Atividade: Equação Cartesiana de uma Esfera no Espaço

Nesta atividade, nós vamos praticar a escrever a equação de uma esfera dado o centro e como determinar o centro e o raio dada a equação da esfera.

Q1:

A equação dada 2π‘₯+2𝑦+2𝑧+4π‘₯+4𝑦+4π‘§βˆ’44=0 descreve uma esfera? Se sim, encontre seu raio e centro.

  • AnΓ£o, nΓ£o descreve uma esfera.
  • Bsim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 11 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’1,βˆ’1,βˆ’1).
  • Csim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (1,1,1).
  • Dsim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 11 e seu centro estΓ‘ em (1,1,1).
  • Esim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’1,βˆ’1,βˆ’1).

Q2:

Determine se a equação dada π‘₯+𝑦+𝑧+2π‘₯βˆ’2π‘¦βˆ’8𝑧+19=0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ANΓ£o, ela nΓ£o descreve uma esfera.
  • BSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 1 e seu centro estΓ‘ em (1,βˆ’1,βˆ’4).
  • CSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 1 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’1,1,4).
  • DSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 2 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’1,1,4).
  • ESim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 2 e seu centro estΓ‘ em (1,βˆ’1,βˆ’4).

Q3:

Determine se a equação dada π‘₯+𝑦+π‘§βˆ’4π‘₯βˆ’6π‘¦βˆ’10𝑧+37=0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ANΓ£o, ela nΓ£o descreve uma esfera.
  • BSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’2,βˆ’3,βˆ’5).
  • CSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 1 e seu centro estΓ‘ em (βˆ’2,βˆ’3,βˆ’5).
  • DSim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 1 e seu centro estΓ‘ em (2,3,5).
  • ESim, descreve uma esfera. Seu raio Γ© 5 e seu centro estΓ‘ em (2,3,5).

Q4:

Encontre a equação de uma esfera que passa pelos pontos 𝐴(9,0,0), 𝐡(3,13,5), e 𝐢(11,0,10), dado que o seu centro estΓ‘ no plano 𝑦𝑧.

  • A π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 βˆ’ 2 𝑦 βˆ’ 7 𝑧 βˆ’ 8 1 = 0   
  • B π‘₯ βˆ’ 𝑦 βˆ’ 𝑧 + 4 𝑦 + 1 4 𝑧 + 8 1 = 0   
  • C π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 βˆ’ 4 𝑦 βˆ’ 1 4 𝑧 βˆ’ 8 1 = 0   
  • D π‘₯ βˆ’ 𝑦 βˆ’ 𝑧 + 2 𝑦 + 7 𝑧 + 8 1 = 0   

Q5:

DΓͺ a equação da esfera de centro (11,8,βˆ’5) e raio 3 na forma padrΓ£o.

  • A ( π‘₯ + 1 1 ) + ( 𝑦 + 8 ) + ( 𝑧 βˆ’ 5 ) = 9   
  • B ( π‘₯ + 1 1 ) + ( 𝑦 + 8 ) + ( 𝑧 βˆ’ 5 ) = 3   
  • C ( π‘₯ βˆ’ 1 1 ) + ( 𝑦 βˆ’ 8 ) + ( 𝑧 + 5 ) = 3   
  • D ( π‘₯ βˆ’ 1 1 ) + ( 𝑦 βˆ’ 8 ) + ( 𝑧 + 5 ) = 9   

Q6:

Qual das seguintes Γ© a equação da superfΓ­cie esfΓ©rica de centro (8,βˆ’15,10) e que passa por (βˆ’14,13,βˆ’14)?

  • A ( π‘₯ βˆ’ 8 ) βˆ’ ( 𝑦 + 1 5 ) βˆ’ ( 𝑧 βˆ’ 1 0 ) = 1 8 4 4   
  • B ( π‘₯ βˆ’ 8 ) + ( 𝑦 + 1 5 ) + ( 𝑧 βˆ’ 1 0 ) = 5 6   
  • C ( π‘₯ βˆ’ 8 ) βˆ’ ( 𝑦 + 1 5 ) βˆ’ ( 𝑧 βˆ’ 1 0 ) = 5 6   
  • D ( π‘₯ βˆ’ 8 ) + ( 𝑦 + 1 5 ) + ( 𝑧 βˆ’ 1 0 ) = 1 8 4 4   

Q7:

Determine a equação da superfície esférica de centro (0,1,0), sabendo que interseta os planos coordenados.

