Atividade: Equação Cartesiana de uma Esfera no Espaço

Nesta atividade, nós vamos praticar a escrever a equação de uma esfera dado o centro e como determinar o centro e o raio dada a equação da esfera.

Q1:

Encontre a equação de uma esfera que passa pelos pontos 𝐴(9,0,0), 𝐡(3,13,5), e 𝐢(11,0,10), dado que o seu centro estΓ‘ no plano 𝑦𝑧.

  • Aπ‘₯+𝑦+π‘§βˆ’2π‘¦βˆ’7π‘§βˆ’81=0
  • Bπ‘₯βˆ’π‘¦βˆ’π‘§+4𝑦+14𝑧+81=0
  • Cπ‘₯+𝑦+π‘§βˆ’4π‘¦βˆ’14π‘§βˆ’81=0
  • Dπ‘₯βˆ’π‘¦βˆ’π‘§+2𝑦+7𝑧+81=0

Q2:

DΓͺ a equação da esfera de centro (11,8,βˆ’5) e raio 3 na forma padrΓ£o.

  • A(π‘₯+11)+(𝑦+8)+(π‘§βˆ’5)=9
  • B(π‘₯+11)+(𝑦+8)+(π‘§βˆ’5)=3
  • C(π‘₯βˆ’11)+(π‘¦βˆ’8)+(𝑧+5)=3
  • D(π‘₯βˆ’11)+(π‘¦βˆ’8)+(𝑧+5)=9

Q3:

Qual das seguintes Γ© a equação da superfΓ­cie esfΓ©rica de centro (8,βˆ’15,10) e que passa por (βˆ’14,13,βˆ’14)?

  • A(π‘₯βˆ’8)βˆ’(𝑦+15)βˆ’(π‘§βˆ’10)=1844
  • B(π‘₯βˆ’8)+(𝑦+15)+(π‘§βˆ’10)=56
  • C(π‘₯βˆ’8)βˆ’(𝑦+15)βˆ’(π‘§βˆ’10)=56
  • D(π‘₯βˆ’8)+(𝑦+15)+(π‘§βˆ’10)=1844

Q4:

Determine a equação da superfície esférica de centro (0,1,0), sabendo que interseta os planos coordenados.

  • Aπ‘₯+(π‘¦βˆ’1)+𝑧=1
  • Bπ‘₯+(𝑦+1)+𝑧=1
  • Cπ‘₯βˆ’(𝑦+1)βˆ’π‘§=1
  • Dπ‘₯βˆ’(π‘¦βˆ’1)βˆ’π‘§=1

Q5:

Dado que a equação de uma esfera Γ© (π‘₯+5)+(π‘¦βˆ’12)+(π‘§βˆ’2)βˆ’289=0, determine seu centro e raio.

  • A(5,βˆ’12,βˆ’2), 17 unidades de comprimento
  • B(βˆ’5,12,2), 289 unidades de comprimento
  • C(5,βˆ’12,βˆ’2), 289 unidades de comprimento
  • D(βˆ’5,12,2), 17 unidades de comprimento

Q6:

Uma esfera de raio 2 Γ© tangente aos trΓͺs planos coordenados. Sabendo que as coordenadas do seu centro sΓ£o positivas, qual Γ© a equação desta esfera?

  • A(π‘₯βˆ’4)+(π‘¦βˆ’4)+(π‘§βˆ’4)=4
  • B(π‘₯+2)+(𝑦+2)+(𝑧+2)=4
  • C(π‘₯βˆ’2)+(π‘¦βˆ’2)+(π‘§βˆ’2)=4
  • D(π‘₯βˆ’2)+(π‘¦βˆ’2)+(π‘§βˆ’2)=2

Q7:

Determine a Γ‘rea da superfΓ­cie da esfera da equação π‘₯+𝑦+π‘§βˆ’1444=0, deixando sua resposta em termos de πœ‹.

  • A152πœ‹
  • B76πœ‹
  • C2888πœ‹
  • D5776πœ‹

Q8:

Sendo 𝐴(0,4,4) e [𝐴𝐡] o diΓ’metro da superfΓ­cie esfΓ©rica (π‘₯+2)+(𝑦+1)+(π‘§βˆ’1)=38, quais sΓ£o as coordenadas do ponto 𝐡?

  • A(4,6,2)
  • B(βˆ’2,βˆ’5,βˆ’3)
  • C(2,5,3)
  • D(βˆ’4,βˆ’6,βˆ’2)

Q9:

Encontre a equação da esfera concΓͺntrica com π‘₯+𝑦+𝑧+π‘₯βˆ’5𝑦+4𝑧=3, mas com o dobro do raio.

