Atividade: Equação Cartesiana de uma Esfera no Espaço

Nesta atividade, nós vamos praticar a escrever a equação de uma esfera dado o centro e como determinar o centro e o raio dada a equação da esfera.

Q1:

A equação dada 2 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 4 𝑥 + 4 𝑦 + 4 𝑧 4 4 = 0 descreve uma esfera? Se sim, encontre seu raio e centro.

  • Asim, descreve uma esfera. Seu raio é 5 e seu centro está em ( 1 , 1 , 1 ) .
  • Bnão, não descreve uma esfera.
  • Csim, descreve uma esfera. Seu raio é 11 e seu centro está em ( 1 , 1 , 1 ) .
  • Dsim, descreve uma esfera. Seu raio é 5 e seu centro está em ( 1 , 1 , 1 ) .
  • Esim, descreve uma esfera. Seu raio é 11 e seu centro está em ( 1 , 1 , 1 ) .

Q2:

Determine se a equação dada 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 2 𝑥 2 𝑦 8 𝑧 + 1 9 = 0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ASim, descreve uma esfera. Seu raio é 1 e seu centro está em ( 1 , 1 , 4 ) .
  • BSim, descreve uma esfera. Seu raio é 1 e seu centro está em ( 1 , 1 , 4 ) .
  • CSim, descreve uma esfera. Seu raio é 2 e seu centro está em ( 1 , 1 , 4 ) .
  • DNão, ela não descreve uma esfera.
  • ESim, descreve uma esfera. Seu raio é 2 e seu centro está em ( 1 , 1 , 4 ) .

Q3:

Determine se a equação dada 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 4 𝑥 6 𝑦 1 0 𝑧 + 3 7 = 0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ASim, descreve uma esfera. Seu raio é 1 e seu centro está em ( 2 , 3 , 5 ) .
  • BNão, ela não descreve uma esfera.
  • CSim, descreve uma esfera. Seu raio é 5 e seu centro está em ( 2 , 3 , 5 ) .
  • DSim, descreve uma esfera. Seu raio é 1 e seu centro está em ( 2 , 3 , 5 ) .
  • ESim, descreve uma esfera. Seu raio é 5 e seu centro está em ( 2 , 3 , 5 ) .

Q4:

Encontre a equação de uma esfera que passa pelos pontos 𝐴 ( 9 , 0 , 0 ) , 𝐵 ( 3 , 1 3 , 5 ) , e 𝐶 ( 1 1 , 0 , 1 0 ) , dado que o seu centro está no plano 𝑦 𝑧 .

  • A 𝑥 𝑦 𝑧 + 2 𝑦 + 7 𝑧 + 8 1 = 0
  • B 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 2 𝑦 7 𝑧 8 1 = 0
  • C 𝑥 𝑦 𝑧 + 4 𝑦 + 1 4 𝑧 + 8 1 = 0
  • D 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 4 𝑦 1 4 𝑧 8 1 = 0

Q5:

Dê a equação da esfera de centro ( 1 1 , 8 , 5 ) e raio 3 na forma padrão.

  • A ( 𝑥 + 1 1 ) + ( 𝑦 + 8 ) + ( 𝑧 5 ) = 3
  • B ( 𝑥 + 1 1 ) + ( 𝑦 + 8 ) + ( 𝑧 5 ) = 9
  • C ( 𝑥 1 1 ) + ( 𝑦 8 ) + ( 𝑧 + 5 ) = 3
  • D ( 𝑥 1 1 ) + ( 𝑦 8 ) + ( 𝑧 + 5 ) = 9

Q6:

Qual das seguintes é a equação da superfície esférica de centro ( 8 , 1 5 , 1 0 ) e que passa por ( 1 4 , 1 3 , 1 4 ) ?

  • A ( 𝑥 8 ) + ( 𝑦 + 1 5 ) + ( 𝑧 1 0 ) = 5 6
  • B ( 𝑥 8 ) ( 𝑦 + 1 5 ) ( 𝑧 1 0 ) = 1 8 4 4
  • C ( 𝑥 8 ) ( 𝑦 + 1 5 ) ( 𝑧 1 0 ) = 5 6
  • D ( 𝑥 8 ) + ( 𝑦 + 1 5 ) + ( 𝑧 1 0 ) = 1 8 4 4

Q7:

Determine a equação da superfície esférica de centro ( 0 , 1 , 0 ) , sabendo que interseta os planos coordenados.

  • A 𝑥 + ( 𝑦 + 1 ) + 𝑧 = 1
  • B 𝑥 ( 𝑦 1 ) 𝑧 = 1
  • C 𝑥 ( 𝑦 + 1 ) 𝑧 = 1
  • D 𝑥 + ( 𝑦 1 ) + 𝑧 = 1

Q8:

Dado que a equação de uma esfera é ( 𝑥 + 5 ) + ( 𝑦 1 2 ) + ( 𝑧 2 ) 2 8 9 = 0 , determine seu centro e raio.

  • A ( 5 , 1 2 , 2 ) , 289 unidades de comprimento
  • B ( 5 , 1 2 , 2 ) , 289 unidades de comprimento
  • C ( 5 , 1 2 , 2 ) , 17 unidades de comprimento
  • D ( 5 , 1 2 , 2 ) , 17 unidades de comprimento

Q9:

Uma esfera de raio 2 é tangente aos três planos coordenados. Sabendo que as coordenadas do seu centro são positivas, qual é a equação desta esfera?

