 2 5 m/min

Q11:

𝐴 𝐶 e 𝐵 𝐶 são duas estradas ortogonais, em que 𝐴 𝐶 = 1 0 m e 𝐵 𝐶 = 6 0 m . Uma pessoa começou a andar de 𝐴 para 𝐶 a uma velocidade uniforme 1 m/s e outra pessoa começou a andar de 𝐵 para 𝐶 com uma velocidade uniforme de 8 m/s. Determine a taxa de variação da distância entre elas após 7 segundos.

Q12:

No final de uma corrida de 500 metros, um corredor correu em linha reta a 3,5 m/s. Uma câmara estava posicionada 3 metros do fim da linha tal que era perpendicular à pista e estava no mesmo plano horizontal que o corredor. Determine a taxa de variação do ângulo em que a câmara rodou para captar o corredor quando ele estava a 6 metros do final da linha.

  • A 7 1 5 rad/s
  • B 3 0 7 rad/s
  • C 1 4 1 5 rad/s
  • D 7 3 0 rad/s

Q13:

O comprimento de um retângulo aumenta a uma taxa de 15 cm/s e a sua largura a uma taxa de 13 cm/s. Determina a taxa a que a área do retângulo aumenta quando o comprimento do retângulo é 25 cm e a sua largura é 12 cm.

Q14:

Um homem puxa um carro para si mesmo com o uso de uma corda em uma polia presa 24 m acima do solo, diretamente acima dele. Se ele puxar a corda 4 m/min, qual é a velocidade do carro quando ele está 10 m longe dele?

  • A 1 3 5 m/min
  • B 2 0 1 3 m/min
  • C 1 3 3 m/min
  • D 5 2 5 m/min

Q15:

Dois navios saem de um porto ao mesmo tempo. O primeiro navega para este a 30 km/h. O outro navega para sul a 40 km/h. Qual é a taxa de variação da distância entre eles 5 horas mais tarde?

Q16:

Uma peça metálica retangular tem um comprimento que excede a largura em 45 cm, e após arrefecer, encolhe de tal forma que o seu comprimento é sempre 45 cm maior que a largura. Sabendo que o seu comprimento diminui a uma taxa de 0,026 cm/s no momento em que a sua largura é 90 cm, determine a taxa de variação da sua área neste momento.

Q17:

Uma lâmina de metal fina tem a forma de um retângulo que tem um comprimento que é 3 5 do da sua diagonal. A lâmina encolhe por arrefecimento preservando a sua forma geométrica e a razão entre as suas dimensões. Num dado momento, o comprimento da sua diagonal e a área da sua superfície decresceram a uma taxa de 1,5 cm/min e 36 cm2/min, respetivamente. Determine a área da superfície da lâmina nesse momento.

Q18:

Os lados adjacentes ao ângulo reto têm inicialmente comprimentos 7 cm e 1 cm. O primeiro lado diminui a uma taxa de 1 cm/min enquanto o segundo lado aumenta a uma taxa de 5 cm/min. A que taxa varia a área do triângulo 6 minutos mais tarde?

  • A 6 cm2/min
  • B 17 cm2/min
  • C 48 cm2/min
  • D 1 3 cm2/min

Q19:

Uma caixa retangular expande-se enquanto mantém as suas dimensões relativas. O seu comprimento é 6 cm maior que a sua largura. A sua altura é 2 vezes a largura. Determine as dimensões da caixa no momento em que o seu volume aumenta a 0,3 cm3/min e a sua largura aumenta a 0,01 cm/min.

  • A 3 cm, 9 cm, 6 cm
  • B 2 cm, 8 cm, 4 cm
  • C 4 cm, 10 cm, 8 cm
  • D 1 cm, 7 cm, 2 cm

Q20:

Um recipiente cilíndrico circular reto tem uma altura interior de 5 cm e um raio da base interior de 6 cm. Uma haste de metal de 16 cm de comprimento é colocada dentro do recipiente. Se a taxa em que a haste desliza para longe da borda do recipiente é de 3 cm/s, determine a taxa na qual a haste desliza na base do recipiente no momento em que ela toca a parede do recipiente.

  • A 3 6 1 3 cm/s
  • B 6 1 1 2 cm/s
  • C 5 4 cm/s
  • D 1 3 4 cm/s

Q21:

Em um circuito elétrico fechado, 𝑉 é a diferença de potencial medida em volts, 𝐼 é a intensidade atual medida em amperes, e 𝑅 é a resistência medida em ohms. Se a diferença de potencial aumentar a uma taxa de 6 V/s, e a intensidade atual diminuir a uma taxa de 1 2 A/s, encontre a taxa de variação da resistência quando 𝑉 = 2 0 V e 𝐼 = 5 A .

  • A 5 4 Ω/s
  • B 4 5 Ω/s
  • C 5 8 Ω/s
  • D 8 5 Ω/s

Q22:

O volume de uma massa de gás conhecida, a uma temperatura constante, decresce a uma taxa constante de 9 cm3/s. Se a sua pressão é inversamente proporcional ao volume e a pressão é igual a 2‎ ‎200 gf/cm2 quando o volume é 250 cm3, determina a taxa de variação da pressão em relação ao tempo quando o volume do gás é de 100 cm3.

  • A 3 9 6 5 gf/cm2/s
  • B 49‎ ‎500 gf/cm2/s
  • C 198 gf/cm2/s
  • D 495 gf/cm2/s

Q23:

Um ponto move-se no gráfico da função 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝑥 + 2 . Se a sua coordenada em 𝑥 aumenta a uma taxa de 9 1 5 cm/s, determine a taxa de variação da distância entre este ponto e o ponto ( 1 , 0 ) para 𝑥 = 3 .

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