  • Aο€Όπ‘₯+12οˆβˆ’ο€Όπ‘¦βˆ’52οˆβˆ’(𝑧+2)=27
  • Bο€Όπ‘₯+12οˆβˆ’ο€Όπ‘¦βˆ’52οˆβˆ’(𝑧+2)=54
  • Cο€Όπ‘₯+12+ο€Όπ‘¦βˆ’52+(𝑧+2)=54
  • Dο€Όπ‘₯+12+ο€Όπ‘¦βˆ’52+(𝑧+2)=27

Q10:

Uma esfera Γ© tangente ao plano π‘₯𝑦, e tem seu centro no eixo 𝑧 a uma distΓ’ncia de 35 unidades de comprimento do plano π‘₯𝑦. Qual Γ© a equação da esfera?

  • A(π‘₯+35)+𝑦+𝑧=1225 ou (π‘₯βˆ’35)+𝑦+𝑧=1225
  • Bπ‘₯+(𝑦+35)+𝑧=1225 ou π‘₯+(π‘¦βˆ’35)+𝑧=1225
  • Cπ‘₯+𝑦+(𝑧+35)=1225 ou π‘₯+𝑦+(π‘§βˆ’35)=1225
  • Dπ‘₯+𝑦+𝑧=1225 ou π‘₯βˆ’π‘¦βˆ’π‘§=1225

Q11:

Dado que as esferas (π‘₯+3)+(𝑦+5)+(𝑧+5)=36 e (π‘₯βˆ’1)+(π‘¦βˆ’2)+(π‘§βˆ’π‘˜)=100 sΓ£o tangenciais, determine todos os valores possΓ­veis de π‘˜.

  • Aπ‘˜=βˆ’βˆš191+5 ou π‘˜=βˆ’βˆš191βˆ’5
  • Bπ‘˜=βˆ’5+√191 ou π‘˜=βˆ’βˆš191βˆ’5
  • Cπ‘˜=5+√191 ou π‘˜=βˆ’5+√191
  • Dπ‘˜=5+√191 ou π‘˜=βˆ’βˆš191+5

Q12:

Encontre a equação da esfera com 𝐴=(9,βˆ’6,1) e 𝐡=(βˆ’16,βˆ’12,2) como extremidades de um diΓ’metro.

  • Aο€Όπ‘₯+72+(𝑦+9)+ο€Όπ‘§βˆ’32=3312
  • Bο€Όπ‘₯βˆ’252+(π‘¦βˆ’3)+𝑧+12=1912
  • Cο€Όπ‘₯+72οˆβˆ’(𝑦+9)βˆ’ο€Όπ‘§βˆ’32=3312
  • Dο€Όπ‘₯βˆ’252οˆβˆ’(π‘¦βˆ’3)βˆ’ο€Όπ‘§+12=1912

Q13:

Uma esfera de raio 50 estΓ‘ centrada no ponto do eixo 𝑧 que estΓ‘ a uma distΓ’ncia 17 do plano π‘₯𝑦. Qual Γ© a equação da esfera?

  • Aπ‘₯βˆ’π‘¦βˆ’(π‘§βˆ’17)=2500 ou π‘₯βˆ’π‘¦βˆ’(𝑧+17)=2500
  • Bπ‘₯+𝑦+(π‘§βˆ’17)=2500 ou π‘₯+𝑦+(𝑧+17)=2500
  • Cπ‘₯βˆ’π‘¦βˆ’(π‘§βˆ’17)=50 ou π‘₯βˆ’π‘¦βˆ’(𝑧+17)=50
  • Dπ‘₯+𝑦+(π‘§βˆ’17)=50 ou π‘₯+𝑦+(𝑧+17)=50

Q14:

A esfera de centro (π‘™βˆ’10,π‘š+4,3) e raio 2 interseta os planos π‘₯𝑧 e 𝑦𝑧. Determine todos os valores possΓ­veis de 𝑙 e π‘š.

  • A𝑙=12, π‘š=βˆ’2 ou 𝑙=8, π‘š=βˆ’6
  • B𝑙=βˆ’8, π‘š=βˆ’2 ou 𝑙=βˆ’12, π‘š=βˆ’6
  • C𝑙=12, π‘š=6 ou 𝑙=8, π‘š=2
  • D𝑙=βˆ’2, π‘š=12 ou 𝑙=βˆ’6, π‘š=8

Q15:

Dado que [𝐴𝐡] Γ© um diΓ’metro de uma esfera cuja equação Γ© π‘₯+𝑦+𝑧+4π‘₯+5𝑦+3π‘§βˆ’18=0, e as coordenadas de 𝐴 sΓ£o (0,0,3), determine as coordenadas do ponto 𝐡.