  • A ( 𝑥 4 ) + ( 𝑦 4 ) + ( 𝑧 4 ) = 4
  • B ( 𝑥 2 ) + ( 𝑦 2 ) + ( 𝑧 2 ) = 2
  • C ( 𝑥 + 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 + 2 ) = 4
  • D ( 𝑥 2 ) + ( 𝑦 2 ) + ( 𝑧 2 ) = 4

Q10:

Determine a área da superfície da esfera da equação 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 1 4 4 4 = 0 , deixando sua resposta em termos de 𝜋 .

  • A 1 5 2 𝜋
  • B 2 8 8 8 𝜋
  • C 7 6 𝜋
  • D 5 7 7 6 𝜋

Q11:

Sendo 𝐴 ( 0 , 4 , 4 ) e [ 𝐴 𝐵 ] o diâmetro da superfície esférica ( 𝑥 + 2 ) + ( 𝑦 + 1 ) + ( 𝑧 1 ) = 3 8 , quais são as coordenadas do ponto 𝐵 ?

  • A ( 2 , 5 , 3 )
  • B ( 4 , 6 , 2 )
  • C ( 2 , 5 , 3 )
  • D ( 4 , 6 , 2 )

Q12:

Encontre a equação da esfera concêntrica com 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑥 5 𝑦 + 4 𝑧 = 3 , mas com o dobro do raio.

  • A 𝑥 + 1 2 + 𝑦 5 2 + ( 𝑧 + 2 ) = 2 7
  • B 𝑥 + 1 2 𝑦 5 2 ( 𝑧 + 2 ) = 5 4
  • C 𝑥 + 1 2 𝑦 5 2 ( 𝑧 + 2 ) = 2 7
  • D 𝑥 + 1 2 + 𝑦 5 2 + ( 𝑧 + 2 ) = 5 4

Q13:

Uma esfera é tangente ao plano 𝑥 𝑦 , e tem seu centro no eixo 𝑧 a uma distância de 35 unidades de comprimento do plano 𝑥 𝑦 . Qual é a equação da esfera?

  • A 𝑥 + ( 𝑦 + 3 5 ) + 𝑧 = 1 2 2 5 ou 𝑥 + ( 𝑦 3 5 ) + 𝑧 = 1 2 2 5
  • B ( 𝑥 + 3 5 ) + 𝑦 + 𝑧 = 1 2 2 5 ou ( 𝑥 3 5 ) + 𝑦 + 𝑧 = 1 2 2 5
  • C 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 2 2 5 ou 𝑥 𝑦 𝑧 = 1 2 2 5
  • D 𝑥 + 𝑦 + ( 𝑧 + 3 5 ) = 1 2 2 5 ou 𝑥 + 𝑦 + ( 𝑧 3 5 ) = 1 2 2 5

Q14:

A reta 𝑥 + 9 1 0 = 𝑦 + 4 4 = 𝑧 8 5 é tangente a esfera ( 𝑥 7 ) + ( 𝑦 + 3 ) + ( 𝑧 7 ) = 𝑟 . Encontre o raio da esfera até o centésimo mais próximo.

Q15:

Determine se a equação dada 𝑥 + 𝑦 𝑧 + 1 2 𝑥 + 2 𝑦 4 𝑧 + 3 2 = 0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ASim, descreve uma esfera de raio 1 centrada em ( 6 , 1 , 2 ) .
  • BSim, descreve uma esfera de raio 1 centrada em ( 6 , 1 , 2 ) .
  • CSim, descreve uma esfera de raio 3 centrada em ( 6 , 1 , 2 ) .
  • DNão, não descreve uma esfera.
  • ESim, descreve uma esfera de raio 2 centrada em ( 6 , 1 , 2 ) .

Q16:

As esferas com equações 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 9 e ( 𝑥 4 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 4 ) = 9 se cruzam em um círculo. Encontre a equação do plano em que este círculo se encontra.

  • A 8 𝑥 4 𝑦 + 8 𝑧 5 4 = 0
  • B 8 𝑥 4 𝑦 + 8 𝑧 2 7 = 0
  • C 2 𝑥 𝑦 + 2 𝑧 + 9 = 0
  • D 2 𝑥 𝑦 + 2 𝑧 9 = 0
  • E 2 𝑥 + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 9 = 0

Q17:

Encontre o(s) ponto(s) de interseção da esfera ( 𝑥 3 ) + ( 𝑦 + 1 ) + ( 𝑧 3 ) = 9 e da reta 𝑥 = 1 + 2 𝑡 , 𝑦 = 2 3 𝑡 , 𝑧 = 3 + 𝑡 .

  • A 2 + 8 7 7 , 3 4 + 3 8 7 1 4 , 4 7 + 8 7 1 4 , 2 8 7 7 , 3 4 3 8 7 1 4 , 4 7 8 7 1 4
  • B ( 3 , 1 , 3 )
  • C ( 1 , 2 , 3 )
  • Dsem ponto de intersecção
  • E 1 2 7 , 1 3 1 4 , 3 7 1 4 , 2 7 , 4 3 1 4 , 4 7 1 4

Q18:

Pode ser mostrado que quaisquer quatro pontos não coplanares determinam uma esfera. Encontre a equação da esfera que passa pelos pontos ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 ) , ( 1 , 4 , 3 ) e ( 0 , 1 , 3 ) .

  • A 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0
  • B ( 𝑥 + 2 ) + ( 𝑦 2 ) + ( 𝑧 + 1 ) = 9
  • C ( 𝑥 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 1 ) = 0
  • D ( 𝑥 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 1 ) = 9
  • E ( 𝑥 + 2 ) + ( 𝑦 2 ) + ( 𝑧 + 1 ) = 0

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