Atividade: Matrizes Diagonalizáveis ou Não Diagonalizáveis

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz e como determinar se uma matriz é diagonalizável ou não.

Q1:

Para a matriz 6 8 2 3 4 5 1 6 3 4 1 2 , encontre os autovalores e autovetores e determine se ela é defectiva.

  • A 5 4 3 1 , 7 8 3 1 , defectiva
  • B 1 1 3 1 , 1 2 1 1 , defectiva
  • C 4 1 1 1 , 4 3 2 1 , defectiva
  • D 3 1 1 1 , 1 2 1 1 , defectiva
  • E 1 1 4 1 , 4 3 2 1 , defectiva

Q2:

Encontre os autovalores e autovetores da matriz 3 7 1 9 2 1 8 2 3 1 0 , e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AOs autovalores são 10 com o autovetor correspondente 8 2 1 , e 1 com o autovetor correspondente 3 1 1 . A matriz é defectiva.
  • BOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 4 2 2 , 2 com o autovetor correspondente 7 3 3 , e 3 com o autovetor correspondente 1 9 8 7 . A matriz não é defectiva.
  • COs autovalores são 10 com o autovetor correspondente 1 3 2 2 , e 1 com o autovetor correspondente 7 2 3 . A matriz é defectiva.
  • DOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 3 1 1 , 2 com o autovetor correspondente 1 2 1 , e 3 com o autovetor correspondente 2 1 1 . A matriz não é defectiva.
  • EOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 3 2 2 , 2 com o autovetor correspondente 7 1 3 , e 3 com o autovetor correspondente 1 9 8 1 0 . A matriz não é defectiva.

Q3:

Encontre os autovalores e autovetores da matriz 2 0 9 1 8 6 5 6 3 0 1 4 2 7 , e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 1 3 7 9 1 , 3 com o autovetor correspondente 3 2 3 2 1 , e 2 com o autovetor correspondente 3 2 1 1 . A matriz não é defectiva.
  • BOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 7 8 1 8 1 , 3 com o autovetor correspondente 6 1 1 6 1 1 1 , e 2 com o autovetor correspondente 1 7 6 7 1 . A matriz é defectiva.
  • COs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 3 4 1 4 1 , 3 com o autovetor correspondente 9 1 3 3 1 3 1 , e 2 com o autovetor correspondente 1 2 1 1 . A matriz é defectiva.
  • DOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 3 4 1 4 1 , 3 com o autovetor correspondente 9 1 3 3 1 3 1 , e 2 com o autovetor correspondente 1 2 1 1 . A matriz não é defectiva.
  • EOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 1 3 7 9 1 , 3 com o autovetor correspondente 3 2 3 2 1 , e 2 com o autovetor correspondente 3 2 1 1 . A matriz não é defectiva.

Q4:

Encontre os autovalores e autovetores da matriz 7 2 0 8 1 0 2 4 6 , e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AOs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 2 4 1 e 6 com o autovetor correspondente 1 8 2 .
  • BOs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 1 2 2 e 6 com o autovetor correspondente 2 1 0 .
  • COs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 1 2 6 e 6 com o autovetor correspondente 0 0 2 .
  • DOs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 1 2 2 e 6 com o autovetor correspondente 0 0 1 .
  • EOs autovalores são 6 com o autovetor correspondente 2 5 4 e 3 com o autovetor correspondente 5 4 1 .

Q5:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 3 1 2 1 1 3 9 8 0 6 , e então determine se a matriz é defectiva.

  • AUma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 1 1 1 , uma base para o autovetor associado com o autovalor 3 é 9 8 2 1 , e uma base para o autovetor associado ao autovalor 6 é 0 1 1 . Portanto a matriz não é defectiva.
  • BUma base para o autovetor associado ao único autovalor 0 é 3 4 3 2 1 . Portanto a matriz é defectiva.
  • CUma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 1 1 1 , uma base para o autovetor associado com o autovalor 3 é 9 8 2 1 , e uma base para o autovetor associado ao autovalor 6 é 0 1 1 . Portanto a matriz não é defectiva.
  • DUma base para o autovetor associado ao único autovalor 0 é 3 4 1 4 1 . Portanto a matriz é defectiva.
  • EUma base para o autovetor associado ao único autovalor 1 é 7 8 1 4 1 . Portanto a matriz é defectiva.