  • A(βˆ’4,βˆ’5,βˆ’6)
  • Bο€Ό2,52,92
  • Cο€Όβˆ’2,βˆ’52,βˆ’92
  • D(4,5,6)

Q16:

DΓͺ a equação da esfera de centro (βˆ’6,15,11) que toca o plano π‘₯𝑦.

  • A(π‘₯+6)βˆ’(π‘¦βˆ’15)βˆ’(π‘§βˆ’11)=11
  • B(π‘₯+6)+(π‘¦βˆ’15)+(π‘§βˆ’11)=121
  • C(π‘₯+6)βˆ’(π‘¦βˆ’15)βˆ’(π‘§βˆ’11)=121
  • D(π‘₯+6)+(π‘¦βˆ’15)+(π‘§βˆ’11)=11

Q17:

Encontre a equação de uma esfera que passa pelos pontos 𝐴(0,3,βˆ’2) e 𝐡(βˆ’1,βˆ’3,βˆ’5), dado que o seu centro estΓ‘ no eixo 𝑧.

  • Aπ‘₯βˆ’π‘¦βˆ’ο€Όπ‘§+113=1069
  • Bπ‘₯βˆ’π‘¦βˆ’ο€Όπ‘§βˆ’113=1069
  • Cπ‘₯+𝑦+ο€Όπ‘§βˆ’113=1069
  • Dπ‘₯+𝑦+𝑧+113=1069

Q18:

DΓͺ o centro e o raio da esfera π‘₯+𝑦+𝑧+7π‘₯+6𝑦+3𝑧+12=0.

  • Aο€Όβˆ’72,3,βˆ’32,√462
  • Bο€Όβˆ’72,βˆ’3,βˆ’32,√462
  • Cο€Ό72,βˆ’6,32,5√102
  • Dο€Ό72,6,32,5√102

Q19:

Determine a equação da superfΓ­cie esfΓ©rica de centro (βˆ’23,βˆ’18,βˆ’23), sabendo que interseta os planos π‘₯𝑦 e 𝑦𝑧.

  • A(π‘₯+23)βˆ’(𝑦+18)βˆ’(𝑧+23)=529
  • B(π‘₯+23)βˆ’(𝑦+18)βˆ’(𝑧+23)=324
  • C(π‘₯+23)+(𝑦+18)+(𝑧+23)=529
  • D(π‘₯+23)+(𝑦+18)+(𝑧+23)=324

Q20:

O eixo π‘₯ encontra a esfera (π‘₯βˆ’12)+(π‘¦βˆ’4)+(𝑧+6)=88 nos dois pontos 𝐴 e 𝐡. Qual Γ© o comprimento do segmento de reta 𝐴𝐡?

Q21:

As duas esferas cujas equaçáes sΓ£o (π‘₯βˆ’4)+(π‘¦βˆ’19)+(𝑧+17)=225 e (π‘₯+4)+(𝑦+9)+(𝑧+8)=64 se intersectam?

  • AnΓ£o
  • Bsim

Q22:

Determine se a equação dada π‘₯+π‘¦βˆ’π‘§+12π‘₯+2π‘¦βˆ’4𝑧+32=0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ASim, descreve uma esfera de raio 1 centrada em (6;1;βˆ’2).
  • BNΓ£o, nΓ£o descreve uma esfera.
  • CSim, descreve uma esfera de raio 3 centrada em (6;1;βˆ’2).
  • DSim, descreve uma esfera de raio 1 centrada em (βˆ’6;βˆ’1;2).
  • ESim, descreve uma esfera de raio 2 centrada em (βˆ’6;βˆ’1;2).

Q23:

A equação dada 2π‘₯+2𝑦+2𝑧+4π‘₯+4𝑦+4π‘§βˆ’44=0 descreve uma esfera? Se sim, encontre seu raio e centro.

  • Asim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 11 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’1;βˆ’1;βˆ’1).
  • Bsim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 11 e seu centro estΓ‘ em (1;1;1).
  • CnΓ£o, nΓ£o descreve uma esfera.
  • Dsim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (1;1;1).
  • Esim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’1;βˆ’1;βˆ’1).

Q24:

Determine se a equação dada π‘₯+𝑦+π‘§βˆ’4π‘₯βˆ’6π‘¦βˆ’10𝑧+37=0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ANΓ£o, ela nΓ£o descreve uma esfera.
  • BSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 1 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’2;βˆ’3;βˆ’5).
  • CSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’2;βˆ’3;βˆ’5).
  • DSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (2;3;5).
  • ESim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 1 e seu centro estΓ‘ em (2;3;5).

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