Atividade: O Método de Massa Negativa

Nesta atividade, nós vamos praticar a resolver problemas no método de massa negativa.

Q1:

Uma lâmina uniforme de forma retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷 em que 𝐴𝐵=37cm e 𝐴𝐷=23cm. Dois pontos 𝐸 e 𝐹 pertencem a 𝐵𝐷 tal que 𝐵𝐹=10cm e 𝐷𝐸=15cm. Um orifício de raio 5 cm é perfurado em 𝐹 e outro de raio 4 cm é perfurado em 𝐸. Determine as coordenadas do ponto 𝑁 em 𝐴𝐵 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴𝐵 fica horizontal quando pendurada na posição de equilíbrio. Em seguida, determine as coordenadas do ponto 𝐾 em 𝐴𝐷 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴𝐷 fica horizontal quando pendurada na posição em equilíbrio. Arredonde a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A𝑁(23,58,86), 𝐾(50,81,37)
  • B𝑁(23,36,76), 𝐾(10,32,37)
  • C𝑁(23,19,19), 𝐾(11,07,37)
  • D𝑁(23,237), 𝐾(24,62,37)

Q2:

Um fio uniforme de comprimento 135 cm foi dobrado em torno de cinco lados de um hexágono regular 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹. Determine a distância entre o centro de gravidade do fio e o centro do hexágono.

  • A275710 cm
  • B27104 cm
  • C274712 cm
  • D27310 cm

Q3:

Uma lâmina uniforme está na forma de um retângulo 𝐴𝐵𝐶𝐷 no qual 𝐴𝐵=64cm e 𝐵𝐶=240cm. O canto 𝐴𝐵𝐸, onde 𝐸 é o ponto médio de 𝐴𝐷, foi cortado. A lâmina resultante 𝐴𝐶𝐷𝐸 foi suspensa livremente a partir do vértice 𝐶. Determine a medida do ângulo do lado 𝐶𝐵 faz para a vertical quando a lâmina está pendurada em sua posição de equilíbrio, indicando a sua resposta para o minuto mais próximo.

  • A1657
  • B733
  • C8224
  • D736

Q4:

Uma lâmina retangular uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem lados de comprimentos 𝐴𝐵=24cm e 𝐵𝐶=11cm. Um corte reto foi feito do ponto 𝐸 no lado 𝐵𝐶 ao ponto 𝐹 no lado 𝐵𝐴, dividindo a lâmina na lâmina triangular 𝐵𝐸𝐹 e a lâmina pentagonal 𝐴𝐹𝐸𝐶𝐷. Quando 𝐴𝐹𝐸𝐶𝐷 é colocado apoiado na aresta 𝐶𝐸, está a ponto de tombar em 𝐸. Sabendo que 𝐵𝐸=6cm, determine a distância 𝐵𝐹.

  • A11 cm
  • B112 cm
  • C22 cm
  • D227 cm

Q5:

Um cartão uniforme de forma quadrada 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem lado de comprimento 363 cm. As suas diagonais intersetam-se em 𝑁. O triângulo 𝑁𝐵𝐶 foi cortado do cartão e a parte restante foi pendurada a partir de um ponto 𝐸, em 𝐴𝐵. Sabendo que, quando o corpo está pendurado na sua posição de equilíbrio, 𝐴𝐵 está horizontal, calcule o comprimento 𝐴𝐸.

  • A6056 cm
  • B8476 cm
  • C6058 cm
  • D8478 cm

Q6:

Um triângulo equilátero 𝐴𝐵𝐶 tem um comprimento lateral de 82 cm. Quando três massas iguais são colocadas nos vértices do triângulo, o centro de massa do sistema é 𝐺. Quando a massa no vértice 𝐶 é removida, o centro de massa do sistema é 𝐺. Encontre as coordenadas do centro de massa dos dois sistemas 𝐺 e 𝐺.

  • A𝐺41,8233, 𝐺412,8233
  • B𝐺41,4133, 𝐺412,4132
  • C𝐺41,8233, 𝐺412,4132
  • D𝐺41,4133, 𝐺412,8233

Q7:

A figura mostra uma lâmina quadrada uniforme com lado de comprimento 18 cm. É dividida em nove quadrados congruentes como se mostra. Dado que o quadrado 𝐶 foi cortado e destacado do quadrado 𝐴, determine as coordenadas do centro de gravidade da lâmina resultante.