Q6:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 1 1 6 7 5 6 1 7 2 , e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 6 , 2 + 6 𝑖 , e 2 6 𝑖 são 7 1 7 1 9 1 7 1 , 𝑖 𝑖 1 , e 𝑖 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 6 , 2 + 6 𝑖 , e 2 6 𝑖 são 1 1 1 , 𝑖 𝑖 1 , e 𝑖 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 6 , 2 + 6 𝑖 , e 2 6 𝑖 são 1 1 1 , 1 1 6 5 3 5 𝑖 , e 1 1 6 5 3 5 𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 6 , 2 + 6 𝑖 , e 2 6 𝑖 são 1 1 1 , 𝑖 𝑖 1 , e 𝑖 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 6 , 2 + 6 𝑖 , e 2 6 𝑖 são 1 1 1 , 1 1 6 5 3 5 𝑖 , e 1 1 6 5 3 5 𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q7:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 2 1 2 1 1 2 9 8 0 7 , e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AUma base para o autovetor associado ao autovalor 7 é 0 1 1 , e uma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 9 8 2 1 . A matriz não é, portanto, defectiva.
  • BUma base para o autovetor associado ao único autovalor 1 é 3 4 3 2 1 . A matriz é, portanto, defectiva.
  • CUma base para o autovetor associado ao autovalor 7 é 0 1 1 , e uma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 9 8 2 1 . A matriz não é, portanto, defectiva.
  • DUma base para o autovetor associado ao único autovalor 1 é 3 4 1 4 1 . A matriz é, portanto, defectiva.
  • EUma base para o autovetor associado ao único autovalor 0 é 7 8 1 4 1 . A matriz é, portanto, defectiva.

Q8:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 4 2 0 2 4 0 2 2 2 e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 6 são 1 1 0 , 0 0 1 , e 1 5 1 1 5 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 4 são 1 1 0 , 0 0 1 , e 0 0 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 4 são 1 1 0 , 0 0 1 , e 1 4 1 1 4 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 6 são 1 1 0 , 0 0 1 , e 1 1 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 2 , 6 , e 4 são 1 1 0 , 1 1 1 , e 0 0 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q9:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 9 6 3 0 6 0 3 6 9 e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 9 são 1 5 0 1 , e 1 6 0 1 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 9 são 2 1 0 , 1 0 1 , e 0 0 0 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 1 2 são 1 5 0 1 , e 1 7 0 1 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 12 são 2 1 0 , 1 0 1 , e 1 0 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 1 2 são 2 1 0 , 1 0 1 , e 1 7 0 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q10:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 2 1 1 2 3 2 2 2 1 e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 1 1 2 e 1 2 1 1 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 1 1 1 e 1 2 1 1 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 1 1 2 , 1 0 1 e 1 2 1 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 1 1 0 , 1 0 1 e 1 2 1 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 1 1 0 , 1 0 1 e 1 2 0 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q11:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 4 2 2 0 2 2 2 0 2 e então determinar se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 4 , 2 + 2 𝑖 , e 2 2 𝑖 são 2 1 3 1 , 𝑖 𝑖 1 , e 𝑖 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 4, 1 + 𝑖 , e 1 𝑖 são 1 1 1 , 1 2 𝑖 1 𝑖 , e 1 2 𝑖 1 + 𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 4 , 1 + 𝑖 , e 1 𝑖 são 2 1 3 1 , 1 2 𝑖 1 𝑖 , e 1 2 𝑖 1 + 𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 4, 2 + 2 𝑖 , e 2 2 𝑖 são 1 1 1 , 𝑖 𝑖 1 , e 𝑖 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 4 , 2 + 2 𝑖 , e 2 2 𝑖 são 2 1 3 1 , 𝑖 𝑖 1 , e 𝑖 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q12:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 1 2 6 1 7 4 4 4 9 1 8 9 e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 0 e 4 são 1 3 7 9 1 , 1 1 1 9 1 respectivamente. A matriz é, portanto, defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 0, 13 e 1 7 são 1 3 2 3 1 , 7 1 4 5 4 , e 5 2 1 4 1 3 1 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 0, 18 e 1 2 são 1 3 2 3 1 , 1 0 1 , e 2 1 0 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 0, 18 e 1 2 são 1 3 2 3 1 , 1 0 1 , e 2 1 0 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 0, 13 e 1 7 são 1 3 2 3 1 , 7 1 4 5 4 , e 5 2 1 4 1 3 1 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.

