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Atividade: O Método de Massa Negativa

Q1:

Uma lâmina uniforme está na forma de um retângulo 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 no qual 𝐴 𝐵 = 6 4 c m e 𝐵 𝐶 = 2 4 0 c m . O canto 𝐴 𝐵 𝐸 , onde 𝐸 é o ponto médio de 𝐴 𝐷 , foi cortado. A lâmina resultante 𝐴 𝐶 𝐷 𝐸 foi suspensa livremente a partir do vértice 𝐶 . Determine a medida do ângulo do lado 𝐶 𝐵 faz para a vertical quando a lâmina está pendurada em sua posição de equilíbrio, indicando a sua resposta para o minuto mais próximo.

  • A 7 3 6
  • B 7 3 3
  • C 8 2 2 4
  • D 1 6 5 7

Q2:

Uma lâmina quadrada uniforme 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 tem de lado 28 cm. Um disco circular de raio 7 cm foi cortado da lâmina de tal forma que o seu centro estava a uma distância de 17 cm de 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐶 . Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante. Considere 𝜋 = 2 2 7 .

  • A 4 5 4 ; 5 9 7 5 6
  • B 1 9 9 3 0 ; 2 2 1 3 0
  • C 5 9 7 1 1 2 ; 4 5 8
  • D 2 2 1 1 5 ; 1 9 9 1 5

Q3:

Um fio uniforme de comprimento 135 cm foi dobrado em torno de cinco lados de um hexágono regular 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 . Determine a distância entre o centro de gravidade do fio e o centro do hexágono.

  • A 2 7 1 0 4 cm
  • B 2 7 4 7 1 2 cm
  • C 2 7 5 7 1 0 cm
  • D 2 7 3 1 0 cm

Q4:

Um cartão uniforme de forma quadrada 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 tem lado de comprimento 363 cm. As suas diagonais intersetam-se em 𝑁 . O triângulo 𝑁 𝐵 𝐶 foi cortado do cartão e a parte restante foi pendurada a partir de um ponto 𝐸 , em 𝐴 𝐵 . Sabendo que, quando o corpo está pendurado na sua posição de equilíbrio, 𝐴 𝐵 está horizontal, calcule o comprimento 𝐴 𝐸 .

  • A 6 0 5 6 cm
  • B 6 0 5 8 cm
  • C 8 4 7 8 cm
  • D 8 4 7 6 cm

Q5:

Uma lâmina retangular uniforme 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 tem lados de comprimentos 𝐴 𝐵 = 2 4 c m e 𝐵 𝐶 = 1 1 c m . Um corte reto foi feito do ponto 𝐸 no lado 𝐵 𝐶 ao ponto 𝐹 no lado 𝐵 𝐴 , dividindo a lâmina na lâmina triangular 𝐵 𝐸 𝐹 e a lâmina pentagonal 𝐴 𝐹 𝐸 𝐶 𝐷 . Quando 𝐴 𝐹 𝐸 𝐶 𝐷 é colocado apoiado na aresta 𝐶 𝐸 , está a ponto de tombar em 𝐸 . Sabendo que 𝐵 𝐸 = 6 c m , determine a distância 𝐵 𝐹 .

  • A 2 2 7 cm
  • B 22 cm
  • C 1 1 2 cm
  • D 11 cm

Q6:

Uma lâmina retangular uniforme 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 em que 𝐴 𝐵 = 2 4 c m , 𝐵 𝐶 = 4 8 c m pertence ao primeiro quadrante de um plano cartesiano tal que 𝐵 está na origem e 𝐶 pertence ao eixo O 𝑥 . O ponto 𝑁 pertence à aresta 𝐴 𝐷 tal que 𝐷 𝑁 = 3 2 c m . O triângulo 𝑁 𝐶 𝐷 foi cortado da lâmina. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A 5 2 3 ; 2 8
  • B 1 9 6 3 ; 1 0
  • C 8 0 3 ; 1 4
  • D 5 2 3 ; 1 0

Q7:

Uma lâmina uniforme de forma retangular 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 em que 𝐴 𝐵 = 5 6 c m e 𝐵 𝐶 = 3 5 c m . Os dois pontos 𝐸 e 𝐹 pertencem a 𝐴 𝐵 tal que 𝐴 𝐸 = 𝐵 𝐹 = 1 4 c m . O triângulo 𝑀 𝐸 𝐹 , em que 𝑀 é o centro do retângulo, é cortado da lâmina. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante. Dado que a lâmina foi pendurada de 𝐷 , determine a tangente do ângulo que 𝐷 𝐴 faz com a vertical, t g 𝜃 , quando a lâmina está pendurada na posição de equilíbrio.

