Atividade: Matrizes Diagonalizáveis ou Não Diagonalizáveis

Nesta atividade, nós vamos praticar a encontrar os autovalores e autovetores de uma matriz e como determinar se uma matriz é diagonalizável ou não.

Q1:

Para a matriz 682345163412, encontre os autovalores e autovetores e determine se ela é defectiva.

  • A 5 4 3 1 , 7 8 3 1 , defectiva
  • B 1 1 4 1 , 4 3 2 1 , defectiva
  • C 1 1 3 1 , 1 2 1 1 , defectiva
  • D 3 1 1 1 , 1 2 1 1 , defectiva
  • E 4 1 1 1 , 4 3 2 1 , defectiva

Q2:

Encontre os autovalores e autovetores da matriz 37192182310, e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 311, 2 com o autovetor correspondente 121, e 3 com o autovetor correspondente 211. A matriz não é defectiva.
  • BOs autovalores são 10 com o autovetor correspondente 1322, e 1 com o autovetor correspondente 723. A matriz é defectiva.
  • COs autovalores são 10 com o autovetor correspondente 821, e 1 com o autovetor correspondente 311. A matriz é defectiva.
  • DOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 322, 2 com o autovetor correspondente 713, e 3 com o autovetor correspondente 19810. A matriz não é defectiva.
  • EOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 422, 2 com o autovetor correspondente 733, e 3 com o autovetor correspondente 1987. A matriz não é defectiva.

Q3:

Encontre os autovalores e autovetores da matriz 20918656301427, e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 13791, 3 com o autovetor correspondente 32321, e 2 com o autovetor correspondente 3211. A matriz não é defectiva.
  • BOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 34141, 3 com o autovetor correspondente 9133131, e 2 com o autovetor correspondente 1211. A matriz não é defectiva.
  • COs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 34141, 3 com o autovetor correspondente 9133131, e 2 com o autovetor correspondente 1211. A matriz é defectiva.
  • DOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 13791, 3 com o autovetor correspondente 32321, e 2 com o autovetor correspondente 3211. A matriz não é defectiva.
  • EOs autovalores são 1 com o autovetor correspondente 78181, 3 com o autovetor correspondente 6116111, e 2 com o autovetor correspondente 17671. A matriz é defectiva.

Q4:

Encontre os autovalores e autovetores da matriz 720810246, e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AOs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 122 e 6 com o autovetor correspondente 001.
  • BOs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 126 e 6 com o autovetor correspondente 002.
  • COs autovalores são 6 com o autovetor correspondente 254 e 3 com o autovetor correspondente 541.
  • DOs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 122 e 6 com o autovetor correspondente 210.
  • EOs autovalores são 3 com o autovetor correspondente 241 e 6 com o autovetor correspondente 182.

Q5:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 3121139806, e então determine se a matriz é defectiva.

  • AUma base para o autovetor associado ao único autovalor 1 é 78141. Portanto a matriz é defectiva.
  • BUma base para o autovetor associado ao único autovalor 0 é 34141. Portanto a matriz é defectiva.
  • CUma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 111, uma base para o autovetor associado com o autovalor 3 é 9821, e uma base para o autovetor associado ao autovalor 6 é 011. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DUma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 111, uma base para o autovetor associado com o autovalor 3 é 9821, e uma base para o autovetor associado ao autovalor 6 é 011. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EUma base para o autovetor associado ao único autovalor 0 é 34321. Portanto a matriz é defectiva.

Q6:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 116756172, e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 6, 2+6𝑖, e 26𝑖 são 111, 𝑖𝑖1, e 𝑖𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 2+6𝑖, e 26𝑖 são 111, 116535𝑖, e 116535𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 2+6𝑖, e 26𝑖 são 111, 𝑖𝑖1, e 𝑖𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 2+6𝑖, e 26𝑖 são 71719171, 𝑖𝑖1, e 𝑖𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 2+6𝑖, e 26𝑖 são 111, 116535𝑖, e 116535𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q7:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 2121129807, e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • AUma base para o autovetor associado ao único autovalor 0 é 78141. A matriz é, portanto, defectiva.
  • BUma base para o autovetor associado ao único autovalor 1 é 34141. A matriz é, portanto, defectiva.
  • CUma base para o autovetor associado ao único autovalor 1 é 34321. A matriz é, portanto, defectiva.
  • DUma base para o autovetor associado ao autovalor 7 é 011, e uma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 9821. A matriz não é, portanto, defectiva.
  • EUma base para o autovetor associado ao autovalor 7 é 011, e uma base para o autovetor associado ao autovalor 2 é 9821. A matriz não é, portanto, defectiva.