  • A233,9
  • B6910,8110
  • C253,9
  • D698,818

Q8:

O diagrama mostra uma lâmina uniforme 𝐴𝐵𝐶 da qual um triângulo 𝐺𝐵𝐶 foi cortado. 𝐴𝐵𝐶 era um triângulo equilátero com um lado de comprimento 93 cm e centro de massa 𝐺. Determine as coordenadas do novo centro de massa da lâmina resultante. Arredonde a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A(35,8,46,5)
  • B(46,5,35,8)
  • C(33,56,46,5)
  • D(46,5,33,56)

Q9:

Uma lâmina uniforme de forma retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷 em que 𝐴𝐵=56cm e 𝐵𝐶=35cm. Os dois pontos 𝐸 e 𝐹 pertencem a 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝐸=𝐵𝐹=14cm. O triângulo 𝑀𝐸𝐹, em que 𝑀 é o centro do retângulo, é cortado da lâmina. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante. Dado que a lâmina foi pendurada de 𝐷, determine a tangente do ângulo que 𝐷𝐴 faz com a vertical, tan𝜃, quando a lâmina está pendurada na posição de equilíbrio.

  • A28,956, tan𝜃=16895
  • B956,28, tan𝜃=16895
  • C28,956, tan𝜃=95168
  • D956,28, tan𝜃=95168

Q10:

Uma lâmina de forma quadrada 𝐴𝐵𝐶𝐷 de lado de medida 222 cm tem uma massa de um quilograma. O ponto médio de 𝐴𝐷, 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶 são denotados por 𝑇, 𝑁 e 𝐾, respetivamente. Os cantos 𝑇𝐴𝑁 e 𝑁𝐵𝐾 foram dobrados de tal forma que ficam justos à superfície da lâmina. Os corpos de massas 365 g e 294 g foram fixados aos pontos 𝑇 e 𝐾, respetivamente. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema, arredondando a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A(144,61,111,83)
  • B(161,18,106,25)
  • C(105,42,134,17)
  • D(105,42,106,25)

Q11:

Um disco circular uniforme com centro 𝑁 tem um raio de 72 cm. O ponto 𝐹 está a 36 cm do centro. Uma reta é desenhada perpendicular a 𝐹𝑁 que toca o bordo do disco em 𝑆 e 𝑇. Dois orifícios circulares de raios 12 cm são cortados no disco de tal forma que os seus centros pertencem a 𝑆𝑇 é intersetam-se em 𝐹. Determine a distância 𝑑 entre 𝑁 e o centro de massa da figura resultante. O disco foi, em seguida, pendurado em 𝑍, o ponto em que o raio é perpendicular a 𝐹𝑁 interseta o bordo do disco. Quando o disco está pendurado em equilíbrio, 𝑍𝑁 faz um ângulo de 𝜃 com a vertical; determine tg𝜃.

  • A𝑑=3617cm, tg𝜃=34
  • B𝑑=1217cm, tg𝜃=1102
  • C𝑑=3617cm, tg𝜃=134
  • D𝑑=1217cm, tg𝜃=102

Q12:

Uma lâmina quadrada uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem de lado 28 cm. Um disco circular de raio 7 cm foi cortado da lâmina de tal forma que o seu centro estava a uma distância de 17 cm de 𝐴𝐵 e 𝐵𝐶. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante. Considere 𝜋=227.

  • A22115,19915
  • B454,59756
  • C597112,458
  • D19930,22130

Q13:

Uma lâmina retangular uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 em que 𝐴𝐵=24cm, 𝐵𝐶=48cm pertence ao primeiro quadrante de um plano cartesiano tal que 𝐵 está na origem e 𝐶 pertence ao eixo O𝑥. O ponto 𝑁 pertence à aresta 𝐴𝐷 tal que 𝐷𝑁=32cm. O triângulo 𝑁𝐶𝐷 foi cortado da lâmina. Determine as coordenadas do centro de gravidade do sistema.