  • A π‘₯ + ( 𝑦 βˆ’ 1 ) + 𝑧 = 1   
  • B π‘₯ + ( 𝑦 + 1 ) + 𝑧 = 1   
  • C π‘₯ βˆ’ ( 𝑦 + 1 ) βˆ’ 𝑧 = 1   
  • D π‘₯ βˆ’ ( 𝑦 βˆ’ 1 ) βˆ’ 𝑧 = 1   

Q8:

Dado que a equação de uma esfera Γ© (π‘₯+5)+(π‘¦βˆ’12)+(π‘§βˆ’2)βˆ’289=0, determine seu centro e raio.

  • A ( 5 , βˆ’ 1 2 , βˆ’ 2 ) , 17 unidades de comprimento
  • B ( βˆ’ 5 , 1 2 , 2 ) , 289 unidades de comprimento
  • C ( 5 , βˆ’ 1 2 , βˆ’ 2 ) , 289 unidades de comprimento
  • D ( βˆ’ 5 , 1 2 , 2 ) , 17 unidades de comprimento

Q9:

Uma esfera de raio 2 Γ© tangente aos trΓͺs planos coordenados. Sabendo que as coordenadas do seu centro sΓ£o positivas, qual Γ© a equação desta esfera?

  • A ( π‘₯ βˆ’ 4 ) + ( 𝑦 βˆ’ 4 ) + ( 𝑧 βˆ’ 4 ) = 4   
  • B ( π‘₯ + 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 + 2 ) = 4   
  • C ( π‘₯ βˆ’ 2 ) + ( 𝑦 βˆ’ 2 ) + ( 𝑧 βˆ’ 2 ) = 4   
  • D ( π‘₯ βˆ’ 2 ) + ( 𝑦 βˆ’ 2 ) + ( 𝑧 βˆ’ 2 ) = 2   

Q10:

Determine a Γ‘rea da superfΓ­cie da esfera da equação π‘₯+𝑦+π‘§βˆ’1444=0, deixando sua resposta em termos de πœ‹.

  • A 1 5 2 πœ‹
  • B 7 6 πœ‹
  • C 2 8 8 8 πœ‹
  • D 5 7 7 6 πœ‹

Q11:

Sendo 𝐴(0,4,4) e [𝐴𝐡] o diΓ’metro da superfΓ­cie esfΓ©rica (π‘₯+2)+(𝑦+1)+(π‘§βˆ’1)=38, quais sΓ£o as coordenadas do ponto 𝐡?

  • A ( 4 , 6 , 2 )
  • B ( βˆ’ 2 , βˆ’ 5 , βˆ’ 3 )
  • C ( 2 , 5 , 3 )
  • D ( βˆ’ 4 , βˆ’ 6 , βˆ’ 2 )

Q12:

Encontre a equação da esfera concΓͺntrica com π‘₯+𝑦+𝑧+π‘₯βˆ’5𝑦+4𝑧=3, mas com o dobro do raio.

  • A ο€Ό π‘₯ + 1 2  βˆ’ ο€Ό 𝑦 βˆ’ 5 2  βˆ’ ( 𝑧 + 2 ) = 2 7   
  • B ο€Ό π‘₯ + 1 2  βˆ’ ο€Ό 𝑦 βˆ’ 5 2  βˆ’ ( 𝑧 + 2 ) = 5 4   
  • C ο€Ό π‘₯ + 1 2  + ο€Ό 𝑦 βˆ’ 5 2  + ( 𝑧 + 2 ) = 5 4   
  • D ο€Ό π‘₯ + 1 2  + ο€Ό 𝑦 βˆ’ 5 2  + ( 𝑧 + 2 ) = 2 7   

Q13:

Uma esfera Γ© tangente ao plano π‘₯𝑦, e tem seu centro no eixo 𝑧 a uma distΓ’ncia de 35 unidades de comprimento do plano π‘₯𝑦. Qual Γ© a equação da esfera?

  • A ( π‘₯ + 3 5 ) + 𝑦 + 𝑧 = 1 2 2 5    ou (π‘₯βˆ’35)+𝑦+𝑧=1225
  • B π‘₯ + ( 𝑦 + 3 5 ) + 𝑧 = 1 2 2 5    ou π‘₯+(π‘¦βˆ’35)+𝑧=1225
  • C π‘₯ + 𝑦 + ( 𝑧 + 3 5 ) = 1 2 2 5    ou π‘₯+𝑦+(π‘§βˆ’35)=1225
  • D π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 = 1 2 2 5    ou π‘₯βˆ’π‘¦βˆ’π‘§=1225

Q14:

A reta π‘₯+9βˆ’10=𝑦+4βˆ’4=π‘§βˆ’85 Γ© tangente a esfera (π‘₯βˆ’7)+(𝑦+3)+(π‘§βˆ’7)=π‘ŸοŠ¨οŠ¨οŠ¨οŠ¨. Encontre o raio da esfera atΓ© o centΓ©simo mais prΓ³ximo.