Q8:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 420240222 e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 6 são 110,001, e 111 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 2 , 6, e 4 são 110, 111, e 001 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 4 são 110,001, e 001 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 4 são 110,001, e 14114 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 2 e 6 são 110,001, e 15115 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q9:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 963060369 e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 12 são 210,101, e 101 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 12 são 210,101, e 1701 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 12 são 1501, e 1701 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 9 são 210,101, e 000 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 6 e 9 são 1501, e 1601 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.

Q10:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 211232221 e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 112,101 e 1211 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 111 e 1211 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 110,101 e 1211 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 110,101 e 1201 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 1 e 2 são 112 e 1211 respectivamente. Portanto a matriz é defectiva.

Q11:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 422022202 e então determinar se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 4, 1+𝑖, e 1𝑖 são 2131, 12𝑖1𝑖, e 12𝑖1+𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 4, 2+2𝑖, e 22𝑖 são 2131, 𝑖𝑖1, e 𝑖𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 4, 2+2𝑖, e 22𝑖 são 2131, 𝑖𝑖1, e 𝑖𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 4, 2+2𝑖, e 22𝑖 são 111, 𝑖𝑖1, e 𝑖𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 4, 1+𝑖, e 1𝑖 são 111, 12𝑖1𝑖, e 12𝑖1+𝑖 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q12:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 126174449189 e, portanto, determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 0, 13 e 17 são 13231, 71454, e 5214131 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 0, 13 e 17 são 13231, 71454, e 5214131 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 0, 18 e 12 são 13231, 101, e 210 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 0 e 4 são 13791, 11191 respectivamente. A matriz é, portanto, defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 0, 18 e 12 são 13231, 101, e 210 respectivamente. A matriz não é, portanto, defectiva.

Q13:

Encontre uma base para o autovetor de cada autovalor da matriz 420210226, e então determine se a matriz é defectiva.

  • ABases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4+2𝑖, e 42𝑖 são 001, 1𝑖1, e 1𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • BBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4+2𝑖, e 42𝑖 são 001, 1𝑖1, e 1𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • CBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4+2𝑖, e 42𝑖 são 110, 1𝑖1, e 1𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • DBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4+2𝑖, e 42𝑖 são 152321, 1𝑖1, e 𝑖11 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.
  • EBases para os autovetores associados aos autovalores 6, 4+2𝑖, e 42𝑖 são 152321, 1𝑖1, e 1𝑖1 respectivamente. Portanto a matriz não é defectiva.

Q14:

Suponha que uma matriz 𝐴 é uma matriz 𝑚×𝑚 que tem característica polinomial 𝑝(𝑥)=𝑥(2𝑥)(4𝑥)(7𝑥). 𝐴 é diagonalizável? Por que ou por que não?

  • ATalvez, isso depende se 𝑝(𝑥) tem um grau igual à dimensão do espaço.
  • BNão, porque 𝑝(𝑥) tem raízes repetidas.
  • CNão, porque 𝐴 é singular.
  • DSim, porque todas as raízes de 𝑝(𝑥) são reais.
  • ETalvez, isso depende das dimensões dos autoespaços.

Q15:

Seja 𝐴=012003000.Determine a forma normal de Jordan para 𝐴.

  • A 0 1 0 0 0 1 0 0 0
  • B 0 0 3 0 0 0 0 0 0
  • C 9 8 1 0 9 2 0 0 3
  • D 0 1 2 0 0 3 0 0 0

Q16:

Dado que os autovalores da matriz 𝑛×𝑛 diagonalizável 𝐴 são 1 e 1, encontre 𝐴.

  • A 𝐴 = 1 2 𝐼
  • B 𝐴 = 𝐼 1 2
  • C 𝐴 = 1 2 𝐼
  • D 𝐴 = 𝐼
  • E 𝐴 = 𝐼

Q17:

Encontre 321120 e lim321120.

  • A 2 + 1 2 2 + 2 2 1 2 + 1 2 2 + 1 , 2 2 1 1
  • B 1 0 0 1 2 , 1 0 0 1
  • C 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 , 2 2 1 1
  • D 2 1 2 1 1 1 + 1 2 , 2 1 1 1
  • E 1 0 0 1 2 , 1 0 0 0

Q18:

Pode uma matriz 3×3 real que tem um autovalor não real ser não diagonalizável?

  • Anão
  • Bsim

Q19:

Suponha 𝑚×𝑚 uma matriz 𝐴 diagonalizável. Então, qual das seguintes propriedades a matriz 𝐴 sempre terá?

  • A 𝑚 autovalores distintos
  • BExatamente a mesma quantidade de autovetores linearmente independentes e autovalores
  • C 𝑚 autovetores linearmente independentes
  • D 𝑚 autovalores não nulos
  • E 𝑚 colunas linearmente independentes

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