Q13:

Encontre os autovetores da matriz 𝑐 0 0 0 𝑎 𝑏 0 𝑏 𝑎 .

  • A 0 𝑖 1 𝑎 + 𝑖 𝑏 , 0 𝑖 1 𝑎 𝑖 𝑏 , 1 0 0 𝑐
  • B 0 𝑖 1 𝑎 𝑖 𝑏 , 0 𝑖 1 𝑎 + 𝑖 𝑏 , 1 0 0 𝑐
  • C 0 𝑖 1 𝑎 + 𝑖 𝑏 , 0 𝑖 1 𝑎 𝑖 𝑏 , 1 0 0 𝑐
  • D 0 𝑖 1 𝑎 𝑖 𝑏 , 0 𝑖 1 𝑎 + 𝑖 𝑏 , 1 0 0 𝑐
  • E 0 𝑖 1 𝑎 𝑖 𝑏 , 0 𝑖 1 𝑎 + 𝑖 𝑏 , 1 0 0 𝑐

Q14:

Seja 𝑇 uma transformação que roda todos os vetores em em sentido anti-horário um ângulo de 𝜋 2 . Represente 𝑇 como uma matriz e determine os seus valores próprios e vetores próprios.

  • A 𝑇 = 0 1 2 1 . Os seus valores próprios 2 com correspondente vetor próprio 2 1 e 4 com correspondente vetor próprio 1 1 .
  • B 𝑇 = 1 0 0 1 . Os seus valores são 1 com correspondente vetor próprio 0 1 e 1 com correspondente vetor próprio 1 0 .
  • C 𝑇 = 0 1 1 0 . Os seus valores próprios 𝑖 com correspondente vetor próprio 𝑖 1 e 1 com correspondente vetor próprio 1 1 .
  • D 𝑇 = 0 1 1 0 . Os seus valores próprios são 𝑖 com correspondente vetor próprio 𝑖 1 e 𝑖 com correspondente vetor próprio 𝑖 1 .
  • E 𝑇 = 1 0 0 1 . Os seus valores próprios são 1 com correspondente vetor próprio 0 1 e 1 com correspondente vetor próprio 1 1 .

Q15:

Encontre os autovalores e autovetores da matriz 𝑐 0 0 0 0 𝑏 0 𝑏 0 , onde 𝑏 e 𝑐 são números reais.

  • ASeus autovalores são 𝑐 com o autovetor correspondente 1 0 0 , 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 , e 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 .
  • BSeus autovalores são 𝑐 com o autovetor correspondente 1 0 0 , 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 , e 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 .
  • CSeus autovalores são 𝑐 com o autovetor correspondente 1 0 0 , 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 , e 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 .
  • DSeus autovalores são 𝑐 com o autovetor correspondente 1 0 0 , 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 , e 𝑖 𝑏 com o autovetor correspondente 0 𝑖 1 .
  • ESeus autovalores são 1 com o autovetor correspondente 𝑐 0 0 , 𝑖 com o autovetor correspondente 0 𝑖 𝑏 𝑏 , e 𝑖 com o autovetor correspondente 0 𝑖 𝑏 𝑏 .

Q16:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 4 2 0 2 1 0 2 2 6 , e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4 + 2 𝑖 , e 4 2 𝑖 são 1 1 0 , 1 𝑖 1 , e 1 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4 + 2 𝑖 , e 4 2 𝑖 são 0 0 1 , 1 𝑖 1 , e 1 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4 + 2 𝑖 , e 4 2 𝑖 são 1 5 2 3 2 1 , 1 𝑖 1 , e 1 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4 + 2 𝑖 , e 4 2 𝑖 são 0 0 1 , 1 𝑖 1 , e 1 𝑖 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4 + 2 𝑖 , e 4 2 𝑖 são 1 5 2 3 2 1 , 1 𝑖 1 , e 𝑖 1 1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

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