  • A1963,10
  • B803,14
  • C523,10
  • D523,28

Q14:

Uma lâmina de formato retangular uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 onde 𝐴𝐵=14cm e 𝐵𝐶=15cm tem uma massa de 𝑚. Seu centro é denotado por 𝑁. O triângulo 𝑁𝐴𝐵 é cortado da lâmina. Massas de 3𝑚, 5𝑚, 2𝑚, 2𝑚, e 38𝑚 estão ligados à lâmina resultante em pontos 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, e 𝑁 respectivamente. Determine as coordenadas do centro de massa do sistema, arredondando sua resposta para duas casas decimais, se necessário.

  • A(9,69,5,93)
  • B(9,69,3,84)
  • C(2,83,5,93)
  • D(9,24,6,49)

Q15:

Uma lâmina quadrada uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem lado de comprimento 4 cm. As suas diagonais intersetam-se em 𝑀. O ponto 𝐸 é o ponto médio de 𝐷𝑀. O triângulo 𝐸𝐴𝐷 foi cortado da lâmina. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante. A lâmina está suspensa no ponto 𝐴. Se o ângulo que 𝐴𝐵 faz com a vertical quando a lâmina está pendurada na sua posição de equilíbrio for denotado por 𝜃, determine tg𝜃.

  • A4721,4121, tg𝜃=4741
  • B4121,4721, tg𝜃=4147
  • C4121,4721, tg𝜃=4741
  • D4721,4121, tg𝜃=4147

Q16:

Uma lâmina uniforme triangular 𝐴𝐵𝐶 é tal que 𝑚(̂𝐵)=90, 𝐴𝐵=20cm e 𝐵𝐶=27cm. Um buraco circular de raio 3 cm centrado no ponto de interseção das medianas do triângulo 𝐴𝐵𝐶 foi cortado e retirado da lâmina. O ponto 𝐷 está na reta 𝐴𝐵 tal que 𝐴𝐷=5cm. Outro corte foi feito a começar do ponto 𝐷, continuando paralelo à base 𝐵𝐶, até intersetar 𝐴𝐶 em 𝐸. O triângulo 𝐴𝐷𝐸 foi removido. Determine as coordenadas do centro de massa da lâmina resultante, arredondando a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A(9,86;14,83)
  • B(9,51;5,92)
  • C(14,83;9,86)
  • D(5,92;9,51)

Q17:

Uma lâmina uniforme 𝐴𝐵𝐶𝐷 tem a forma de um quadrado de comprimento lateral 51 cm. Os pontos 𝐸 e 𝐹 são os pontos médios de [𝐴𝐵] e [𝐴𝐷], respectivamente. O canto 𝐴𝐸𝐹 foi dobrado ao longo da reta [𝐸𝐹] de modo que o ponto 𝐴 alinha-se com 𝑀, o centro do quadrado, como mostrado no diagrama. Determine as coordenadas do centro de gravidade da lâmina nesta forma.

  • A178,178
  • B1716,1716
  • C1716,1716
  • D8516,8516

Q18:

Determina as coordenadas do centro de massa da seguinte figura que está desenhada na grelha de quadrados unitários.

  • A92,12411
  • B92,4
  • C18922,8411
  • D(9,8)
  • E27922,4

Q19:

Uma lâmina uniforme de forma retangular 𝐴𝐵𝐶𝐷 em que 𝐴𝐵=41cm e 𝐴𝐷=47cm. Dois pontos 𝐸 e 𝐹 pertencem a 𝐵𝐷 tal que 𝐵𝐹=15cm e 𝐷𝐸=23cm. Um orifício de raio 8 cm é perfurado em 𝐹 e outro de raio 6 cm é perfurado em 𝐸. Determine as coordenadas do ponto 𝑁 em 𝐴𝐵 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴𝐵 fica horizontal quando pendurada na posição de equilíbrio. Em seguida, determine as coordenadas do ponto 𝐾 em 𝐴𝐷 a partir do qual a lâmina pode ser pendurada de tal forma que 𝐴𝐷 fica horizontal quando pendurada na posição em equilíbrio. Arredonde a resposta a duas casas decimais, se necessário.

  • A𝑁(47,49,54), 𝐾(104,58,41)
  • B𝑁(47,41,48), 𝐾(20,57,41)
  • C𝑁(47,21,45), 𝐾(22,41,41)
  • D𝑁(47,365,02), 𝐾(50,49,41)

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