Q15:

Qual das seguintes a equação β€–β€–βƒ—π‘Ÿβ€–β€–βˆ’βƒ—π‘Ÿβ‹…ο€»βˆ’10βƒ—πš€βˆ’6βƒ—πš₯+10βƒ—π‘˜ο‡+50=0 representa?

  • AUm cΓ­rculo de raio 5√2 unidades de comprimento
  • BUm plano
  • CUm cΓ­rculo de raio 3 unidades de comprimento
  • DUma esfera de raio 3 unidades de comprimento
  • EUma esfera de raio 5√2 unidades de comprimento

Q16:

Determine se a equação dada π‘₯+π‘¦βˆ’π‘§+12π‘₯+2π‘¦βˆ’4𝑧+32=0 descreve uma esfera. Se sim, encontre seu raio e centro.

  • ASim, descreve uma esfera de raio 3 centrada em (6,1,βˆ’2).
  • BSim, descreve uma esfera de raio 2 centrada em (βˆ’6,βˆ’1,2).
  • CNΓ£o, nΓ£o descreve uma esfera.
  • DSim, descreve uma esfera de raio 1 centrada em (6,1,βˆ’2).
  • ESim, descreve uma esfera de raio 1 centrada em (βˆ’6,βˆ’1,2).

Q17:

As esferas com equaçáes π‘₯+𝑦+𝑧=9 e (π‘₯βˆ’4)+(𝑦+2)+(π‘§βˆ’4)=9 se cruzam em um cΓ­rculo. Encontre a equação do plano em que este cΓ­rculo se encontra.

  • A 2 π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 2 𝑧 βˆ’ 9 = 0
  • B 8 π‘₯ βˆ’ 4 𝑦 + 8 𝑧 βˆ’ 2 7 = 0
  • C 2 π‘₯ + 2 𝑦 + 2 𝑧 + 9 = 0
  • D 8 π‘₯ βˆ’ 4 𝑦 + 8 𝑧 βˆ’ 5 4 = 0
  • E 2 π‘₯ βˆ’ 𝑦 + 2 𝑧 + 9 = 0

Q18:

Encontre o(s) ponto(s) de interseção da esfera (π‘₯βˆ’3)+(𝑦+1)+(π‘§βˆ’3)=9 e da reta π‘₯=βˆ’1+2𝑑, 𝑦=βˆ’2βˆ’3𝑑, 𝑧=3+𝑑.

  • A ο€Ώ βˆ’ 2 + √ 8 7 7 , βˆ’ 3 4 + 3 √ 8 7 1 4 , 4 7 + √ 8 7 1 4  , ο€Ώ βˆ’ 2 βˆ’ √ 8 7 7 , βˆ’ 3 4 βˆ’ 3 √ 8 7 1 4 , 4 7 βˆ’ √ 8 7 1 4 
  • Bsem ponto de intersecção
  • C ( 3 , βˆ’ 1 , 3 )
  • D ( βˆ’ 1 , βˆ’ 2 , 3 )
  • E ο€Ό βˆ’ 1 2 7 , βˆ’ 1 3 1 4 , 3 7 1 4  , ο€Ό βˆ’ 2 7 , βˆ’ 4 3 1 4 , 4 7 1 4 

Q19:

Pode ser mostrado que quaisquer quatro pontos nΓ£o coplanares determinam uma esfera. Encontre a equação da esfera que passa pelos pontos (0,0,0), (0,0,2), (1,βˆ’4,3) e (0,βˆ’1,3).

  • A ( π‘₯ βˆ’ 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 βˆ’ 1 ) = 0   
  • B π‘₯ + 𝑦 + 𝑧 = 0   
  • C ( π‘₯ + 2 ) + ( 𝑦 βˆ’ 2 ) + ( 𝑧 + 1 ) = 0   
  • D ( π‘₯ βˆ’ 2 ) + ( 𝑦 + 2 ) + ( 𝑧 βˆ’ 1 ) = 9   
  • E ( π‘₯ + 2 ) + ( 𝑦 βˆ’ 2 ) + ( 𝑧 + 1 ) = 9   

Q20:

Dado que as esferas (π‘₯+3)+(𝑦+5)+(𝑧+5)=36 e (π‘₯βˆ’1)+(π‘¦βˆ’2)+(π‘§βˆ’π‘˜)=100 sΓ£o tangenciais, determine todos os valores possΓ­veis de π‘˜.