  • A 2 8 , 9 5 6 , t g 𝜃 = 9 5 1 6 8
  • B 9 5 6 , 2 8 , t g 𝜃 = 1 6 8 9 5
  • C 9 5 6 , 2 8 , t g 𝜃 = 9 5 1 6 8
  • D 2 8 , 9 5 6 , t g 𝜃 = 1 6 8 9 5

Q8:

O diagrama mostra uma lâmina uniforme 𝐴 𝐵 𝐶 da qual um triângulo 𝐺 𝐵 𝐶 foi cortado. 𝐴 𝐵 𝐶 era um triângulo equilátero com um lado de comprimento 93 cm e centro de massa 𝐺 . Determine as coordenadas do novo centro de massa da lâmina resultante. Arredonde a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A ( 4 6 , 5 ; 3 3 , 5 6 )
  • B ( 3 5 , 8 ; 4 6 , 5 )
  • C ( 3 3 , 5 6 ; 4 6 , 5 )
  • D ( 4 6 , 5 ; 3 5 , 8 )

Q9:

Um disco circular uniforme com centro 𝑁 tem um raio de 72 cm. O ponto 𝐹 está a 36 cm do centro. Uma reta é desenhada perpendicular a 𝐹 𝑁 que toca o bordo do disco em 𝑆 e 𝑇 . Dois orifícios circulares de raios 12 cm são cortados no disco de tal forma que os seus centros pertencem a 𝑆 𝑇 é intersetam-se em 𝐹 . Determine a distância 𝑑 entre 𝑁 e o centro de massa da figura resultante. O disco foi, em seguida, pendurado em 𝑍 , o ponto em que o raio é perpendicular a 𝐹 𝑁 interseta o bordo do disco. Quando o disco está pendurado em equilíbrio, 𝑍 𝑁 faz um ângulo de 𝜃 com a vertical; determine t g 𝜃 .

  • A 𝑑 = 1 2 1 7 c m , t g 𝜃 = 1 0 2
  • B 𝑑 = 3 6 1 7 c m , t g 𝜃 = 3 4
  • C 𝑑 = 1 2 1 7 c m , t g 𝜃 = 1 1 0 2
  • D 𝑑 = 3 6 1 7 c m , t g 𝜃 = 1 3 4

Q10:

Uma lâmina quadrada uniforme 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 tem lado de comprimento 4 cm. As suas diagonais intersetam-se em 𝑀 . O ponto 𝐸 é o ponto médio de 𝐷 𝑀 . O triângulo 𝐸 𝐴 𝐷 foi cortado da lâmina. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante. A lâmina está suspensa no ponto 𝐴 . Se o ângulo que 𝐴 𝐵 faz com a vertical quando a lâmina está pendurada na sua posição de equilíbrio for denotado por 𝜃 , determine t g 𝜃 .

  • A 4 7 2 1 ; 4 1 2 1 , t g 𝜃 = 4 7 4 1
  • B 4 1 2 1 ; 4 7 2 1 , t g 𝜃 = 4 1 4 7
  • C 4 1 2 1 ; 4 7 2 1 , t g 𝜃 = 4 7 4 1
  • D 4 7 2 1 ; 4 1 2 1 , t g 𝜃 = 4 1 4 7

Q11:

Uma lâmina uniforme de forma retangular 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 em que 𝐴 𝐵 = 3 7 c m e 𝐴 𝐷 = 2 3 c m . Dois pontos 𝐸 e 𝐹 pertencem a 𝐵 𝐷 tal que 𝐵 𝐹 = 1 0 c m e 𝐷 𝐸 = 1 5 c m . Um orifício de raio 5 cm é perfurado em 𝐹 e outro de raio 4 cm é perfurado em 𝐸 . Determine as coordenadas do ponto 𝑁 em 𝐴 𝐵 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴 𝐵 fica horizontal quando pendurada na posição de equilíbrio. Em seguida, determine as coordenadas do ponto 𝐾 em 𝐴 𝐷 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴 𝐷 fica horizontal quando pendurada na posição em equilíbrio. Arredonde a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A 𝑁 ( 2 3 ; 3 6 , 7 6 ) , 𝐾 ( 1 0 , 3 2 ; 3 7 )
  • B 𝑁 ( 2 3 ; 2 3 7 ) , 𝐾 ( 2 4 , 6 2 ; 3 7 )
  • C 𝑁 ( 2 3 ; 5 8 , 8 6 ) , 𝐾 ( 5 0 , 8 1 ; 3 7 )
  • D 𝑁 ( 2 3 ; 1 9 , 1 9 ) , 𝐾 ( 1 1 , 0 7 ; 3 7 )

Q12:

Uma lâmina uniforme de forma retangular 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 em que 𝐴 𝐵 = 4 1 c m e 𝐴 𝐷 = 4 7 c m . Dois pontos 𝐸 e 𝐹 pertencem a 𝐵 𝐷 tal que 𝐵 𝐹 = 1 5 c m e 𝐷 𝐸 = 2 3 c m . Um orifício de raio 8 cm é perfurado em 𝐹 e outro de raio 6 cm é perfurado em 𝐸 . Determine as coordenadas do ponto 𝑁 em 𝐴 𝐵 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴 𝐵 fica horizontal quando pendurada na posição de equilíbrio. Em seguida, determine as coordenadas do ponto 𝐾 em 𝐴 𝐷 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴 𝐷 fica horizontal quando pendurada na posição em equilíbrio. Arredonde a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A 𝑁 ( 4 7 ; 4 1 , 4 8 ) , 𝐾 ( 2 0 , 5 7 ; 4 1 )
  • B 𝑁 ( 4 7 ; 3 6 5 , 0 2 ) , 𝐾 ( 5 0 , 4 9 ; 4 1 )
  • C 𝑁 ( 4 7 ; 4 9 , 5 4 ) , 𝐾 ( 1 0 4 , 5 8 ; 4 1 )
  • D 𝑁 ( 4 7 ; 2 1 , 4 5 ) , 𝐾 ( 2 2 , 4 1 ; 4 1 )

Q13:

Uma lâmina de forma quadrada 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 de lado de medida 222 cm tem uma massa de um quilograma. O ponto médio de 𝐴 𝐷 , 𝐴 𝐵 e 𝐵 𝐶 são denotados por 𝑇 , 𝑁 e 𝐾 , respetivamente. Os cantos 𝑇 𝐴 𝑁 e 𝑁 𝐵 𝐾 foram dobrados de tal forma que ficam justos à superfície da lâmina. Os corpos de massas 365 g e 294 g foram fixados aos pontos 𝑇 e 𝐾 , respetivamente. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema, arredondando a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A ( 1 6 1 , 1 8 ; 1 0 6 , 2 5 )
  • B ( 1 0 5 , 4 2 ; 1 3 4 , 1 7 )
  • C ( 1 4 4 , 6 1 ; 1 1 1 , 8 3 )
  • D ( 1 0 5 , 4 2 ; 1 0 6 , 2 5 )

Q14:

A figura mostra uma lâmina quadrada uniforme com lado de comprimento 18 cm. É dividida em nove quadrados congruentes como se mostra. Dado que o quadrado 𝐶 foi cortado e destacado do quadrado 𝐴 , determine as coordenadas do centro de gravidade da lâmina resultante.

  • A 6 9 1 0 , 8 1 1 0
  • B 6 9 8 , 8 1 8
  • C 2 5 3 , 9
  • D 2 3 3 , 9

Q15:

Uma lâmina de formato retangular uniforme 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 onde 𝐴 𝐵 = 1 4 c m e 𝐵 𝐶 = 1 5 c m tem uma massa de 𝑚 . Seu centro é denotado por 𝑁 . O triângulo 𝑁 𝐴 𝐵 é cortado da lâmina. Massas de 3 𝑚 , 5 𝑚 , 2 𝑚 , 2 𝑚 , e 3 8 𝑚 estão ligados à lâmina resultante em pontos 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 , e 𝑁 respectivamente. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema, arredondando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

  • A ( 2 , 8 3 ; 5 , 9 3 )
  • B ( 9 , 6 9 ; 3 , 8 4 )
  • C ( 9 , 2 4 ; 6 , 4 9 )
  • D ( 9 , 6 9 ; 5 , 9 3 )

Q16:

Uma lâmina uniforme triangular 𝐴 𝐵 𝐶 é tal que 𝑚 ( 𝐵 ) = 9 0 , 𝐴 𝐵 = 2 0 c m e 𝐵 𝐶 = 2 7 c m . Um buraco circular de raio 3 cm centrado no ponto de interseção das medianas do triângulo 𝐴 𝐵 𝐶 foi cortado e retirado da lâmina. O ponto 𝐷 está na reta 𝐴 𝐵 tal que 𝐴 𝐷 = 5 c m . Outro corte foi feito a começar do ponto 𝐷 , continuando paralelo à base 𝐵 𝐶 , até intersetar 𝐴 𝐶 em 𝐸 . O triângulo 𝐴 𝐷 𝐸 foi removido. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante, arredondando a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A ( 1 4 , 8 3 ; 9 , 8 6 )
  • B ( 5 , 9 2 ; 9 , 5 1 )
  • C ( 9 , 8 6 ; 1 4 , 8 3 )
  • D ( 9 , 5 1 ; 5 , 9 2 )

Q17:

Um triângulo equilátero 𝐴 𝐵 𝐶 tem um comprimento lateral de 82 cm. Quando três massas iguais são colocadas nos vértices do triângulo, o centro de massa do sistema é 𝐺 . Quando a massa no vértice 𝐶 é removida, o centro de massa do sistema é 𝐺 . Encontre as coordenadas do centro de massa dos dois sistemas 𝐺 e 𝐺 .

  • A 𝐺 4 1 ; 4 1 3 3 , 𝐺 4 1 2 ; 8 2 3 3
  • B 𝐺 4 1 ; 8 2 3 3 , 𝐺 4 1 2 ; 4 1 3 2
  • C 𝐺 4 1 ; 8 2 3 3 , 𝐺 4 1 2 ; 8 2 3 3
  • D 𝐺 4 1 ; 4 1 3 3 , 𝐺 4 1 2 ; 4 1 3 2