  • A π‘˜ = βˆ’ √ 1 9 1 + 5 ou π‘˜=βˆ’βˆš191βˆ’5
  • B π‘˜ = βˆ’ 5 + √ 1 9 1 ou π‘˜=βˆ’βˆš191βˆ’5
  • C π‘˜ = 5 + √ 1 9 1 ou π‘˜=βˆ’5+√191
  • D π‘˜ = 5 + √ 1 9 1 ou π‘˜=βˆ’βˆš191+5

Q21:

Encontre a equação da esfera com 𝐴=(9,βˆ’6,1) e 𝐡=(βˆ’16,βˆ’12,2) como extremidades de um diΓ’metro.

  • A ο€Ό π‘₯ + 7 2  + ( 𝑦 + 9 ) + ο€Ό 𝑧 βˆ’ 3 2  = 3 3 1 2   
  • B ο€Ό π‘₯ βˆ’ 2 5 2  + ( 𝑦 βˆ’ 3 ) + ο€Ό 𝑧 + 1 2  = 1 9 1 2   
  • C ο€Ό π‘₯ + 7 2  βˆ’ ( 𝑦 + 9 ) βˆ’ ο€Ό 𝑧 βˆ’ 3 2  = 3 3 1 2   
  • D ο€Ό π‘₯ βˆ’ 2 5 2  βˆ’ ( 𝑦 βˆ’ 3 ) βˆ’ ο€Ό 𝑧 + 1 2  = 1 9 1 2   

Q22:

Uma esfera de raio 50 estΓ‘ centrada no ponto do eixo 𝑧 que estΓ‘ a uma distΓ’ncia 17 do plano π‘₯𝑦. Qual Γ© a equação da esfera?

  • A π‘₯ βˆ’ 𝑦 βˆ’ ( 𝑧 βˆ’ 1 7 ) = 2 5 0 0    ou π‘₯βˆ’π‘¦βˆ’(𝑧+17)=2500
  • B π‘₯ + 𝑦 + ( 𝑧 βˆ’ 1 7 ) = 2 5 0 0    ou π‘₯+𝑦+(𝑧+17)=2500
  • C π‘₯ βˆ’ 𝑦 βˆ’ ( 𝑧 βˆ’ 1 7 ) = 5 0    ou π‘₯βˆ’π‘¦βˆ’(𝑧+17)=50
  • D π‘₯ + 𝑦 + ( 𝑧 βˆ’ 1 7 ) = 5 0    ou π‘₯+𝑦+(𝑧+17)=50

Q23:

A esfera de centro (π‘™βˆ’10,π‘š+4,3) e raio 2 interseta os planos π‘₯𝑧 e 𝑦𝑧. Determine todos os valores possΓ­veis de 𝑙 e π‘š.

  • A 𝑙 = 1 2 , π‘š = βˆ’ 2 ou 𝑙=8, π‘š=βˆ’6
  • B 𝑙 = βˆ’ 8 , π‘š = βˆ’ 2 ou 𝑙=βˆ’12, π‘š=βˆ’6
  • C 𝑙 = 1 2 , π‘š = 6 ou 𝑙=8, π‘š=2
  • D 𝑙 = βˆ’ 2 , π‘š = 1 2 ou 𝑙=βˆ’6, π‘š=8

Q24:

Dado que [𝐴𝐡] Γ© um diΓ’metro de uma esfera cuja equação Γ© π‘₯+𝑦+𝑧+4π‘₯+5𝑦+3π‘§βˆ’18=0, e as coordenadas de 𝐴 sΓ£o (0,0,3), determine as coordenadas do ponto 𝐡.

  • A ( βˆ’ 4 , βˆ’ 5 , βˆ’ 6 )
  • B ο€Ό 2 , 5 2 , 9 2 
  • C ο€Ό βˆ’ 2 , βˆ’ 5 2 , βˆ’ 9 2 
  • D ( 4 , 5 , 6 )

Q25:

DΓͺ a equação da esfera de centro (βˆ’6,15,11) que toca o plano π‘₯𝑦.

  • A ( π‘₯ + 6 ) βˆ’ ( 𝑦 βˆ’ 1 5 ) βˆ’ ( 𝑧 βˆ’ 1 1 ) = 1 1   
  • B ( π‘₯ + 6 ) + ( 𝑦 βˆ’ 1 5 ) + ( 𝑧 βˆ’ 1 1 ) = 1 2 1   
  • C ( π‘₯ + 6 ) βˆ’ ( 𝑦 βˆ’ 1 5 ) βˆ’ ( 𝑧 βˆ’ 1 1 ) = 1 2 1   
  • D ( π‘₯ + 6 ) + ( 𝑦 βˆ’ 1 5 ) + ( 𝑧 βˆ’ 1 1 ) = 1 1   

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